De F Esprit géométrique, sect. I, fin

5. Pensées, éd. Havet, art. X, n° 1; cf. XII, 9. Il est digne de remarque que ce passage de Pascal se trouve cité (Année philosophique 1890, p. 84, 85} à une page de dislance de celui de la Critique philosophique, qu'il suffit pourtant à réfuter complètement.

dant c'est un nombre, et tout nombre est pair ou impair : il est vrai que cela s'entend de tous nombres finis. »

En général, selon une remarque de M. G. Cantor *, toutes les prétendues preuves de l'impossibilité du nombre infini sont vicieuses, en ce qu'elles attribuent a priori au nombre infini toutes les propriétés des nombres finis, ce qui est nécessairement contradictoire, car si le nombre infini existe, c'est à. la condition de posséder des propriétés différentes de celles des nombres finis; il doit donc constituer une espèce de nombre toute nouvelle, en opposition tranchée avec ceux-ci.

2. Fin. — Voici pourtant un argument sérieux, qui paraît exempt du vice que vous signalez : il est d'ailleurs d'un mathématicien illustre, de Cauchy ', qui lui-même l'attribuait à Galilée. On peut le formuler comme suit, en le simplifiant un peu 3 :

« Supposons donnée toute la suite des nombres entiers, nous pourrons former une autre suite exclusivement composée des carrés de la première, car on peut toujours faire le carré d'un nombre. Ainsi, par hypothèse, la seconde suite aura un nombre de termes égal au nombre des termes de la première. Or la première contient tous les nombres, tant carrés que non carrés; la seconde ne contient que des carrés. La première a donc un nombre de termes plus grand que la seconde, puisque, contenant tous les nombres, elle contient tous les carrés, et qu'elle contient en outre les nombres non carrés. Mais, par hypothèse ou construction, ces nombres de termes sont égaux; donc il y a des nombres égaux dont l'un est plus grand que l'autre. Mais cette conséquence est absurde; donc il est absurde de supposer la série naturelle des nombres actuellement donnée. C. Q. F. D.

« J'ai recueilli un certain nombre de manières de démontrer ce théorème; j'en ai essayé moi-même quelques autres. Celle-ci me parait la plus simple, et absolument irréfragable. »

Inf. — Ce raisonnement me parait en effet irréfragable, comme à vous; seulement, il prouve précisément le contraire de « ce qu'il fallait démontrer ». Quelle est, en efTet, l'hypothèse implicite sur

i. Sur les différents points de vue relatifs à Vin fini actuel, ap. Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Krilik, t. LXXXVI1I, p. 226.

2. Sept leçons de Physique générale^ rédigées par l'abbé Moigno, 3* leçon.

3. Rexouvibr, Principes de la Sature, chap. 111, appendice B (t. 1, p. 55).. Nous discuterons dans la suite cet argument sous la forme même que lui a donnée Cauchy. [Voir Ch. m, 5.] • . . .,

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laquelle il s'appuie constamment? C'est que la suite naturelle des nombres entiers est terminée, et en même temps donnée dans sa totalité; autrement dit, vous la supposez à la fois unie et infinie. C'est comme si Ton prétendait réduire l'ensemble des nombres entiers aux dix premiers, par exemple, puis qu'on voulût retrouver parmi eux le double, le triple, etc., le carré, le cube, etc., de chacun d'eux : on arriverait nécessairement à des contradictions énormes. Sans doute la « conséquence est absurde »; mais cela prouve uniquement l'absurdité de l'hypothèse, savoir que la suite naturelle des nombres est limitée. Si donc votre argument démontre un « théorème » quelconque, ce n'est pas, comme vous le pensez, l'impossibilité, mais au contraire l'existence idéale et la nécessité du nombre infini. En effet, il est indispensable pour représenter la multitude des nombres entiers finis, qu'aucun nombre fini ne peut exprimer : car ce nombre ne pourrait la représenter qu'en la terminant; or, en vertu de votre démonstration, elle est absolument interminable. Le nombre infini est donc justifié par l'argument même qui devait le ruiner.

