Si l'équation

admet pour racine un nombre fractionnaire t-, cela signifie que le polynôme f(x) est divisible par le binôme (a — bx), ce qui s'écrit :

f (x) = 0 [mod a — bx]

En effet, si l'on annule le module, on a à résoudre l'équation du premier degré

a — 6a? — 0 et Ton trouve la racine

qui est aussi racine de l'équation (1), puisqu'alors la congruence devient ridentité

La congruence précédente permet donc d'éviter la racine fractionnaire :

De môme, dire que l'équation (1) a pour racine une fraction négative :

— ?, c'est dire que le polynôme f{x) est divisible par le binôme (a -h bx).

ce qui s'écrit :

f (x) == 0 [mod a -f- bx]

Ainsi cette congruence permet de représenter dans tous les cas toutes les racines rationnelles de l'équation (1) comme racines de l'équation algébrique du premier degré

a -h bx -- 0

en convenant de dire que cette équation a toujours une racine, quelles que soient les valeurs entières attribuées à a, 6.

13. D'une manière analogue, on représentera toutes les racines irrationnelles et imaginaires de l'équation (1) par des congrucnces de la forme

f (x) =0 [mod ax* -+- bx -+- c] en convenant de dire que l'équation générale du second degré

ax* -+- bx -+- c = 0

a toujours deux racines réelles ou imaginaires conjuguées.

En effet, si l'équation (1) admet pour racine le nombre imaginaire (a -+- pi), elle admet aussi pour racine le nombre imaginaire conjugué (a — pi) ; or cela signifie que le polynôme f{x) est divisible par les deux binômes imaginaires conjugués du premier degré

(x — a — pt) (x — a -+- pi)

c'est-à-dire par le trinôme réel du second degré

qui est leur produit; ce qui s'écrit :

f (x) == 0 [mod (x — a)* + pt]

Réciproquement, puisque toute fonction entière de x est décomposable en facteurs réels du premier ou du second degré, dire que le polynôme f(x) est divisible par un trinôme du second degré :

f(j) = 0 f mod ax1 -+- bx H- c]

c'est dire que f(x) devient identiquement nul pour les valeurs de x qui annulent ce trinôme (module de la congruence précédente), en d'autres termes, que l'équation

est vérifiée par les racines de l'équation du second degré :

ax1 -h bx 4- c = 0.

Remarque. — Tout trinôme du second degré peut se mettre sous la forme d'une somme ou d'une différence de deux carrés [cf. lro P., II, m, 4] :

(x — a)* db p»

Dans le second cas (différence) il a ses deux racines réelles; dans le premier (somme) ses deux racines sont imaginaires conjuguées.

Dans le cas particulier où p est nul, le trinôme se réduit au carré du binôme du premier degré (x — a); ses deux racines sont alors réelles et égales à a. Le polynôme f(x) contient, en ce cas, deux facteurs binômes égaux à (x — a), et admet, par conséquent, deux racines égales à « (racines de l'équation du premier degré : x — a = 0).

Si au contraire « est nul, le trinôme se réduit à

a?a±: p* et l'équation binôme qui en résulte

a2 db p2 ~ 0

a ses deux racines (réelles ou imaginaires) symétriques. En effet, le

612 note ni

trinôme se décompose alors en deux facteurs binômes du premier degré :

x* -h p» — (a? + pi) (* — PO

14. En somme, un nombre négatif ou fractionnaire n'est que le symbole d'une équation du premier degré impossible à résoudre en nombres entiers; un nombre irrationnel ou imaginaire "n'est que le symbole d'une équation du second degré impossible à résoudre en nombres rationnels. Seulement, au lieu de considérer ces symboles d'impossibilité comme des solutions véritables, et de les admettre à titre de nombres nouveaux, on c s'en passe » en écrivant les équations sous forme de congruences par rapport à des modules qui contiennent l'inconnue, ou plutôt l'indéterminée a?, de sorte que les racines négatives, fractionnaires, irrationnelles, imaginaires ne signifient rien de plus que les congruences que nous avons écrites ci-dessus. Dire que tel nombre algébrique est racine de l'équation algébrique

c'est dire que le polynôme f (x) est divisible par tel binôme du premier degré ou tel trinôme du second degré en x, dont ce nombre est la racine ou plutôt le symbole. La résolution des équations algébriques est donc ramenée à une question d'Algèbre pure, à l'étude de la divisibilité des polynômes.

15. Celte théorie est très satisfaisante par sa rigueur logique et par sa symétrie. Elle fait de l'Algèbre pure un simple prolongement de l'Arithmétique pure, et constitue entièrement ces deux sciences sur l'idée de nombre entier et sur les combinaisons de nombres entiers. L'Arithmétique générale, selon Kronecker, n'est pas autre chose que « la théorie des fonctions entières à coefficients entiers d'indéterminées », de sorte que toutes les propriétés de ces fonctions, quand on y attribue aux indéterminées des valeurs entières, se réduisent en somme aux propriétés des nombres entiers. Cette conception purement algébrique du nombre offre donc un grand intérêt philosophique, par sou caractère éminemment systématique. Elle a l'avantage de faire rentrer toutes les espèces de nombres sous le concept général de nombre algébrique, et de construire celui-ci avec la seule notion de nombre entier. Seulement (et c'est la rançon de ses mérites), elle ne tient compte que du nombre algébrique, et ne peut rendre raison des nombres transcendants [cf. lre P., II, iv\ En outre, si elle est parfaitement logique, elle ne parait guère rationnelle : elle présente les nouveaux nombres sous une forme indirecte et compliquée qui les dénature; de plus, elle semble reposer sur une sorte de cercle vicieux, car elle suppose, au fond, les concepts qu'elle prétend éviter. (Test ce que nous allons montrer par des exemples, en reprenant les principales formules relatives aux nombres négatifs et fractionnaires, qui sont encore les plus simples de toutes.

