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Fin. — Gomment ! N'est-il pas évident que la suite naturelle des nombres renferme, outre les nombres pairs, des nombres impairs en nombre égal cl infini? et que, par conséquent, elle renferme plut de termes que la suite des nombres pairs, qui est déjà infinie?

Inf. — Qu'en savez- vous? Gela prouverait tout au plus que deux ensembles infinis peuvent avoir des nombres différents, ou que deux nombres infinis peuvent avoir la même puissance, ce qui n'est nullement contradictoire. Je vois bien que l'ensemble des nombres entiers est plus ricbe de contenu que l'ensemble des nombres pairs; mais il ne s'ensuit nullement qu'il soit plus grand en nombre. Encore une fois, cela dépend de l'ordre que vous assignez aux éléments de l'un et de l'autre : tout ce qu'il est permis d'affirmer, c'est que la suite naturelle des nombres entiers :

et la suite des nombres pairs correspondants :

ont le même nombre dans l'ordre où elles sont écrites.

6. Fin. — Pourtant il faut bien que le nombre de la première soit plus grand que celui de la seconde, puisque l'ensemble des nombres entiers est égal à celui des nombres pairs plus celui des nombres impairs; le nombre du premier est donc plus grand que le nombre de chacun des deux derniers, car il est le double de ce nombre.

Inf. — Fort bien ! Vous faites appel à la notion de somme pour définir l'inégalité des nombres infinis, ce qui est conforme à l'ordre logique '. Mais il faudrait d'abord avoir défini la somme de deux nombres infinis, pour savoir si une telle somme est nécessairement plus grande que chacun des nombres sommés. Or une telle somme est indéterminée (en nombre, sinon en puissance) si l'on n'assigne pas un ordre déterminé, non seulement aux deux nombres à sommer, mais aux unités constituantes de chacun d'eux, avec lesquelles on doit composer le nouveau nombre qui sera leur somme. L'addition de deux nombres infinis s'effectue en rangeant toutes les unités du second nombre, prises dans leur ordre, à la suite de toutes les unités du premier, rangées dans leur ordre. Lorsque vous considérez la suite naturelle des nombres comme la somme de la suite des nom-

i. Voir II, h, 7 {axiome IV de l'addition).

bres impairs et de celle des nombres pairs, vous dédoublez la première suite :

pour en former les deux suites semblables ou équivalentes :

(II) i, 3, 5, 7, 9,