Définition de Cégalilé. — Deux fractions
sont dites égales, et Ton écrit
quand leurs termes vérifient la relation suivante :
abf = ba'.
On reconnaît aisément que cette définition satisfait les conditions générales de toute égalité, et notamment l'axiome : Deux grandeurs égales à une même troisième sont égales entre elles. En effet, si Ton a
c est-à-dire
ab' = ba! a'V = b'a"
et qu'on multiplie membre à membre les deux égalités précédentes, on obtient l'égalité
ab'a'b"=ba'b'a"
ou
ab" = ba"
qui signifie que :
3. Théorème. — Si Ton multiplie ou divise les deux termes d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction égale.
En effet, si l'on multiplie les deux termes de la fraction (a, b) par le nombre (entier) ??, on a
(a, b) = (an, bn)
car la condition d'égalité est remplie :
nbn = ban.
La même formule montre qu'on peut diviser les deux termes d'une fraction par un même nombre (qui est nécessairement un diviseur commun des deux termes); car si l'on met ce facteur commun n en évidence, diviser les deux termes par ce facteur revient à le supprimer, et Ton a :
(an, bn) = (a, b).
Si l'on supprime ainsi tous les facteurs communs aux deux termes d'une fraction, ou, ce qui revient au même, si l'on divise ces deux termes par leur plus grand commun diviseur (qui est le produit de tous leurs facteurs premiers communs), on réduit la fraction à sa plus simple expression. Les deux termes de Ja fraction obtenue sont premiers entre eux : une telle fraction est dite irréductible.
Ainsi toute fraction est égale à une fraction irréductible, et ses termes sont des équimultiples des termes de celle-ci.
4. Réciproquement, toute fraction qui est égale à une fraction irréductible a ses termes équimultiples des termes de celle-ci.
Soit (a, b) une fraction irréductible, (a\ b') une autre fraction égale h la précédente; on a par définition : '
ab' = ba'.
Or un théorème d'Arithmétique dit que, si un nombre divise un produit de deux facteurs et est premier avec l'un d'eux, il divise l'autre. Ici, le nombre b divise le produit ab\ puisque le quotient (a(/ : b) est le nombre entier a'; or, par hypothèse, b est premier avec a; donc b divise b\ et l'on doit avoir
b' : b = n ou
b' = bn,
n étant un nombre entier. Remplaçons // par sa valeur, il vient
abn = ba' ou
a' = an,
ce qui prouve que a, b* sont des cquimultiples de a, b,
5. Deux fractions qui sont égales à une même fraction irréductible sont égales entre elles, d'après ce qui a été dit plus haut; réciproquement, deux fractions égales sont égales à une même fraction irréductible. Soient en effet les deux fractions égales («, 6), (a', b') dont aucune n'est irréductible (sans quoi la proposition serait évidente). jSoit m le plus grand commun diviseur de a et de b, a et p les quotients de a et de b par m :
a = %m b = fui.
Soit n le plus grand commun diviseur de a' et de b', a' et (*' les quotients de a' et de b' par n :
a' = *n b' = Vn.
La relation qui exprime l'égalité des deux fractions devient
aiw. p'n = rpn. %'n ou
dp' . mn = £«'. inn.
Supprimons le facteur commun mn; il reste :
Dans cette égalité, % et p, x' et p' sont premiers entre eux, par hypothèse. Or, en vertu du théorème rappelé plus haut [4], p, divisant
le produit af/et étant premier avec a, divise p'\ p'> divisant le produit £a', et étant premier avec a', divise p. Les nombres entiers p et p', devant se diviser mutuellement, sont nécessairement égaux. Leur égalité entraine immédiatement celle des nombres a et a'; il est donc prouvé que les deux fractions irréductibles (x, p), (a', p*) sont identiques1.
Ainsi, si Ton réduit deux fractions égales à leur plus simple expression, on obtient la même fraction irréductible; en d'autres termes, deux fractions égales peuvent être rendues identiques. Nous supposerons désormais (à moins d'indication contraire) que les fractions données sont irréductibles.
