FIGURES PLA.NES CURVILIGNES

D'après le mode adopté pour l'exposition de la Géométrie, cette deuxième division est bien loin de comprendre toutes les matières qui en dépendraient naturellement. Ainsi, la Trigonométrie est enseignée à part, ce qui crée contre elle le préjugé de la difficulté, accru encore par la bizarrerie des noms dont on y fait emploi, alors qu'en réalité la Trigonométrie est une simple extension des propriétés du cercle. En outre, plusieurs courbes planes, dont les anciens avaient poussé fort loin la théorie et qu'il est d'usage d'explorer à l'aide des procédés de la Géométrie élémentaire, — sans préjudice des méthodes générales qu'on leur applique plus tard — sont rejetées hors de cette deuxième division, dont

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elles font logiquement partie. Je citerai Tellipse, riiyperbole et la parabole qui, sous la rubrique de sections coniques, ont exercé la sagacité de tant d'illustres géométros chez les anciens et même chez les modernes. Il semblerait rationnel de réserver une place à ces trois courbes dans la Géométrie élémentaire, d'autant plus que celle-ci comprend l'étude du cône et que l'intersection du cône par un plan engendre ces mêmes courbes. Mais on a pris le parti de les disjoindrcj comme la Trigonométrie, à cause des importants développements qu'elles ont reçus et qui ont paru dépasser le cadre d'une exposition de début. A plus forte raison les courbes telles que la cycloïde, Thélicoïde, la chaînette, etc., bien qu'ayant fait l'objet de recherches directes, ne sont pas admises dans cette division. Celle-ci, réduite à peu prés au cercle et à la circonférence, ne saurait prendre une grande extension. Les propositions les plus notables ont trait à la mesure de l'aire et du périmètre en fonction du rayon, à la faveur du procédé qui consiste à voir dans le cercle la limite des polygones régulier? inscrits et circonscrits.

Il n'est pas surprenant que, seul entre toutes les courbes envisagées par les géomètres grecs,

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le cercle ait été maintenu dans l'enseignement de la Géométrie élémentaire. Cette préférence se justifie à la fois par la simplicité du type et par les propriétés exceptionnelles qui le rapprochent de la ligne droite et parfois l'identifient avec elle. De là cette tendance qui s'est fait jour de bonne heure à considérer la ligne droite comme un arc de cercle de rayon infini (il faudrait dire indéfini). On aperçoit les analogies — et aussi les erreurs — auxquelles ce point de vue peut conduire. Les rayons, qui sont normaux à l'arc, deviennent des perpendiculaires à la droite ; d'où cette impression fausse que des perpendiculaires à une droite ou des parallèles se rencontreraient à l'infini. De là à la notion de la pluralité des parallèles partant d'un même point, il n'y a qu'un pas. Mais cette pluralité, qui ne le sent? est un pur mirage. Pour que les rayons fussent perpendiculaires à la droite, il faudrait que le centre du cercle pût réellement être transporté à l'infini, ce qui n'a pas de sens. Or, le centre étant fixé quelque part — si loin qu'on veut, mais quelque part — les rayons, sauf un, sont plus ou moins obliques à la droite, et les soi-disant parallèles s'évanouissent. Quand elles apparaissent, il n'y a plus ni centre ni

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cercle, il n'y a qu'une ligne droite avec ses propriétés personnelles et ses perpendiculaires toujours équidistantes.

Il est bien clair qu'un arc de rayon suffisant ne diffère pas pratiquement d'une ligne droite. Avec cet arc, substitue à la ligne droite, on peut, nous l'avons constaté, construire une Géométrie dont les résultats seront très voisins de ceux de la Géométrie ordinaire : le postulatum d'Euclide devient approximatif; la somme des trois angles d'un triangle approchera de deux angles droits (d'autant plus que le triangle sera plus petit), mais elle ne les égalera jamais; les théorèmes classiques sur la similitude cesseront d'être rigoureusement exacts. Par contre, l'égalité des angles droits persistera, parce que les arcs de même rayon peuvent se superposer, à l'instar des lignes droites, et glisser sur eux-mêmes sans se déformer.

Si la Géométrie ancienne est ainsi limitée dans les Traités usuels, son domaine naturel n'en subsiste pas moins et mérite l'attention. Un regard d'ensemble doit embrasser en même temps la Trigonométrie ainsi que les diverses courbes qui se déroulent dans un plan. Je ne m'étendrai pas

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sur ces dernières qui, au point de vue de la méthode, n'offrent rien de particulier. Chacune d'elles est traitée selon les procédés qui lui conviennent. Le grand mérite des géomètres a été, avec de faibles ressources, d'approfondir la nature de ces courbes au point d'en mettre à nu les propriétés les plus cachées. Le côté faible de tels travaux, s'il est permis de s'exprimer ainsi, c'est qu'ils sont exclusifs aux types mêmes qui en sont l'objet et qu'ils n'ouvrent pas la voie aux conquêtes sur des types nouveaux. Chaque Chapitre se clôt, sans préparer le suivant et, sauf l'habitude acquise, chaque fois presque tout est à recommencer.

Il n'en est pas de même de la Trigonométrie.

Bien qu'elle emploie des procédés analogues et qu'elle se concentre elle aussi sur une figure spéciale, le cercle, et sur quelques droites qui peuvent y être menées, elle aboutit à des résultats vraiment généraux, à raison du nombre immense d'applications dont ils sont susceptibles. Elle fournit des relations entre les côtés et les angles du triangle, ce qui permet de le résoudre dans tous les cas, c'est-à-dire de trouver la valeur numérique des éléments inconnus lorsque les éléments connus sont siiffîsants pour déterminer sa

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forme géométrique. Or, le triangle, tout en n'étant par lui-même qu'une figure particulière, joue un tel rôle dans beaucoup de problèmes el constitue un si puissant moyen de découvertes, que résoudre un triangle est fréquemment le dernier terme des questions les plus compliquées. La triangulation ou Tart de ramener les figures à des triangles et de calculer ces derniers, alimente une des branches les plus importantes des recherches géodésiques ou astronomiques. Aussi, a-t-on été conduit à mesurer, une fois pour toutes, et à consigner, dans des Tables trigonométrie ques, la grandeur des droites menées dans le cercle, en correspondance avec la valeur des angles au centre qui les déterminent. Les angles sont pris à partir de zéro et étages suivant des accroissements extrêmement faibles, de telle sorte que les angles envisagés dans un cas spécial ne diffèrent pas d'une manière appréciable de certains de ces angles préalablement fixés. Les Tables font donc connaître, pour les angles donnés, les valeurs des lignes trigonomé triques et fournissent les éléments nécessaires pour calculer les côtés, et vice versa. Il est regrettable, à mon avis, qu'une Science aussi simple et, en somme, aussi facile que la Trigonométrie, ne

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soit pas enseignée, à sa place naturelle, dans la Géométrie ordinaire. Elle serait, je crois, mieux comprise et plus volontiers cultivée.