XXIV INTRODUCTION

De. son côté, le nombre infini offre des analogies profondes avec le nombre irrationnel : l'un et l'autre représentent des grandeurs incommensurables, et trahissent l'insuffisance du nombre à traduire la grandeur. En outre, il y a une connexion étroite entre les idées d'infinité et de continuité : or, si celle-ci trouve son expression naturelle et adéquate dans les nombres irrationnels, celle-là s'exprime par le nombre infini. Enfin, la continuité essentielle des grandeurs enveloppe elle-même une infinité de parties, et justifie encore par là le nombre infini. Pour toutes ces raisons, le nombre infini est une des extensions de l'idée de nombre, la plus choquante peut-être, en tout cas la plus contestée, sans doute parce qu'elle manifeste le mieux le contraste du nombre et de la grandeur : c'est celle où se révèle pour ainsi dire à l'état aigu le conflit de ces deux idées primitives, irréductibles l'une à l'autre, et où apparaissent d'une manière saisissante leur disproportion et leur radicale hétérogénéité. Or, pour savoir si ce nombre paradoxal a un sens et une raison d'être, il faut le comparer aux autres extensions de l'idée de nombre, et se demander s'il ne se justifie pas de la même manière : et par conséquent, il faut auparavant rechercher si ces autres extensions sont légitimes, et pourquoi elles le sont. Ainsi l'étude de l'Infini mathématique parait devoir jeter une vive lumière sur les rapports du nombre et de la grandeur; mais, comme les notions de limite et de continuité, qui sont les bases de l'Analyse et le véhicule de l'idée d'infini, ne peuvent être élucidées que par l'examen critique de la généralisation du nombre, c'est par cet examen qu'il convient de commencer.