De ce qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par un même facteur, il s'ensuit qu'on peut toujours réduire plusieurs fractions au même dénominateur. Nous n'insistons pas sur les règles de ce calcul, qui sont bien connues.
6. Définition de l'addition. — On appelle somme de deux fractions (réduites, s'il y a lieu, au même dénominateur) la fraction qui a le même dénominateur que les proposées, et pour numérateur la somme de leurs numérateurs.
C'est ce qu'on exprime par les formules suivantes :
[a, k) -h (b, *) = (a -f- />, A*), (a, b) -+- (c, d) = (ad, bd) -4- (6c, bd) = (ad -h bc, bd).
Cette dernière formule est générale, et s'applique au cas où les fractions données n'ont pas même dénominateur. Pour que cette définition soit légitime, il faut qu'elle satisfasse les conditions générales de l'addition, et notamment qu'elle possède les propriétés commutative et associative; c'est ce qu'il est aisé de vérifier.
La propriété commutative de l'addition s'exprime par la formule :
1. On pourrait aussi, en reprenant le même raisoi.nement que ci-dessus [4], dire : De la relation
a{i = jia
où a et p sont premiers entre eux, il s'ensuit que :
a' = an, fi' = p«.
Mais a' et fi' sont premiers entre eux; le facteur commun n ne peut donc Ctrc que i, de sorte qu'on a :
a' = a, fj' = p.
Vérifions-la pour les fractions en posant :
(a, b) -h (cy d) = (ad -+- bc, bd) (c, d) -h (a, b) = (cb -f- da> bd).
Les seconds membres de ces deux identités sont égaux, en vertu de la propriété commulative de l'addition et de la multiplication des nombres entiers :
ad -+- bc = bc -+- ad = cb -+- da.
La propriété associative de l'addition s'exprime par la formule :
Le premier membre (qu'on écrit simplement : A -h B + G) signifie qu'on ajoute B à A, puis G à la somme obtenue; le second membre signifie qu'on ajoute C à B, puis leur somme à A. Vérifions cette égalité en posant :
(a, b) -h (c, d) -+-(e,f) = (ad -h bc, bd) -+-(e,f) = (adf-h bef-h bde, bdf) (a,b)-+- [(c, d) -h (*, /)] = (a, b) -h (c/"H- cte, rf/*) = {adf-h bef-h bde, bdf\
On voit que les deux résultats sont identiques. 7. L'addition possède encore une propriété caractéristique, celle qu'exprime la formule suivante :
On appelle module d'une opération ou combinaison de deux nombres un nombre qui, combiné avec un nombre quelconque, n'en change pas la valeur. On énonce donc la propriété précédente en disant que l'addition a pour module zéro.
Nous ne connaissons jusqu'ici que le zéro de l'arithmétique élémentaire, c'est-à-dire le module de l'addition des nombres entiers, ou la différence de deux nombres entiers égaux. Nous pouvons l'appeler le zéro entier. Mais nous ne connaissons pas et nous n'avons pas encore défini le zéro fractionnaire. Ce sera, par analogie avec le zéro entier, le module de l'addition des nombres fractionnaires. Or telle est toute fraction dont le numérateur est zéro. En effet, si nous faisons dans la formule générale de l'addition
nous trouvons
(a, b) -h (0, d) = (ad, bd) = (a, b),
ce qui signifie qu'on peut ajouter à une fraction une fraction de numérateur nul sans changer la valeur de la première. D'autre part, toutes les fractions de numérateur nul sont égales, car, pour qu'on ait
(0, c) = (0, d) il faut et il suffit que
0xd=0xc
ou
ce qui est une identité, en vertu des règles de la multiplication des nombres entiers. On représentera donc le zéro fractionnaire par une fraction de dénominateur quelconque (non nul) et de numérateur nul. Remarquons, en outre, que la somme de deux fractions ne peut être nujle que si ces deux fractions sont nulles. En effet, pour que, dans la formule générale âe l'addition
(a, b) -h (c, d) = (ad -+- bc, bd)
le second membre soit nul, c'est-à-dire pour qu'on ait
ad -+- bc = 0,
il faut que chacun des deux produits orf, bc soit nul, ce qui ne peut se faire que si l'un au moins des facteurs est nul dans chacun d'eux. Or les dénominateurs b et d sont essentiellement différents de zéro (en vertu de la définition des fractions); il faut donc que les numérateurs a et c soient nuls, c'est-à-dire que les deux fractions ellesmêmes soient nulles.
