PREMIÈRE PARTIE

Nous allons exposer et apprécier lour à tour les diverses conceptions de l'Arithmétique générale, c'est-à-dire les diverses méthodes par lesquelles on peut généraliser l'idée de nombre, et les diverses théories par lesquelles on peut justifier cette généralisation. La plus simple et la plus logique parait être celle qui engendre toutes les extensions du nombre au moyen des seuls nombres entiers, ou plutôt qui réduit aux nombres entiers toutes les autres espèces de nombres. C'est celle que M. Jules Tannery a adoptée et exposée dans son Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, et dont il a résumé l'esprit dans les lignes suivantes :

« On peut constituer entièrement l'Analyse avec la notion de nombre entier et les notions relatives à l'addition des nombres entiers; il est inutile de faire appel à aucun autre postulat, à aucune autre donnée de l'expérience. La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire mystère en mathématiques, se réduit à ceci : après chaque nombre entier, il y en a un autre *. »

Suivant cette conception rigoureuse et systématique, il n'existe, à proprement parler, que des nombres entiers; toutes les autres formes de nombres se définissent comme des groupes de nombres entiers, et toutes les opérations sur ces nombres, comme des combi-

i. Op. cit., Préface, p. vm. Cette phrase montre bien, soit dit en passant, la relation nécessaire qui unit la question de l'infini mathématique & celle de la généralisation de l'idée de nombre.

naisons des nombres entiers qui les composent, se ramenant en définitive aux « quatre règles ».

L'Analyse ainsi conçue n'est qu'une extension (prodigieusement compliquée, d'ailleurs) de l'Arithmétique élémentaire. C'est ce que M. Tannery a voulu prouver en reconstruisant l'Analyse entière, depuis les éléments jusqu'aux principes du Calcul infinitésimal, sans jamais faire appel aux notions d'infini et de continu, ni à aucune intuition géométrique1. Nous ne saurions mieux faire que de renvoyer le lecteur curieux à cet Ouvrage. Seulement, comme il est destiné au public scientifique, l'auteur s'est dispensé d'exposer tout au long la généralisation du nombre entier; il s'est attaché surtout à définir le nombre irrationnel, et s'est contenté, pour les autres espèces de nombres, de ces brèves indications :

« A la vérité, pour être complet, il eût fallu reprendre la théorie des fractions; une fraction, du point de vue que j'indique, ne peut pas être regardée comme la réunion de parties égales de l'unité; ces mots « parties de l unité » n'ont plus de sens. Une fraction est un ensemble de deux nombres entiers, rangés dans un ordre déterminé; sur cette nouvelle espèce de nombres, il y a lieu de reprendre les définitions de l'égalité, de l'inégalité et des opérations arithmétiques. J'aurais dû aussi reprendre la théorie des nombres positifs et négatifs, théorie que l'on ne dégage pas toujours de la considération des grandeurs concrètes, et dans laquelle il faut encore reprendre à nouveau les définitions élémentaires. »

Pour nous, qui ne nous adressons pas aux savants, mais aux « profanes », il y a un intérêt philosophique à exposer la généralisation du nombre entier dans son ensemble et d'une manière systématique, en nous conformant à la méthode qui vient d'être définie. En effet, cette méthode étant la même, en principe, pour les notions les plus simples que pour les plus complexes, il y a avantage à l'appliquer d'abord aux cas les plus élémentaires, afin d'en mieux saisir l'esprit : car c'est dans les premiers principes que se révèlent à plein le caractère et la tendance d'une méthode. C'a été d'ailleurs notre préoccupation constante, dans le cours de cet Ouvrage, de ramener toutes les théories à leur forme la plus élémentaire, et de les illustrer par les exemples les plus clairs et les plus familiers. Nous n'avons même pas craint l'uniformité et la répétition, au risque

i. Voir notamment la définition analytique des fonctions circulaires, op. cit., ch. iv, $ 96.

d'ennuyer et de fatiguer le lecteur, car cela même fait ressortir l'unité de la méthode et en précise le caractère. De plus, en le conduisant par degrés du simple au composé et du connu à l'inconnu, nous pensons lui avoir rendu la lecture plus accessible et le jugement plus sûr : car il pourra apprécier les cas les plus difficiles par les plus faciles, et les moins connus par leur analogie avec les plus connus.

Enfin, il était nécessaire d'exposer à part la théorie des nombres fractionnaires, négatifs et imaginaires, car, ainsi qu'on le verra, on ne peut pas les définir et les introduire de la même manière que les nombres irrationnels, et cette diversité même de méthode sera peutêtre instructive à elle seule.

Voilà pourquoi nous avons cru devoir développer et compléter l'exposition de M. Tannery, en nous inspirant de ses indications et de son enseignement. Qu'il nous soit permis de le remercier ici de ses leçons et de ses conseils, qui nous ont été très précieux dans tout le cours de notre travail, et de lui faire hommage en particulier de cette première Partie, dont nous lui devons la plus grande et la meilleure part. Nous voudrions que cet essai ne parût pas trop indigne de notre maître, et qu'il pût servir aux philosophes novices en mathématiques d'introduction à son excellente Introduction.