THÉORIE DE LA MESURE DES GRANDEURS : AXIOMES DE L'ÉGALITÉ

1. On nous demandera sans doute de définir d'abord ce que nous entendons par grandeur. Il est évident que la définition traditionnelle et banale de la grandeur : « ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution », enferme un cercle vicieux, car elle implique l'idée de grandeur, et même la notion de l'inégalité des grandeurs, du plus grand et du plus petit. De plus, elle considère la grandeur comme essentiellement variable, ce qui est une autre espèce de cercle vicieux : car toute variation suppose des points de repère fixes, et exige des données invariables, non seulement pour être constatée et perçue, mais même pour être conçue : car, si l'on ne peut concevoir le mouvement que dans un milieu immobile, de même on ne peut penser une grandeur variable qu'en la rapportant à des grandeurs constantes auxquelles elle devient égale tour à tour. On voit que la notion d'égalité est impliquée, aussi bien que celle d'inégalité, dans celle de variation. On ne peut donc, sans pétition de principe, concevoir et définir la grandeur comme une chose susceptible de varier. Au contraire, la grandeur est essentiellement et tout d'abord quelque chose de fixe et d'immuable, et ce n'est qu'après avoir posé diverses grandeurs fixes qu'on peut les considérer comme les états (nécessairement successifs, en vertu du principe de contradiction) d'une seule et même grandeur variable '.

2. Les mathématiciens modernes donnent de la même idée une définition en apparence plus rigoureuse : « On appelle grandeur

i. Nous laissons de côté pour le moment la question délicate de savoir à quelle condition la grandeur variable peut être conçue comme une et identique [Voir IV, ni, 13; Cf. 1" Partie, III, iv. 6].

toute chose qui peut être dite égale ou inégale h une autre '. » Mais cette définition nous parait enfermer le même cercle vicieux que la précédente. On remarquera d'abord que c'est une méthode étrange que de définir la grandeur « une chose dont on peut dire qu'elle est ceci ou cela » ; cette forme seule indique qu'il s'agit d'une notion indéfinissable, qu'on essaie de caractériser par quelques-uns de ses attributs. Ce qui est plus étrange encore, c'est qu'on ne la définit pas par un attribut intrinsèque que possède chaque grandeur isolément, mais par une relation possible entre deux grandeurs au moins : c'est avouer qu'on ne peut définir la grandeur en elle-même, puisqu'on croit devoir la définir par sa comparaison avec d'autres grandeurs. Tout cela prouve que cette formule enveloppe une pétition de principe. Et en effet, comment peut-on concevoir l'égalité ou l'inégalité sans savoir auparavant ce qu'est la grandeur? Comment penser une relation quelconque avant d'avoir l'idée de ses termes? Nous pourrions répéter de l'idée de grandeur ce que nous avons dit [Liv. I, Ch. m, 6, 7] de celle de nombre : on ne peut définir ni l'une ni l'autre par l'idée d'égalité, car, pour concevoir l'égalité de deux grandeurs ou de deux nombres, il faut évidemment avoir d'abord l'idée du nombre ou de la grandeur.

3. Cela est encore plus manifeste quand on considère, non plus la grandeur en général, mais telle ou telle espèce de grandeurs : on aperçoit mieux alors la nécessité d'avoir préalablement l'idée de cette espèce de grandeur. C'est ce que n'a pas vu Helmholtz : après avoir défini les grandeurs en général « des objets ou attributs d'objets que Ton peut comparer à d'autres semblables (?) au point de vue de l'égalité ou de l'inégalité », il appelle « grandeurs de même espèce (gleichartig) celles dont l'égalité ou l'inégalité se constate par la même méthode de comparaison * ». Pour prendre un exemple (le même que l'auteur que nous citons ici), le poids est un attribut des corps, et tous les poids seront des grandeurs de même espèce parce qu'on les compare au moyen d'un même instrument, la balance, par exemple. Mais c'est bien plutôt parce que le poids en général est une espèce de grandeur que Ton peut comparer entre eux les poids au moyen de la balance ; on n'aurait même jamais