8. Enfin, la somme de deux fractions non nulles ne peut être égale à l'une d'elles. On va prouver que si l'on a
A + C = A, il faut que
Cette proposition est, on le voit, la réciproque de la propriété du module de l'addition, qui peut s'énoncer ainsi : Si
C=0 on a :
Supposons donc qu'on ail :
(ad-\-bcy bd) — (//, b).
Réduisons les deux fractions au même dénominateur :
(ad -h bc, bd) = (ad, bd).
Deux fractions qui ont même dénominateur ne peuvent être égales que si leurs numérateurs sont égaux (en vertu de la définition de l'égalité); on doit donc avoir
ad H- bc = ad ou
bc = 0,
car la proposition qu'il s'agit de démontrer est supposée établie pour les nombres entiers. Or b, étant un dénominateur, est essentiellement différent de zéro; il faut donc que
c'est-à-dire que la fraction ajoutée à (a, b) soit nulle, pour que la somme soit égale à (a, b).
9. Deux fractions qui ne sont pas égales sont dites inégales. L'inégalité de deux fractions s'exprime par la formule suivante :
qui, par définition, équivaut à celle-ci :
ab'^ba'.
Théorème. — Quand deux fractions sont inégales, il existe une fraction non nulle qui, ajoutée à Tune, donne une somme égale à l'autre, et qu'on nomme leur différence.
Soient, en effet, les deux fractions
Par hypothèse, on a aussi :
ad^ bc.
Supposons, par exemple :
ad > bc.
Je dis que la différence des deux fractions proposées est
(ad — bc9 bd), c'est-à-dire qu'on a :
(ad— bc, bd) H- [c, d) = (a, b).
En effet :
(ad — bc, bd) -h (c, d) = (ad — bc -h bc, bd)
= (ad, bd) =-• (a, b).
On écrit aussi :
(ad — bc, bd) = (a, b) — (c, d),
ce qui donne la formule de la soustraction des fractions *.
10. Puisque la fraction (a, b) est la somme de la fraction (c, d) et d'une autre fraction non nulle, on convient de dire qu'elle est plus grande que (c, d), ou que (c, d) est plus petite que (a, b), ce qui s'écrit :
Ces deux inégalités équivalent, par définition, à celle que nous avons supposée plus haut :
ad > bc, ou bc < ad.
On vérifierait sans peine que cette définition de l'inégalité satisfait aux conditions générales de toute inégalité, par exemple à celle-ci : Si l'on a :
on doit avoir aussi :
On voit aussi immédiatement que celte définition de l'inégalité est compatible avec la définition de l'égalilé, et qu'à elles deux elles comprennent tous les cas possibles, car les trois cas
correspondent aux trois hypothèses distinctes
ad> bc ad=bc ad < bc
qui sont exclusives l'une de l'autre, et qui comprennent tous les cas
possibles.
Remarques. — La différence de deux fractions égales est zéro. En
effet, on a dans ce cas :
ad = bc ou :
ad — bc = 0,
ce qui montre que la différence (ad — bc, bd) est nulle.
Quand deux fractions ont même dénominateur, leur égalité corres-
1. Dans le cas où les fractions ont le même dénominateur, la formule se simplifie :
(a, b) — (c, b) = {a — c, b) si a > c.
(o, b) — {a, b) = (c - a, b) si a < c.
pond à l'égalité de leurs numérateurs, et leur inégalité est de même sens que l'inégalité de leurs numérateurs !. Si donc on range plusieurs fractions de même dénominateur par ordre de grandeur, les numérateurs seront rangés par ordre de grandeur. L'ensemble des fractions ayant pour dénominateur un nombre donné est ainsi semblable à l'ensemble des nombres entiers.
