GcETHB, FsLUst, I" partie, v

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tre qu'elles ont néanmoins même superficie. Pour ce faire, on établit que chacune d'elles doit être le double d'un triangle, et ces deux triangles sont précisément ceux dont on a précédemment établi l'identité. On répète l'opération de l'autre côté et finalement l'on se convainc, par un coup d'œil sur la figure, que les deux rectangles mis côte à côte forment bien le carré érigé sur l'hypoténuse.

Ainsi, l'on a bien procédé d'égalité à égalité, en mettant chaque fois de côté, en négligeant sciemment, en déclarant indifférente au point de vue du raisonnement, la diversité qui s'opposait à l'identification. L'était-elle au point de vue de notre attention, c'est-à-dire de la conception telle que notre esprit l'a formée tout d'abord ? Assurément non, car, dans ce cas, le travail de la démonstration eût été nul, et nous nous souvenons tous qu'il n'en a pas été ainsi, qu'elle a exigé au contraire, de la part de notre intelligence, une tension tout à fait notable. Là même où l'identification s'établit parfaite, dans l'égalité entre les deux triangles, les choses, si l'on ose s'exprimer ainsi, ne vont pas toutes seules. Sans doute, sommes-nous tous pleinement convaincus d'avance, préalablement même à toute géométrie, que le déplacement dans l'espace ne peut en rien entamer l'identité, que la. position, au point de vue de cette identité, constitue une circonstance parfaitement indifTérente. Cependant, et quoique les deux triangles ne soient en réalité qu'un seul et même triangle, qu'on aurait tourné simplement de 90° autour du point A, telle est ici la disparité de cette position, il y a si peu d'analogie, au point de ^-ue de leur rôle dans la figure totale, entre les deux triangles, que celui qui écrit ces lignes, quoicjue près de cinquante années se soient écoulées depuis, se rappelle parfaitement l'étonnement qu'il a éprouvé de cette démonstration d'identité, et la difficulté avec laquelle, tout d'abord, il retrouvait les droites à tracer, difficulté qui n'était évidemment que la traduction de ce que les figures avaient ^'inattendu, et donc de ce même étonnement. Probablement bien des lecteurs auront, sur ce point, des souvenirs, analogues.

i/rni^NTiTi': et l'idextificaïiox I^U)

Enlrc les carri''s cl les rcolanjijles, il ne saurait plus èlre ((ueslion de vérilal>le identité, et pour égaler les uns aux autres, il faut évidemment sous-entendre que la forme est indifférente au point de vue de l'aire. D'ailleurs, sur ce point encore, il a fallu (pie l'on nous montrât le rapport entre le triangle et la iigure rectangulaire respective ; c'est ({ue la situation n'est pas tout à fait la même dans les deux cas, sans quoi les deux figures rectangulaires seraient semblables : l'artifice consistant précisément à approprier le même triangle, de manière analogue, tantôt à un rectangle et tant(M à un carré, parce qu'on se sert chaque fois, comme base, d'un côté différent du triangle ; ce qui fait, bien entendu, que les deux figures rectangulaires doivent se trouver à la fois dissemblables de forme et égales de superficie. Et si finalement nous avons bien reconnu, au premier coup dœil sur la figure, que les deux rectangles, ajoutés l'un à l'autre, formaient le carré construit sur l'hypoténuse, il a cependant fallu ce coup d'oeil ou le souvenir de la manière dont nous avions, avant de commencer la démonstration, partagé le carré en ces rectangles. C'est ainsi que nous sommes parvenus à écrire AC* =^ AB* -f- BC\ à mettre en rapport, à réunir par un signe d'égalité ce qui nous avait paru tout d'abord absolument différent, à savoir d'un côté deux carrés et de l'autre un seul. iNIais, bien entendu, ce signe d'égalité comporte une restriction, il n'a trait qu'aux aires, à tous les autres points de vue, et notamment en ce qui concerne leur forme et leur position, les différences subsistent.