Fin. — Je ne puis vous comprendre. N'est-il pas évident que si le nombre infini existe, et est le nombre de la suite naturelle des nombres, on doit le trouver au bout de cette suite, prolongée, comme on dit, jusqu'à l'infini?

Inf. — C'est justement ce qui vous trompe. Vous partez de deux prémisses également fausses : l'une, que la suite naturelle doit toujours avoir un dernier terme; l'autre, que le nombre infini doit faire partie de la suite naturelle. C'est affirmer d'avance que la suite naturelle est terminée, quoique interminable, et que le nombre infini est en même temps fini. Il n'est pas étonnant, dès lors, que vous aboutissiez à une conclusion absurde. En d'autres termes, vous concevez le nombre infini comme le dernier des nombres finis : c'est vous-même qui y introduisez la contradiction que vous lui reprochez. Tout au contraire, le nombre infini n'est aucun des nombres finis (cela est trop clair), pas même le dernier, attendu qu'il n'y en a pas de dernier. Vous avez donc, en somme, démontré péremptoirement par l'absurde : 1° que le nombre infini ne fait pas partie de la suite naturelle des nombres ; 2° que cette suite ne peut s'arrêter à aucun nombre fini, qu'elle n'a pas de dernier terme, en un mot, qu'elle est infinie.

3. Fin. — Laissons de côté pour le moment la question de savoir

si la suile naturelle des nombres est infinie; nous y reviendrons tout à l'heure [Ch. u]. Je ne veux considérer à présent que le nombre infini en lui-même, en tant que nombre abstrait. Or, qu'il fasse ou non partie de la suite naturelle, il n'en est pas moins vrai que. en vertu de l'argument de Caucuy, le nombre infini devrait être plus grand que lui-même, ce qui est manifestement contradictoire.

Inf. — Nullement; il faut seulement en conclure qu'il y a des nombres infinis plus grands les uns que les autres.

Fin. — A la bonne heure! Je m'attendais à cet aveu \ qui est déjà échappé à plus d'un infinitiste conséquent *. Mais cet aveu même vous condamne : car le nombre infini est le plus grand des nombres possibles; il est tel qu'il ne saurait y en avoir un plus grand, sans quoi ce ne serait plus l'infini. Vous voilà donc enfermé dans une contradiction insoluble.

Inf. — Je vois bien que vous vous faites une idée tout à fait fausse, et en effet contradictoire, du nombre infini : et c'est de cette conception inexacte que partent toutes vos objections. Sachez donc que le nombre inûni n'est pas le plus grand ou le dernier des nombres finis, ce qui est évidemment absurde, mais au contraire le premier et le plus petit des nombres infinis. En effet, M. Georg Cantor a créé une multitude de nombres « transfinis » infiniment plus nombreux que les nombres finis, et a trouvé le moyen de construire des ensembles superposés de nombres, tous plus infinis les uns que les autres, qui se succèdent dans un ordre régulier et s'engendrent suivant des lois fixes 3. Dans ces nouveaux ensembles, ou peut distinguer encore des nombres pairs ou impairs, premiers ou non; il va sans dire que cette parité et cette « primauté » ne sont pas identiques, mais seulement analogues à celles des nombres finis, et offrent des caractères essentiellement différents, parce que la division, dont elles dérivent, possède elle-même des propriétés originales \ Vous me demandiez tout à l'heure si le nombre infini est pair ou impair, premier ou non : cette théorie me permet de vous répondre, et de satisfaire une curiosité qui voudrait

t. M. Pillox : « S'il en était autrement, il faudrait dire : les nombres infinis, et non plus : le nombre infini. » Année philosophique 1890, p. 86.

2. Jbàïi Bbrnodilli : « C'est seulement une série nouvelle qui commence, toute formée des nombres infinis de grandeur. • Cité par M. Evellin, Infini et quantité.