11. Théorème. — Le produit d'une fraction par un entier n étant, par définition, la somme de n fractions égales à la proposée, est une fraction ayant même dénominateur que la proposée, et un numérateur n fois plus grand.
On écrit :
(a, b) x n = (an, b).
Gela résulte de la définition de l'addition des fractions et de celle de la multiplication des nombres entiers.
Remarque. — Si b est divisible par n, on peut simplifier le produit précédent, car
(an, £)=(«>-),
d'où la seconde règle bien connue de la multiplication d'une fraction par un entier.
12. Théorème. — Le quotient d'une fraction par un entier n est une fraction ayant même numérateur que la proposée, et un dénominateur n fois plus grand.
En effet, le quotient est par définition un nombre qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende. Or, si l'on multiplie le quotient supposé par n, on trouve :
(a, bn) X n = (an, bn) = (a, b).
On peut donc écrire :
(a, b) : n = (a, bn).
1. Quand deux fractions ont même numérateur, leur égalité répond à l'égalité de leurs dénominateurs, et leur inégalité est en sens inverse de l'inégalité de leurs dénominateurs. Cela résulte des formules
(a y b) = (c, d) quand ad = bc (a, b) > (c, d) .... ad > bc
(a, b) < (c, d) .... ad < bc
oit Ton fait, soit : a = c, soit : b = d.
Remarque. — Si a est divisible par n, on peut simplifier le quotient obtenu, car
{a, bn) = (£, *).
d'où la seconde règle bien connue de la division d'une fraction par un entier.
13. Définition de la multiplication, — On appelle produit de deux fractions une fraction ayant pour numérateur le produit des numérateurs, et pour dénominateur le produit des dénominateurs des fractions proposées.
On écrit :
(a, b)X(c, d)={ac, bd).
Les propriétés commutative et associative de cette opération sont presque évidentes, étant donné que la multiplication des nombres entiers possède ces propriétés.
1° On a :
En effet :
(a, b) {c, d) — (ac, bd) = {ca, db) = (c, d) (a, b).
2° On a :
En effet :
{a, b) {c, d) (e, f) = {ac, bd) (e, f) ~- {ace, bdf) (a, b) [{c, d) (e, /)] .-. (a, b) {ce, df) = {ace, bdf).
Remarques. — Dans la formule générale du produit, faisons c= 0 :
{a, b) (0, d) r= (0, bd).
Cela montre que le zéro fractionnaire possède la même propriété que le zéro entier, à savoir d'annuler tout produit dont il est facteur. Le produit d'une fraction par une fraction nulle est une fraction nulle.
Réciproquement, le produit de deux fractions ne peut être nul que si Tune au moins est nulle, car pour qu'on ait
(a, b) (c, d) = (0, bd),
il faut qu'on ait :
ac = 0,
ce qui exige, soit que
Cil. I. — T11É0RIE DES NOMBRES FRACTIONNAIRES 15
soit que
C rr.O.
En résumé, pour que le produit de deux fractions soit nul, il faut et il suffît que l'un des deux facteurs le soit. Ainsi se trouve étendue aux nombres fractionnaires une propriété bien connue de la multiplication des nombres enliers.
14. Multiplier une fraction (a, b) par une fraction (c, d) équivaut à multiplier la première par l'entière et à la diviser ensuite par rentier d. En effet, d'après les règles énoncées ci-dessus [11, 12], on a :
(a, b) X c (acy b) ... , ÂX ,.
v ± = v— ±-L = {acf bd) ^ (a, b) (c, d).
En particulier, multiplier une fraction par une autre dont le dénominateur est 1 équivaut à multiplier simplement la première par le numérateur de la seconde. Ainsi :
(a, /;) (c, 1) = (acy b) = (a, b) X c.
On est ainsi amené à considérer une fraction de dénominateur 4 comme égale au nombre entier qui est son numérateur, puisqu'elle joue le même rôle que ce nombre entier dans la multiplication des fractions.
