CU. I. — L INFINI GEOMETRIQUE 2J

même que la limite est atteinte par le progrès continu de la variable, il y a toujours lieu de la distinguer, comme toute autre valeur fixe, de la variable qui y passe ou qui s'y arrête [111, iv, 6]. On pourra donc dire, en considérant le passage à la limite (continu ou discontinu) de la variable n, qu'elle est indéfinie; mais si on la regarde comme arrivée au terme de sa variation et coïncidant avec sa limite, il faudra dire qu'elle est proprement infinie. En effet, on ne considère plus alors la quantité à l'état fluent, mais à l'état fixe; et de même qu'une quantité fixe plus petite que toute quantité donnée est rigoureusement nulle, de même une quantité fixe plus grande que toute quantité donnée est rigoureusement infinie. L'infiniment grand et l'infiniment petit, qui sont corrélatifs et inverses l'un de l'autre, appartiennent tous deux au domaine du fini variable ou de l'indéfini; mais leurs limites stables sont placées en dehors de ce domaine et le terminent de part et d'autre : l'infiniment petit a pour limite zéro; l'infiniment grand a pour limite Vinfini.

6. Pour éclaircir et illustrer cette distinction abstraite, nous allons recourir à un exemple géométrique bien simple, qui rendra en quelque sorte visible et palpable la réalité de l'infini géométrique. Aussi bien les figures les plus compliquées où apparaît cet infini ne diffèrent pas essentiellement de celle que nous allons décrire, et Ton peut juger, par cet exemple, de tous les cas où l'infini s'introduit en Géométrie.

Considérons dans un plan (Fig. 16) un cercle 0 de rayon égal à l'unité (c'est-à-dire qu'on prend ce rayon pour unité de longueur), et une droite indéfinie XX tangente à ce cercle en A : OA est le rayon du point de contact. Supposons qu'une demi-droite indéfinie OZ soit mobile autour du centre 0, et coïncide, à l'instant initial, avec le rayon OA. Cette demi-droite peut faire un tour complet dans le plan et revenir à sa position initiale OA. Nous désignerons par M son point d'intersection avec la droite fixe XX (quand elle la rencontre). Pour étudier le mouvement (ou déplacement) de ce point M, on peut régler la rotation de la droite mobile OZ de deux manières bien différentes.

1° Supposons que le point M se déplace sur AX, à partir du point A, d'un mouvement uniforme, c'est-à-dire avec une vitesse constante : qu'il parcoure, par exemple, l'unité de longueur (c'est-à-dire tout segment égal à OA) en l'unité de temps (en une seconde). La longueur du segment AM (abscisse du point M) croîtra donc propor-

tionnellement au temps, et, dans l'hypothèse particulière que nous venons de faire, le nombre /qui représente cette longueur sera constamment égal au nombre t de secondes écoulées depuis l'instant initial. Or la droite AX étant indéfinie, le point M n'arrivera jamais au bout; il ne s'arrêtera donc jamais. La longueur AM sera toujours finie au bout d'un temps fini, mais elle ne cessera pas de croître avec le temps, et pourra surpasser toute longueur donnée, si grande qu'elle soit, pourvu qu'on accorde au point M un temps suffisamment long, mais néanmoins fini. Les nombres / et / (qu'ils soient égaux ou seulement proportionnels) prendront une fois toutes les valeurs réelles positives, et deviendront supérieurs à tout nombre réel donné. En résumé, la longueur AM deviendra infiniment grande, c'est-à-dire croîtra indéfiniment, ainsi que le nombre qui la représente; mais comme elle est toujours finie, on trouvera toujours dans l'ensemble des nombres réels finis un nombre correspondant à la position du point M.

Fig. 1(5.

D'autre part, considérons le point P de la demi-droite mobile OZ, qui au début coïncidait avec le point A. En même temps que le point M parcourt la demi-droite indéfinie AX, le point P parcourt la circonférence, de A en B. L'arc AP croît constamment, ainsi que le segment AM; non seulement il reste fini, mais il est toujours inférieur à l'arc AB qui correspond à l'angle droit AOB. En effet, puisque la demi-droite OZ rencontre toujours AX (à une distance finie du point A), elle ne peut venir coïncider avec OB, qui est parallèle à AX, c'est-à-dire qui ne la rencontre en aucun point (à distance finie). Cependant le point P s'approche indéfiniment du point B, de

