THÉORIE DES NOMBRES QUALIFIÉS

Nous possédons à présent l'ensemble des nombres fractionnaires, comprenant l'ensemble des nombres entiers. Nous ne distinguerons plus désormais ceux-ci des fractions proprement dites, et nous désignerons les uns et les autres par les mots « nombres arithmétiques » ou par le mot « nombres » tout court, aucune confusion n'étant à craindre depuis l'identification des entiers à des fractions.

i. On peut définir d'une manière analogue un nouvel ensemble, celui des nombres qualiûés (positifs et négatifs) '.

Nous appellerons couple l'ensemble de deux nombres arithmétiques rangés dans un ordre déterminé. Soient a et b ces deux nombres; nous écrirons provisoirement le couple comme suit :

2. Définition de V égalité. — Deux couples (a, /v), («', b1) sont dits égaux, et l'on écrit

(«, b) = (a , b') si Ton a

Il résulte de cette définition que, si a — b, a' — b'. Donc tous les couples dont les deux termes sont égaux sont égaux entre eux :

On vérifierait sans peine que cette définition remplit les conditions générales de toute égalité : par exemple, que si l'on a

Ar:B, B~^C,

1. Pour plus de symétrie, nous emploierons la méthode de M. Weibrstrass, indiquée par M. Tanner y, op. Padé, Premières leçons d? Algèbre élémentaire, Préface, p. xii, note.

on a aussi ' :

3. Définition de V addition algébrique. — On appelle somme de deux couples le couple formé en ajoutant terme à terme les couples donnés, suivant la formule

On peut vérifier que celte définition satisfait les conditions générales de l'addition, et notamment que l'addition algébrique possède les propriétés commutative et associative, ce qui est presque évident, étant donné que l'addition des nombres arithmétiques les possède, et qu'une addition algébrique revient à deux additions arithmétiques des termes semblables.