FIGURES A SURFACES COURBES

De même que la deuxième division, par la variété des courbes examinées et par la Trigonométrie, occuperait dans un exposé didactique un« place incomparablement plus étendue que la

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première division, de même la quatrième acquiert une extension beaucoup plus grande que la troisième.

Les Traités élémentaires réduisent la quatrième division à ce qu'on appelle les trois corps ronds: la sphère, le cylindre et le cône. Mais en réalité la Géométrie spéciale est allée beaucoup plus loin et elle a abordé, par les mêmes méthodes, des formes beaucoup plus compliquées e» qui ont exigé uns rare puissance d'investigation. De ce nombre sont : Tellipsoïde, Thypcrboloïdt* et le paraboloïde de révolution, le tore, les surfaces hélicoïdales et d'autres que je pourrais citer. Ces figures sont définies de deux façons. Tantôt par une propriété caractéristique, exemples : la sphère, dont la surface est partout à la même distance d'un point intérieur appelé centre, et le cylindre circulaire droit dont les points sont à égale distance d'un axe intérieur. Tantôt et plus souvent par le mode de génération qui indique comment la figure peut être décrite; ainsi la sphère est obtenue par la rotation d'un cerch* autour de son diamètre, Tellipsoïde par la rotation d'une ellipse autour de son grand axe, le tore par la rotation d'un cercle autour d'une droite extérieure, le cône droit par la rotation

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d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit.

Quelle que soit la figure elle constitue, par sa définition même, un cas particulier, et elle exige pour son exploration un procédé approprié. J'entends par là que les efforts développés sur un type ne servent pas à l'ordinaire ou du moins ne servent qu'indirectement pour un autre type. 11 y a autant de programmes de recherches que d'exemples envisagés. C'est ce qui fait l'intérêt toujours nouveau mais aussi le manque de fécondité des travaux de cette nature. Aussi peut-on avancer que plus cette branche s'est étendue, plus on a dû appeler des procédés généraux, moins aléatoires.

Telles sont les quatre divisions dans lesquelles s'enferme la Géométrie dite ancienne ou cultivée à la manière des anciens. Elle a continué à s'enrichir sous la main des modernes et aujourd'hui encore elle compte d'illustres adeptes. Néanmoins on doit prévoir son épuisement. Illimitée en théorie, elle est limitée en fait par la difficulté croissante de créer de nouveaux types à l'aide de tels procédés et par le découragement que fait naître la perspective de solutions de plus

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en plus incertaines. Les premiers types, comme la sphère, le cylindre, le cône, etc., ont été inspirés par la vue des objets extérieurs ou par les nécessités de Tindustrie humaine. Les suivants ont pris forcément une allure arbitraire et n^ont pu se motiver que par le haut intérêt scientifique qu'ils excitaient. Entrés dans cette voie les géomètres se trouvent de moins en moins récompensés de leurs efforts. Parfois un inventeur de génie rajeunit le sujet, mais dans l'ensemble le progrès est beaucoup moins sensible que sur les autres branches des Mathématiques.

n. — GÉOMÉTRIE MODERNE OU GÉNÉRALE.

La Géométrie moderne a été suscitée par le besoin de disposer d'une méthode plus sûre pour l'étude des formes et pour la solution des questions qu'elles soulèvent. Pressentie en quelques points aux temps de la Grèce, elle n'a pris son essor et n'a revêtu sa forme définitive que sous l'impulsion des savants modernes, particulièrement de Descartes et de Leibnitz. Bien que ces deux grands génies aient été puissamment aidés

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par les travaux de leurs prédécesseurs et que l'œuvre même ne soit pas sortie achevée de leurs mains, on doit cependant les regarder comme les véritables créateurs de la nouvelle théorie, parce qu'ils l'ont conçue avec une généralité et lui ont imprimé une régularité qui n'avaient pas été soupçonnées avant eux.

Il importe de se prémunir dès maintenant contre une idée fausse : ce serait de croire que la Géométrie moderne a pu ou dû changer les bases de la Géométrie ancienne. Non, et Ton ne saurait mieux comparer son rôle qu'à celui de l'Analyse dans la Science des forces. La constitution d'une Mécanique rationnelle n'a nullement affaibli, a rehaussé au contraire l'importance des lois naturelles sur lesquelles s'appuyaient les premiers théoriciens. Les développements seuls ont pris un caractère abstrait ou purement mathématique. Mais les données initiales, celles auxquelles le Calcul s'applique, sont restées ce qu'elles étaient, des phénomènes physiques constatés et contrôlés par l'observation. Toute tentative pour se soustraire aux eiiseignements qu'ils apportent et pour édifier une Science en dehors d'eux aboutit à des résultats conventionnels, qui ne peuvent nous instruire

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exactement sur le monde extérieur. De même la Géométrie moderne, nonobstant le caractère exclusivement mathématique de sa méthode, ne saurait se passer de la Géométrie ancienne, je veux dire de ses bases essentielles. Elle ne conçoit pas autrement Tanglc, le plan, la ligne droite, le parallélisme. Elle est forcée, comme sa devancière, d'emprunter à Texpérience les axiomes qui sont le point de départ de toute démonstration. Elle accepte et utilise les propositions établies sur les figures les plus importantes et les plus usuelles, le triangle, le cercle, la sphère. En un mol elle prolonge et élargit la Géométrie ancienne, mais elle ne la remplace pas. Elle en fait au contraire son assise solide pour s'élever de là à des hauteurs où l'autre n'accède pas. Celui qui, sous prétexte d'ouvrir à la nouvelle Géométrie des horizons plus vastes encore, entreprendrait de changer le caractère des concepts fondamentaux ou dénierait quelques-uns des axiomes puisés au contact du monde extérieur, manquerait à la pensée de ses fondateurs qui dans rentraîncment de leur succès n'ont jamais envisagé l'espace, la ligne droite, les parallèles, autrement que ne l'avaient fait les philosophes de l'antiquité.

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La Géotnélrie moderne combine deux inventions : celle de Descartes et celle de Leibnitz. Comme elles sont absolument distinctes dans leur esprit et dans leur objectif immédiat, il convient de les examiner séparément et de marquer la part de chacune dans le résultat final.