FIGURES A SURFACES PLANES

Les figures formées de surfaces planes introduisent un élément déplus, le volume. Mais elles ne présentent pas de difficultés sensiblement plus grandes que celles de la première division. Le plan joue le même rôle que précédemment la ligne droite. Or nous avons vu que le plan possède des propriétés correspondantes, en sorte que le même ordre de raisonnement trouve à s'y appliquer. J'ajoute que les figures considérées comprennent à peu près le même nombre d'éléments et sont rangées en catégories semblables. Le triangle ou surface délimitée par le nombre minimum de côtés est représenté par le tétraèdre ou volume enclos par le nombre minimum de faces, qui est quatre. Le carré, le rectangle sont représentés par le cube, le parallélipipède droit, dont le nombre de faces est de six. Viennent ensuite les pyramides et les prismes, volumes formés sur une base polygonale, à l'aide de plans aboutissant soit à un sommet donné, soit à un

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polygone égal et parallèle à la base. Je ne m'arrêterai pas sur ces diverses figures dont l'étude ne soulève pas de question nouvelle. De même que pour les polygones, on ne multiplie pas beaucoup les catégories sur lesquelles se concentre l'attention et dont la principale réalisation se rencontre dans la cristallographie. La Nature offre ici une riche mine, dont la Physique et la Chimie ont encore rehaussé Timportance.

Les polygones réguliers ayant procuré la mesure de la circonférence et de la surface du cercle, il semblerait naturel de demander, par analogie, aux polyèdres réguliers la mesure de la surface et du volume de la sphère. Celle-ci serait regardée comme la limite de polyèdres inscrits et circonscrits, à facettes de plus en plus nombreuses. Ces facettes devraient d'ailleurs être pareilles entre elles, à raison de l'uniformité de la sphère; en d'autres termes les polyèdres seraient réguliers. Mais on sait que de tels polyèdres n'existent qu'en nombre limité et que leurs éléments ne peuvent être modifiés par voie de continuité. Saisissant exemple de l'abîme qui peut exister — et que j'ai signalé à l'occasion de la théorie des parallèles — entre un phénomène variable et un phénomène fixe, sui generis.

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qu'on voudrait considérer comme le dernier terme du phénomène variable.

En fait, dans Tespèce actuelle, la difficulté a été éludée, d'une façon simple et ingénieuse, en regardant la sphère, non comme une limite de polyèdres, mais comme la limite de corps ronds engendrés par des polygones réguliers, inscrits et circonscrits à un demi grand cercle de la sphère, qui tourne autour de son diamètre.

Je n'entre pas dans l'examen des particularités relatives aux polyèdres réguliers. Je me borne à constater la similitude qui existe entre les problèmes de la troisième division et ceux de la première. Les catégories de formes se correspondent à peu près exactement, les notions de perpendicularité, de parallélisme sont les mêmes, les procédés diffèrent peu, le plan se substitue presque mot pour mot à la ligne droite.