Le rôle du concept d'identité est tout à fait analogue dans le raisonnement algébrique. En reprenant notre exemple de tout à l'heure, nous constaterons que pour démontrer que {a •\' h) {a — b) = a' — b^, on se servira tout d'abord d'un théorème sur la multiplication des sommes algébriques et que l'on écrira :

{a -\- b) {a —b) = a^ -\-ab — ab — b*

Il va de soi qu'en écrivant cette équation on n'entend pas soutenir que les termes des deux côtés du signe d'éga-

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lité soient identiques à tous les points de vue, ce qu'ils ne sont apparemment pas, puisqu'il y a, à gauche, un produit et à droite une somme de quatre produits. Ce qu'on affirme (nous l'avons vu) c'est qu'il y a identité, si l'on adopte certaines conventions, par exemple qu'il y aura identité du résultat si l'on remplace les lettres a. et b par des nombres quelconques. C'est-à-dire qu'ici encore on déclare que les divergences très apparentes entre les deux termes sont, au point de vue auquel on entend se placer, sans efficacité et peuvent, donc, être entièrement négligées. On observe ensuite que dans la somme algébrique de quatre termes un seul et même terme ab apparaît d'abord comme positif et ensuite comme négatif. Or, on a précédemment établi qu'un nombre n'est pas modifié par le fait qu'un autre lui est ajouté et retranché en même temps. Donc, -\- ab et — ab s annulent, c'est-à-dire qu'il est, toujours en supposant les mêmes conventions, indifférent de les écrire ou de les omettre.

Ce sont là, évidemment, des démonstrations très élémentaires et plus d'un lecteur aura souri de l'insistance avec laquelle nous avons cru devoir en exposer la marche. Mais il est clair que toutes les démonstrations mathémati- (jues sont de ce type. Toute déduction mathématique, en effet, se compose d'une suite ou (pour nous servir d'une expression que H. Poincaré appliquait à son schéma du raisonnement par récurrence) d'une cascade d'é(juations, et chaque fois qu'on écrit un signe d'égalité, il va de soi que ce qu'on place à droite et à gauche de ce signe ne peut pas être réellement identique, que ce ne peut être la répétition véritable de la même formule — car alors le raisonnement n'avancerait pas — mais qu'il s'agira d'une identité qu'on reconnaîtra en considérant les choses à un point de vue déterminé. Tout l'art du raisonnement mathématique consiste précisément à choisir ce que l'on pourra négliger, éliminer — soit en vertu des conventions immuables des mathématiques, comme l'est par exemple celle qui reconnaît l'invariabilité dune figure géométrique transportée dans l'espace, soit en verlu d identités précé-

l'idiîntitk et l'ldentikication \M

(lemmcnt dômonlrées — de manièro lelle que ce fp^ii restera lums loiirnira une alïirmalion nous rapprochani du but que nous poursuivons. Le raisonnement sera d'autant plus bi*au, d'autant plus élégant, que le pas que l'on accomplira sera plus considérable, c'est-à-dire que l'ailirmation à laquelle on arrivera finalement sera plus inattendue. Mais iil faut aussitôt ajouter que c'est à la condition cpie le irytbme de ce procures soit quelque peu adapté à l'intelligence, sinon du commun des mortels, du moins du commun des mathématiciens. Que si au contraire le grand inçientcnr ou découvreur, à l'esprit de qui les rapports se révèlent pour ainsi dire directement, néglige trop de décomposer ses pas de géant, de manière à faciliter à ceux qui le suivront l'accès des hauteurs où il s'est élevé, il risque de rester longtemps incompris ou d'être traité même, le jour où l'on aura entin reconnu son mérite, de « génie abrupt », ainsi que cela est arrivé pour ce malheureux enfant qui était un des plus authentiques génies mathématiques du xix*" siècle : nous avons nommé Evariste Galois. iHegel qui, nous le verrons dans un chapitre ultérieur (tome II, pp. 40 et suiv.), professait à l'égard des mathématiques des idées assez étranges, s'est vivement élevé contre le fait qu'au cours d'une démonstration géométrique on procède parfois à une construction qui, tout d'abord, n'apparaît point comme nécessaire, c'est-à-dire comme indiquée par le contenu même du théorème ou, comme il le formule, « ne procède pas du concept du théorème » ; la construction « se trouve ordonnée et l'on doit obéir aveuglément à la prescription et tirer justement les lignes en question, alors qu'on pourrait en tirer un nombre infini... ; après -coup on reconnaît bien aussi que ces lignes étaient appropriées au but, mais l'appropriation n'est, de ce chef, qu'extérieure ^ ». Hegel, à l'égard de qui la nature, semble-t-il, s'était montrée plutôt parcimonieuse au point de vue du -don mathématique et qui avait cependant fait un effort con-

