I. - GÉOMÉTRIE ANCIEXNE OU SPÉCIALE

L'étude individuelle des types procède naturellement des plus simples aux plus compliqués. Les divisions qui s'offriraient immédiatement à l'esprit sont les suivantes : i*^ figures planes rectilignes, 2** figures' planes curvilignes, 3^ figures à surfaces planes, 4^ figures à surfaces courbes. Mais cette hiérarchie est souvent troublée par suite des habitudes prises et de l'influence de Tordre historique, qui fait maintenir dans telle division certains objets étudiés de bonne heure par les philosophes grecs, alors que logiquement ils appartiennent à une autre division. Inversement la Trigonométrie est présentée à part et après la Géométrie ancienne, tandis que suivant

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Tordre des idées elle devrait figurer dans la deuxième division. Il faut donc considérer Téchelle ci-dessus comme un simple indice de la distribution qui se ferait naturellement, si Ton se plaçait au seul point de vue du développement de la conception géométrique.

l« FIGURES PLANES RECTILIGNES.

Ce groupe comprend, d'une part, les polygones ou figures à contours rectilignes et, d'autre part, les systèmes de droites qui ne se rencontrent pas ou les parallèles. Parmi les polygones, on s'attache surtout aux trois premiers degrés, savoir: i® l'angle ou polygone de deux côtés, non fermé ; 2® le triangle ou polygone de trois côtés; 3** le quadrilatère ou polygone de quatre côtés. Au delà on considère principalement les polygones réguliers, c'est-à-dire formés de côtés et d'angles égaux.

La théorie du triangle est capitale en Géométrie, parce que la vie pratique et les plus hautes Sciences, notamment la Géodésie et l'Astronomie, conduisent à ce qu'on appelle la résolution d^un triangle y c'est-à-dire à la détermination de quelques-uns de ses éléments quand par avance

on connaît les autres. Il faut donc se préoccuper d'examiner tous les cas qui entraînent Tégalité de deux triangles et où, par suite, des relations suffisantes peuvent être établies entre les éléments d'un même triangle. Cette théorie, quand elle arrive aux calculs numériques, j'entends l'évaluation des côtés au moyen des angles et réciproquement, exige le concours de la Trigonométrie qui logiquement ne peut être exposée que dans la deuxième division et en fait l'est beaucoup plus tard. La question du triangle, telle qu'elle figure dans la première division et telle qu'elle est réellement enseignée dans les débuts de la Géométrie, est donc partielle et ne devient complète que longtemps après.

Cette première partie de l'étude du triangle est remarquable par sa simplicité. Elle n'est que l'application immédiate des axiomes développés dans le second Chapitre. Grâce aux procédés de superposition ou de coïncidence, de rotation autour d'un côté, et à la faveur des principes que deux droites qui ont deux points communs coïncident, que tous les angles droits sont égaux, que d'un point on peut toujours mener une perpendiculaire à une droite, etc., on résout comme en se jouant presque toutes les questions qui se

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présentent. L'exposé ne se complique véritablement que lorsqu'on veut prouver, d'une façon directe et en se passant de l'axiome v (ou de tout autre axiome analogue), que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Cette démonstration contraste tellement avec celles qui précèdent et celles qui suivent, quïl suffit, croyons-nous, de la parcourir pour décider, abstraction faite de toute autre considération, qu'elle n'est pas à sa place et qu'on fait violence aux régies d'une bonne méthode. Aussi, me parait-il bien préférable d'édifier la théorie des parallèles, à l'aide d'un axiome ou postulatum approprié, et d'en faire sortir, comme corollaire, la proposition relative à la somme des angles d'un triangle. Cette théorie des parallèles est la principale pierre de touche entre la Géométrie concrète et la Géométrie abstraite. Dès qu'on met en question l'axiome ou postulatum fondamental on sort de la réalité physique pour entrer dans le domaine du conventionnel.

L'examen des polygones réguliers amène une interversion. Pour traiter le sujet avec fruit, il faut envisager concurremment le cercle, qui met en lumière la possibilité de tracer ou tout au moins de concevoir un polygone régulier d'un

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nombre quelconque de côtés. Par réciprocité, la connaissance des polygones réguliers procure la mesure de la circonférence et de la surface du cercle, grâce au principe général des limites. En dehors de ce résultat capital, l'étude des polygones dont le nombre des côtés dépasse quatre ne comporte pas des applications très nombreuses.