Voir Note IV, §§ IV et V

4. Voir G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, §§ 3 et 14, où se trouve exposée une véritable Arithmétique des nombres infinis.

être indiscrète. Le nombre infini (w) peut être considéré comme à la fois pair et impair, si 2 est pris pour multiplicande; à un autre point de vue, il n'est ni pair ni impair, si 2 est pris pour multiplicateur «. Plus généralement, le nombre ta est premier, en tant qu'il n'est divisible par aucun nombre entier fini pris pour multiplicateur; en un autre sens, il est divisible par tous les nombres entiers finis, pris pour multiplicandes s. D'autre part, rien n'empêche qu'il ait son double, son triple, etc., son carré, son cube, etc., comme l'exigeait votre première objection 8. Ces propriétés, si curieuses et si étranges, ne sont nullement contradictoires : elles tiennent à la nature propre des nombres transfinis, et découlent logiquement de leur construction^ et de la définition des opérations à effectuer sur eux. Elles ne prouvent qu'une chose : c'est que les nombres transfinis sont d'une espèce originale, et que leurs propriétés sont irréductibles aux propriétés analogues (et homonymes) des nombres finis. Il n'y aurait contradiction réelle que si l'on prétendait assimiler entièrement les nouveaux nombres aux nombres finis, et imposer aux premiers les règles et propositions valables seulement pour les derniers, malgré leur hétérogénéité essentielle; or une telle contradiction est le fait, non des théoriciens de l'infini, mais de ses adversaires.

4 Fin. — Eh bien, soitl j'admets cette multitude de nombres infinis, puisqu'aussi bien je l'ai moi-même réclamée. Mais ne croyez pas pour cela échapper à la contradiction que je vous reprochais tout à l'heure. Mon objection subsiste, tout en se transformant : S'il y a plusieurs nombres infinis, il résulte de l'argument de Gaucqy que deux nombres infinis seront en même temps égaux et inégaux, ce qui est une contradiction formelle.

Ixf. — Je ne le pense pas, car s'ils sont à la fois égaux et inégaux, ce n'est pas sous le même rapport ; ils ne violent donc pas le principe de contradiction, tel qu'il a été formulé rigoureusement par Ahistotb \ En effet, il faut distinguer avec soin, dans les ensembles