En particulier, la fraction (1, 1) est le module de la multiplication des fractions, comme le nombre i est le module de la multiplication des entiers. En effet, le produit d'une fraction par la fraction (4, 1) ou, plus généralement, par une fraction dont les termes sont égaux, est égal à la fraction proposée :
(a, b) («, n) --z (an, bu) - (a, b); or :
On est donc naturellement porté à identifier les fractions de dénominateur 1 avec les nombres entiers qu'elles ont pour numérateur; d'autant plus que ces fractions, comme nous l'avons dit [10], ont entre elles les mêmes relations de grandeur que les nombres entiers qui en sont les numérateurs.
15. Pour que cette identification soit valable, il faut (et il suffit) que les définitions posées pour les fractions coïncident avec les définitions correspondantes pour les nombres entiers, et que les opérations définies pour les fractions se réduisent aux opérations analogues définies pour les nombres entiers, quand on remplace dans les formules la fraction (a, 1) par l'entier a.
i6 LIV. I. — GÉNÉRALISATION ARITHMÉTIQUE DU NOMBRE
C'est ce qu'on vérifie, d'abord sur les définitions de l'égalité et des inégalités :
(a, 1) = (by 1) quand a = b
(a, 1) > (b, 1) quand a > b
(a, 1) < (b, 1) quand a < b;
puis sur les formules des opérations fondamentales :
(a, 1) -h (b, l) = (a + M) = « + ^. (a, 1) — (b, \) — (a — b,i) = a — b. (a, 1) (b, 1) = (ab, i) = ab.
L'identification proposée est donc justifiée.
16. Remarque. — En vertu de l'identification précédente, multiplier un entier par une fraction équivaut à le multiplier par le numérateur et à le diviser par le dénominateur de cette fraction J :
En même temps la propriété commutative de la multiplication des fractions se trouve étendue au produit d'un entier par une fraction, car on a :
n X (a, b) = (n, i) (a, b) = (a, b) (n, 1) = (an, b) = (a, b) X n. Enfin, toujours en vertu de la même identification, on a :
(an, n) = (a, 1) = a,
ce qui démontre ce théorème :
Une fraction dont le numérateur est divisible par le dénominateur est égale au quotient de son numérateur par son dénominateur.
Il faut bien prendre garde qu'ici le mot quotient est pris dans le
sens de l'Arithmétique élémentaire; il désigne le quotient exact et
entier de deux nombres entiers.
En d'autres termes, si
a = bq,
(a, b) = (bq,b) — (a, i) = q.
Si le numérateur a d'une fraction, tout en étant plus grand que le dénominateur b, n'est pas divisible par celui-ci, on peut toujours essayer la division; elle donne alors un quotient q approché à moins d'une unité par défaut, et un reste r plus petit que b, ce qui s'écrit :
a = bq -[- r.
1. Nous retrouvons ainsi la conception de M. Méray, qui considère une fraction comme un facteur fictif ou complexe, formé d'un multiplicateur et d'un diviseur réunis en un symbole {Les fractions et les quantités négatives).
Cil. I. — THEORIE DES NOMBRES FRACTIONNAIRES 17
La fraction peut alors se simplifier, et se mettre sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction :
(a, b) ■- (bq -h r, b) = (67, b) + (r, b) = q H- (r, é).
L'entier est r/, quotient approché par défaut de a par b à moins d'une unité près; la fraction est (r, A), où le numérateur est plus petit que le dénominateur. Cette opération s'appelle extraire les entiers (Tune fraction.
Nous savons déjà multiplier et diviser une fraction par un nombre entier. Appliquons à une fraction et à un nombre entier les formules de l'addition et de la soustraction
(a, b) -f- n = (a, b) -f- (11, i) = (a -+- bn, b) ; (a, b) — n = (a, £) — (w, 1) = (a — 6n, 6) ; n — (a, 6) — (w, 1) — (a, b) = (6n — a, b).
Ces formules traduisent les règles bien connues, qu'il est inutile d'énoncer.
