CU. I. — L INFINI GEOMETRIQUE

est absurde ou illégitime au point de vue du nombre pur ne Test plus au point de vue géométrique, et les considérations de continuité invoquées plus haut, sans valeur en Arithmétique, sont absolument valables en Analyse, où Ton étudie la grandeur continue [III, iv, 25]. Nous sommes d'autant plus autorisé à donner un sens au symbole infini, que nous savons déjà, par tout ce qui précède, que le nombre ne suffit pas à représenter toutes les grandeurs, et qu'on a déjà été obligé de créer plusieurs espèces de nombres pour les appliquer aux divers états de grandeur qu'offre le continu géométrique. Il n'y a donc rien d'impossible à ce que le nombre inOni soit nécessaire pour représenter un état de grandeur, ou plutôt il est extrêmement probable que telle est bien sa véritable signification. 4. On ne manquera pas de nous objecter que nous avons raisonné

plus haut comme si les nombres e et — atteignaient leurs limites

respectives, alors qu'on sait qu'une suite indéfinie de nombres

n'atteint jamais sa limite. Cela est vrai (en général) des variables

assujetties à ne prendre que des valeurs numériques discrètes, mais

non des grandeurs qui varient d'une façon continue. Sans doute, si

l'on fait tendre, comme on dit, e vers zéro par la suite des valeurs -,

où n prend successivement toutes les valeurs entières positives, e n'atteindra jamais sa limite zéro, et ne deviendra jamais nul ; de

même, la fraction — = mn croîtra par des valeurs numériques de

plus en plus grandes, mais toujours finies et discontinues, et tendra, si l'on veut, vers sa limite l'infini, sans l'atteindre jamais. Mais si l'on fait au contraire varier e d'une manière continue en passant par toutes les valeurs réelles depuis 1, par exemple, jusqu'à zéro inclusivement, c'est-à-dire si l'on fait parcourir à la variable e l'intervalle fini et continu (1, 0), elle atteindra évidemment la limite infé-

tn rieure de ses valeurs, qui est zéro; et en même temps, la fraction —

variera d'une façon continue depuis m jusqu'à oo , inclusivement aussi, c'est-à-dire parcourra toutes les valeurs réelles supérieures à m, et atteindra la limite supérieure de l'ensemble des nombres réels, laquelle est, comme on sait, V infini fv. Note II, 12]. Tout dépend de la discontinuité ou de la continuité des variations de e; or si, au point de vue arithmétique, il est naturel de faire décroître

le nombre e par des valeurs discrètes telles que -, n passant par

218 L1V. IV. — LLNFINI MATHÉMATIQUE

toutes les valeurs entières, de sorte que n croît indéfiniment tout

en restant fini, et que- décroît indéfiniment sans jamais s* annuler,

au point de vue géométrique, au contraire, la grandeur représentée par e (par exemple a — b) peut décroître d'une manière continue, et alors rien ne l'empêche de s'annuler (par exemple b de devenir rigoureusement égal à a); par conséquent, la grandeur représentée

par — atteindra, elle aussi, sa limite, et deviendra rigoureusement

infinie. En d'autres termes, toute fonction continue dans un intervalle atteint dans cet intervalle la limite supérieure et la limite inférieure de ses valeurs [Note H, 13], et c'est pour cela qu'au passage continu à la limite

lim. e = 0 correspond le passage continu à la limite

hm. — = oo .

5. Remarquons, à ce propos, qu'il faut soigneusement distinguer l'infini proprement dit de l'indéfini, qui n'est qu'un fini variable, et qu'on appelle, suivant les cas, infiniment grand ou infiniment petit. Le nombre variable n qui parcourt toutes les valeurs entières est

toujours fini, bien qu'il croisse indéfiniment : on dit qu'il est infini -

ment grand. En même temps, son inverse - reste, lui aussi, toujours

fini, bien qu'il décroisse indéfiniment : on dit qu'il est infiniment petit. En général, on appelle infiniment petite une quantité variable qui tend vers zéro (a pour limite zéro), et infiniment grande une quantité variable qui croît au delà de toutes bornes, ce qu'on exprime en disant qu'elle a pour limite l'infini ou tend vers l'infini. Mais on ne doit pas confondre la quantité variable avec la quantité fixe qui est sa limite; non pas que la limite soit toujours et nécessairement en dehors du champ de variation de la variable, et qu'il soit de l'essence d'une limite de n'être jamais atteinte : ce n'est là qu'une propriété accidentelle de la limite, qui dépend de la manière dont la variable tend vers sa limite !. Ce qui est vrai dans tous les cas, c'est que la limite est une quantité fixe, une borne immobile, par opposition à la quantité variable qui s'en approche indéfiniment, et lors

1. Voir G. Miluaud, La notion de limite en mathématiques, ap. Revue philosophique, t. XXXII, p. 1.