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même que la droite OZ s'approche indéfiniment de OB sans l'atteindre jamais, de sorte que Tare BP, différence de Parc Vi\e AB et de Parc variable AP, décroît indéfiniment, sans jamais pourtant s'annuler. Cela veut dire, en termes plus précis, que Ton pourra trouver un temps fini t assez long, ou une longueur finie / assez grande, pour que Tare BP soit plus petit que tel arc donné, si petit qu'il soit, c'est-à-dire pour que l'arc AP diffère de l'arc AB d'aussi peu qu'on voudra. C'est ce qu'on exprime en disant que l'arc AB a pour limite l'arc AB quand le temps f, ou la longueur AM, croît indéfiniment, et l'on écrit :

lim AP = AB pour

lim t = oo ou pour

lim / = oo

formules qui, comme on le voit, n'impliquent aucun infini, mais simplement l'indéfini '. La longueur AM est infiniment grande, mais jamais infinie; l'arc BP est infiniment petit, mais jamais nul. On n'a donc jamais affaire, dans tout ce processus, qu'à des grandeurs finies, représentables par des nombres réels.

2° Supposons à présent que le point P se déplace d'un mouvement uniforme sur la circonférence, de A vers B, de manière à parcourir des arcs égaux en des temps égaux. Si petite que soit sa vitesse, c'est-à-dire Tare qu'il parcourt dans l'unité de temps, cet arc sera contenu un nombre fini de fois dans l'arc AB; donc le point mobile P arrivera en B au bout d'un temps fini, qu'il sera aisé de calculer; il coïncidera un instant avec B, et le dépassera même ensuite. A chaque instant de ce mouvement entre A et B, la demi-droite OZ occupe une position déterminée, et rencontre AX en un point M également déterminé. En résumé, nous établissons une correspondance univoque et réciproque entre les positions successives du point M et celles du point P au moyen du rayon vecteur OPMZ (c'est-à-dire par perspective, 0 étant le point de vue, ou encore le centre de projection). En même temps on établit une correspondance analogue entre les grandeurs qui définissent ces positions respectives, à savoir le segment AM et l'arc AP, qui sont deux longueurs. Seulement, dans le premier cas, la longueur AM était considérée comme la variable

1. Pour la signification de ces formules, voir Note II, il, corollaire I.

indépendante, et l'arc AP* comme la fonction; tandis que dans le second cas, Tare est la variable indépendante, et la longueur AM est la fonction (inverse de la précédente) ; ce changement de point de vue, qui, notons-le bien, ne modifie en rien la correspondance définie plus haut, équivaut à Vinversion de la fonction à étudier *.

Cela posé, cherchons où se trouve le point M quand le point P arrive en B. Tandis que, dans le premier cas, les deux grandeurs variables approchaient indéfiniment de leurs limites respectives sans jamais les atteindre (du moins en un temps fini), dans le cas présent l'arc AP devient égal à sa limite Tare AB, et peut même lui devenir supérieur; il faut donc que la longueur AM prenne, elle aussi, sa valeur-limite, qui est l'infini. Le point M a donc atteint la positionlimite que, dans le premier cas, il ne pouvait jamais atteindre (en aucun temps fini), et Ton doit dire que les deux droites AX et OZ se rencontrent à l'infini.

7. On nous objectera sans doute : Mais cette conclusion contredit la propriété essentielle des parallèles, qui leur sert de définition, à savoir qu'elles ne se rencontrent pas et n'ont aucun point commun. Or les droites AX etOB sont parallèles par construction (comme perpendiculaires à une même droite OA); donc le point M n'existe pas; dire qu'il est à l'infini n'est qu'un euphémisme pour dire qu'il n'est nulle part dans le plan.

Nous répondons à cela que la définition des parallèles ne signifie pas tout à fait ce qu'on veut lui faire dire. On affirme que deux parallèles ne se rencontrent pas, « si loin qu'on les prolonge », c'està-dire qu'elles ne se rencontrent pas à distance finie: on ne peut pas en conclure qu'elles ne se rencontrent pas non plus à l'infini. Dans cette définition, on considère les droites comme indéfinies seulement, non comme infinies; en d'autres termes, on dit que si deux droites ne sont pas parallèles, on devra leur trouver un point d'intersection à distance finie, c'est-à-dire qu'il suffit de les prolonger chacune d'une longueur finie pour les amener à se rencontrer, rien de plus; mais il ne peut être question de les prolonger l'une et l'autre à l'infini. Le fait que deux droites parallèles se rencontreut à l'infini ne contredit donc nullement la définition des parallèles.

Bien plus, dès que Ton admet que les deux droiles sont indéfinies, c'est-à-dire qu'on peut toujours les prolonger au delà d'un quel-