17. On voit que la différence d'un entier n et d'une fraction (a, b) n'existe qu'autant qu'on a :
a ^ bn ;
que la fraction (a, b) est plus grande ou p/us petite que le nombre
entier n, suivant qu'on a :
a > ^n ou
En vertu de la définition de l'inégalité des fractions, on écrira
donc/ suivant les cas :
(a, b) ; n ou
En particulier, une fraction (a, £) est p/us grande ou p/ws p^î(^ que 1, suivant qu'on a :
ou
On a déjà vu que si
a = bn
on a aussi :
Dans ce cas, la différence de la fraction et de l'entier qui lui est égal est nulle.
Ainsi sont définies l'égalité et l'inégalité d'une fraction et d'un nombre entier, et cette définition est légitime, car les trois hypothèses précédentes s'excluent mutuellement et comprennent tous les cas possibles. Étant donné un nombre entier, toute fraction est, ou égale, ou supérieure, ou inférieure à ce nombre.
Cette définition cadre encore parfaitement avec la/ règle que nous avons donnée pour extraire les entiers d'une fraction. En effet, puisque Ton a
a -- bq -h r, il en résulte :
a : bq ou
Or cela est conforme à la définition générale de l'inégalité de deux fractions, car la fraction (a, b) est dans ce cas la somme de l'entier q et d'une fraction non nulle (r, b), r étant différent de zéro :
Si
c'est que :
donc :
Mais on a aussi
donc :
a = bq,
Les deux résultats concordent.
18. Les définitions précédentes permettent de ranger un ensemble quelconque de fractions et d'entiers par ordre de grandeur. Nous savions déjà ranger par ordre de grandeur les fractions entre elles; nous pouvons maintenant les intercaler dans la suite naturelle des nombres entiers. Ou plutôt, grâce à l'identification des entiers avec les fractions de dénominateur 1, nous pouvons intercaler les entiers dans l'ensemble des fractions rangées par ordre de grandeur, et nous savons que dans cet ensemble ils seront rangés dans le même ordre que dans la suite naturelle des nombres, attendu qu'ils sont maintenant considérés comme des fractions de même dénominateur.
Ainsi s'opère, suivant le point de vue, l'extension de l'ensemble des nombres entiers par l'intercalation de nouveaux nombres intermédiaires, ou la réduction des nombres entiers aux fractions par leur identification avec certains éléments de ce nouvel ensemble. C'est d'ailleurs à ce second point de vue, le seul parfaitement logique et analytique, que nous nous sommes placé dans toute cette théorie !.
19. Définition de la division. — On appelle quotient de deux fractions une fraction qui multipliée par la seconde reproduit la première.
Soient les deux fractions
Je dis que leur quotient est
(rtrf, de).
En effet,
(ad, bc) (c, d) = (acdy hed) --.- (a, b).
On écrit donc :
(a, b) : (c, d) = (ad, bc).
Telle est la formule de la division, qu'on peut énoncer comme suit : Diviser une fraction par une autre', c'est multiplier la première par l'inverse de la seconde.
Définition. — On appelle fraction inverse d'une fraction donnée la fraction formée des mêmes termes que la proposée rangés dans l'ordre inverse.
Si l'on rapproche la formule de la division de celle de l'égalité, on voit que le quotient de deux fractions égales est l'unité : car si
(«, b) = (c, rf)
on a
ad = bc,
d'où :
(ai, bc) =(i, 1)=1.
En particulier, le produit d'une fraction par son inverse est l'unité :
(a, b) [b9 a) = (ab, ab) = (1, 1) = i.
Tout cela concorde avec la propriété que la fraction (1,1) possède d'être le module de la multiplication.
1. Ct Padé, Premières leçons d'Alyèbre élémentaire, Introduction.
Appliquons la formule générale de la division aux cas où le dividende ou le diviseur sont des nombres entiers :
1° (a, i) : (c, d) = (ad, c) = a X (rf, c),
d'où la règle connue : Diviser un entier par une fraction, c'est le multiplier par la fraction inverse.
2° («, b) : (c, 1)= (a, bc).
Ce résultat confirme l'identification de la fraction (c, i) au nombre entier c : car alors la formule précédente coïncide avec celle de la division d'une fraction par un entier, dont nous avons donné la règle plus haut [12].
ce qui démontre les deux théorèmes suivants :
Le quotient de deux nombres entiers quelconques est la fraction qui a pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur.