1. Hegel, Phaenomenologie, Werke, vol. II, Berlin, 1832, p. 31. Cf. sur le contexte de ce passage, tome II, p. 43.

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sidérable (sans doute un peu tardivement) pour s'assimiler ce savoir, a dû éprouver, en face de raisonnements plutôt élémentaires, ce sentiment de 1' « abrupt » que le mathématicien (s'il est loisible de comparer des choses fort petites à d'autres très grandes) ressent en présence des raisonnements de Galois. Nous avons du reste plus haut, à propos des lignes auxiliaires de la démonstration pythagoricienne, fait une remarque analogue. La démonstration est si surprenante qu'elle en paraît un peu artificielle : l'élève a tout d'abord l'impression d'assister à une sorte de tour de prestidigitation merveilleux, mais assez malaisé à réussir. Il y a, de ce chef, quelque chose de fondé dans le sentiment de Hegel et l'on ne peut mieux le confirmer qu'en constatant que Leibniz, qui était, on le sait de reste, un des plus grands mathématiciens de tous les temps, a exprimé un avis analogue, en accusant les géomètres d' « extorquer l'assentiment du lecteur » et de « contraindre l'esprit plutôt que de l'éclairer ^ ».

On pourrait, dans une certaine mesure, diminuer ce sentiment de surprise, en suivant une marche plus analytique, en faisant par exemple ressortir dès le début de la démonstration et en ne perdant jamais de vue que ce à quoi l'on tend, c'est à établir un rapport entre les diverses aires, en montrant comment on peut rechercher de divers côtés des figures qui sont appropriées à ce but ; cela pourrait rendre la démonstration plus « psychologique », mais ce serait certainement au détriment de cette élégance synthétique, qui en fait un monument précieux de l'esprit ingénieux des Hellènes. On peut aussi estimer qu'il serait peu profitable de vouloir l'alourdir de cette façon et que mieux vaut lui substituer une marche différente, comme le font quelquefois des manuels récents. Mais il faut bien com-

1. Leibniz, Opuscules et fragments inédits, éd. Couturat. Paris, 1903, p. 33: « Nam géométrie accurale quideni sua demonstrant,sed animam cogunt magis quant illustrant, in quo quidem adniirationem sibi majorem parinnt, dum invito Lectori assensum extorquent, eumque arte improvisa circumveniunt, sed memoripe atque ingenio Lectoris non satis consulunt, quia raliones caasasque naturales conclusionum quo modo occulunt, ut non facile agnoscatur modus quo sua inventa obtinuere. »

