I. Métaphysique, \\ 3, 1005 b

- DU NOMBRE IJiMM ABSTRAIT

infinis, in puissance et le nombre ; la puissance, qui représente simplement lu multitude des éléments d'un ensemble, el le nombre, qui représente le même ensemble bien ordonne, c'est -a-dire rangé en une suite linéaire, el qui dépend par conséquent de l'ordre assigné aux éléments dans cette suite'. Un ensemble infini donné a évidemment toujours la même puissance; mais il n'a pas toujours le même nombre, quand on change l'ordre de ses éléments. En effet, la démonstration de l'invariance du nombre suppose essentiellement une collection finie [I, i, 9], Par suite, des nombres infinis différents peuvent être à la fois égaux sous le rapport de la puissance, et inégaux en tant que nombres impliquant des ordres différents. Il n'y a pas là la moindre contradiction.

5. Fin. — Tout cela me parait bien fallacieux et bien obscur. Pour eclureir la question, prenons un exemple plus simple encore que celui de Cauchï; l'argument sera tout aussi probant. Si la suile naturelle des nombres entiers est absolument infinie, elle doit renfermer, d'une part, autant de nombres pairs que de nombres impairs ; d'aulre part, autant de nombres pairs que de nombres entiers en tout : car chaque nombre pair correspond à un nombre entier dont il est le double, et inversement, chaque nombre entier correspond au nomhre pair dont il est la moitié. Ainsi le nombre infini est égal ii la fois nu double et à la moitié de lui-même ; la suite naturelle des nombres « renferme plus de termes et infiniment plus de termes qu'elle n'en renferme, ce qui est une contradiction in teftmnh » \

Ihf. — La contradiction qui vous choque provient de ce que vous raisonnez sur un concept vague el confus du nombre; grâce aux distinctions que je viens d'établir, l'équivoque va se dissiper et la contradiction disparaître. 11 est parfaitement exact que le nombre des nomhres entiers (rangés dans la suile nalurelle) esl égal au nombre des nombres pairs (rangés par ordre de grandeur) et aussi au nombre des nombres impairs (rangés dans le même ordre.) Mais que le nombre total des nombres entiers soit r. en même temps el sous le même rapport » 2 le double de l'un de ces deux derniers nombres, c'est ce que vous n'avez pas prouvé, ou plutôt ce qui est absolument faux.