E*, réciproquement : Toute fraction est égale au quotient de son numérateur par son dénominateur.
20. On remarquera qu'ici le mot quotient est pris dans le sens défini pour les fractions. On entend par quotient de deux nombres entiers le quotient des deux fractions identifiées à ces nombres. D'ailleurs, ce quotient est en général fractionnaire, et ne se réduit à un quotient entier que lorsque les deux nombres sont divisibles l'un par l'autre. 11 n'y a donc pas de contradiction entre les propositions précédentes, qui établissent que deux nombres entiers ont toujours un quotient, et le théorème d'Arithmétique élémentaire selon lequel deux nombres n'ont de quotient que lorsqu'ils sont divisibles l'un par l'autre; car le mot quotient n'a pas le même sens dans les deux cas (quotient entier, quotient fractionnaire). C'est simplement une extension du sens du mot quotient aux cas pour lesquels il n'était pas encore défini, et une généralisation de la proposition établie plus haut [16] : Une fraction dont le numérateur est divisible par le dénominateur est égale au quotient de ces deux nombres. Pour mieux dire, le sens de quotient entier rentre comme cas particulier dans celui de quotient fractionnaire, comme les nombres entiers eux-mêmes rentrent dans l'ensemble des fractions. Aussi une telle généralisation ne modifie-t-elle en rien les lois de la divisibilité des nombres, et ne trouble nullement la théorie des nombres entiers.
Cn. I. — THÉORIE DES NOMBRES FRACTIONNAIRES 21
En vertu des propositions précédentes, on peut écrire :
ce qui justifie la notation usuelle des fractions.
On peut encore énoncer la même proposition sous une autre forme : Toute fraction peut être considérée comme le produit d'un nombre entier (son numérateur) par l'inverse d'un autre nombre entier (son dénominateur). En effet :
(a, *) = (*, 1)(I, 6) = aX(U).
En particulier, le produit d'un nombre entier par son inverse est l'unité :
On peut donc dire que l'inverse d'un nombre entier est le quotient (fractionnaire) de l'unité par ce nombre.
La formule précédente est susceptible d'une autre interprétation : le produit de (1, n) par n étant la somme de n fractions égales à (i, n), on peut dire que (1, n) est la ne partie de l'unité; non pas du nombre entier 1 qui est indivisible, mais de l'unité fractionnaire (i, 1) qu'on a identifiée à l'unité entière. D'ailleurs, si l'on applique la formule de la division des fractions, on trouve :
On retrouve ainsi la conception vulgaire des fractions, qui repose sur l'idée d'une unité divisée cn sous-unités égales. Une fraction quelconque (?«, n) peut être considérée comme la somme de m parties n" de l'unité :
Mais on voit que cette conception, loin de pouvoir servir de principe à l'introduction des fractions, ne se justifie, au contraire, que par la création préalable des nombres fractionnaires, en particulier de l'unité fractionnaire, et par les conventions qui définissent les opérations à effectuer sur ces nombres, notamment leur division. Bien plus, cette conception devient contradictoire, dès qu'on identifie l'unité fractionnaire (divisible) à l'unité entière (indivisible), de sorte que, au lieu de servir de trait d'union entre l'ensemble des nombres entiers et celui des fractions, elle serait un obstacle à leur fusion
partielle, par suite à l'extension qui en résulte pour le premier, et à la généralisation de l'idée de nombre.
On remarquera que la définition de l'inégalité des fractions fixe seulement leur ordre de grandeur [18], et que c'est la définition de la division qui leur assigne une grandeur absolue [19]. Cette définition elle-même repose sur celle de la multiplication par un entier [11], qui découle de la définition de l'addition [6]. C'est donc celle-ci, en définitive, qui détermine la grandeur absolue des nouveaux nombres, tandis que la définition de l'inégalité ne déterminait que leur grandeur relative '. Cette remarque est générale, et s'appliquerait à toutes les autres espèces de nombres que nous allons définir; nous nous dispenserons de la répéter.
1. Cf. H. Poikcarê, Le continu mathématique, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I, p. 33.