t/iI)ENTITK KV l/lDENTIPICATlON 1i:{

picndrc que, (luoi (ju'on fasse, on n'évilcra point lotalcuicnt le senlimcnt de surprise, l'impression d'un artifice (lias les déductions mathématiques. Ce sentiment n'est en ctlet que l'expression do ce l'ait (jue, procédant d'égalité en (•-alité, on est cependant parvenu à rapprocher, à relier [)iu' un signe d'égalité des concepts qui se trouvaient, auparavant, fort éloignés l'un de l'autre. En d'autres termes, il est l'expression de ce qui se trouve, dans cette déduction, de nouveau, de non-présent à notre conscience. Or, c'est ce nouveau, ce non-conscient préalablement que nous recherchons précisément, c'est pour en avoir la révélation que nous faisons des mathématiques, et celles-ci ne nous sont précieuses que dans la mesure où elles nous le révèlent, où elles se révèlent, selon la nomL^nclature de Kant, véritablement synthétiques. Poincaré a dit qu'en introduisant ce concept de Jugements synthétiques a pj^ori Kant n'a fait que baptiser la difficulté que présente, à ce point de vue, l'explicaiion du raisonnement mathématique, au lieu de le résoudre '. Cela est juste dans une grande mesure, mais Kant n'en a pas moins eu le mérite de préciser les données du problème. Le fait que ces énoncés sont a priori montre qu'ils devaient faire partie préalablement, de quelque façon que ce soit, du contenu de notre intelîec!, puiscpie nous avons pu en effet les en faire sortir sans recourir à des constatations extérieures, à de véritables expériences ; mais il est clair qu'ils ne s'y trouvaient qu'implicitement : l'élève à qui on va expliquer la multiplication de a -{- b par a — b sait fort bien ce que c'est qu'une somme, une différence, une multiplication ou un carré, et pourtant il ignore encore qu'en multipliant la somme de deux chiffrés par leur différence, il obtiendra la différence des carrés des deux chiffres. Et de même l'élève à qui on va démontrer le théorème de Pythagore connaît parfaitement la définition du triangle rectangle, mais n'a pas conscience que cet énoncé s'en déduit : si on lui demandait de construire un triangle rectangle tel que

1. H. Poincaré, La science el l'hypothèse, Paris, s, d., p. 10.

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la somme des carrés des côtés dépassât de 1/10 le carré de l'hypoténuse, il ne trouverait l'énoncé du problème nullement absurde et se livrerait sans doute à de nombreuses tentatives et mensurations avant de se convaincre de l'impossibilité de la tâche. Exiger que la révélation que nous a apportée la déduction mathématique « procède du concept du théorème », comme le demande Hegel, c'est exiger, étant donné la simplicité foncière des concepts mathématiques, qu'il n'y ait pas de révélation du tout.^ Hegel lui-même s'en est rendu compte dans une certaine mesure, car, dans son système, il a eu soin de mettre les mathématiques à part, de leur attribuer des raisonnemenis d'une nature particulière, entièrement distincts de ceux auxquels on se livre dans d'autres branches du savoir, et ' il n'a pas essayé en somme, en dépit d'incursions multiples dans ce domaine, de réformer les mathématiques comme il l'a fait pour les sciences physiques ; tout porte à croire, au contraire* que cpiand il les enseignait (ce qu'il a fait à plusieurs reprises) il le faisait à peu près à la manière habituelle, sans trop y mêler la déduction par le concept \

En résumant ce que nous venons d'exposer à propos de la manière dont notre intellect applique le concept de l'identicjue, nous dirons que ce qu'il importe de reconnaître surtout, c'est le rôle actif de ce même intellect. Car, sans doute, notre raison ne pourrait-elle agir comme elle le fait s'il ne préexistait point, dans les concepts qu'elle manipule ainsi, quelque chose qui correspond à cette notion de l'identité : la situation, de ce chef, est tout à fait analogue à celle que nous avons constatée au chapitre précédent (p. 99) pour l'existence du genre. Mais cet élément rationnel préexistant, notre raison intentionnellement — bien que cette intention reste souvent inconsciente — en grandit l'importance au point de faire, en cpielque sorte, résorber en lui le concept entier dont j elle s'occupe, puisqu'elle affirme que ce concept est iden-