16. Khonecker lui-même fait observer que les congruences de module {x -\- \) se réduisent à des égalités entre nombres négatifs quand on annule le module, c'est-à-dire quand on détermine x par la condition

Or, si l'on résout cette équation, on trouve

comme il fallait s'y attendre, puisqu'on a obtenu les congruences en substituant l'indéterminée x au facteur — 1. Mais de deux choses l'une : ou bien l'on s'enferme strictement dans l'ensemble des nombres entiers arithmétiques, et alors cette solution n'a pas de sens, c'est-à-dire que l'équation précédente est impossible; on ne peut donc jamais annuler le module de la congruence, ni, par suite, la réduire à une égalité; ou bienj'on admet la racine négative — 1, et alors il n'y a pas de raison pour ne pas admettre au même titre tous les nombres négatifs, qu'il s'agit précisément d'éviter. Dans ce cas, la congruence peut bien se réduire à une égalité; mais il n'y a même plus besoin de cette congruence, qui n'était qu'un subterfuge destiné à tourner la difficulté, savoir l'impossibilité de la soustraction, et à éluder le nombre négatif, symbole de cette impossibilité.

C'est ce qu'on aperçoit sans peine sur l'exemple particulier donné par Kronecker. La congruence

7 4- 9as = 3 4- Sx [mod x 4- i]

exprime que les restes des deux membres, divisés séparément par le module, sont égaux. Or si l'on divise chacun des deux binômes

(7 4- 9s) et (3 4- 5*)

par (x 4- 1), on trouve de part et d'autre pour reste — 2, c'est-à-dire précisément le nombre négatif qui résulterait des soustractions, par hypothèse impossibles :

7 — 9 et 3 — 5.

De même, quand nous avons formé le produit de deux binômes :

(a 4- bx) (a' 4- b'x) = aa' 4- (aV 4- ba') x 4- W. x*

nous nous sommes bien gardé de diviser ce produit par le mo.dule (x 4- 1), comme on serait tenté de le faire, car nous aurions trouvé pour reste final

(aa' 4- bb') — {ab' 4- ba')

c'est-à-dire, encore une fois, le nombre qualifié qu'il fallait éviter.

Enfin, et plus généralement, si l'on divise un binôme quelconque (a 4- 6a?) par le module (x 4- 1), on trouve pour, reste (a — 6), c'est-à-dire une différence « réelle » ou « imaginaire » (au sens indiqué page 82, note 1). On retrouve donc par là la signification véritable des binômes de la forme (a 4- bx) :

a 4- bx = a — b [mod x 4- ij

Ainsi, même en conservant au module de congruence toute son indétermination, mais en poussant jusqu'au bout la division par le module, comme on en a le droit (puisque le dividende et le reste sont congruents par rapport au diviseur), on retombe nécessairement sur la notion du couple [lro P., I, n] qu'on voulait éluder. Dès lors, la notation par congruences devient inutile, et n'est plus qu'une complication gênante.

17. Ces dernières considérations ne s'appliquent pas aux congruences destinées à expliquer le calcul des imaginaires : car le reste final de la division d'un polynôme par (j1 -f- 1) peut être, et est en général un binôme du premier degré en x, tandis que le reste final de la division d'un polynôme par (x 4- 1) ne peut plus contenir x, et est entièrement déterminé.

Néanmoins, la justification des imaginaires par les congruences tombe sous le coup de la môme critique générale. En effet, pour que ces congruences se réduisent à des égalités, il faut annuler leur module, c'est-àdire déterminer x par la condition :

ai2 + 1 = 0.

Or, si l'on s'en tient à l'ensemble des valeurs entières, et même rationnelles, pouvant être attribuées à l'indéterminée x, l'équation précédente est insoluble ; il est donc impossible de déterminer x de manière à réduire les congruences à des égalités. Ou, si l'on passe outre, et qu'on essaie de résoudre cette équation impossible en appliquant aveuglément (et abusivement) les règles du calcul des radicaux, on aboutit au résultat absurde

qu'il s'agissait justement d'éviter. Ce résultat était d'ailleurs à prévoir : car on n'a obtenu les congruences qu'en remplaçant précisément t par x dans les nombres imaginaires. Lorsqu'ensuite on veut déterminer a?, on retrouve naturellement la formule qui caractérise le symbole i.

Ainsi l'on ne peut justifier les imaginaires au moyen des congruences qu'en annulant le module de celles-ci ; or cela équivaut à insinuer dans les formules le symbole 1/ — 1 qu'on veut en éliminer. On n'écrit pas explicitement

x— i/TTI mais on pose

ce qui revient exactement au môme. Tel est le cercle vicieux annoncé plus haut : on essaie, par exemple, d'expliquer la formule de multiplication des imaginaires

(a 4- ôi) (a' 4- 6'î) = aa' — W 4- (aV 4- 6a') î

par la congruence suivante :

(a 4- bx) (a' 4- Ux) = aa' — W 4- (aV 4- la') x [mod x8 4- ij

Mais celte congruence ne pouvant devenir une égalité que si le module s'annule, on est obligé de regarder x1 comme égal à — 1, c'est-à-dire d'admettre un carré négatif, ce qui, au point de vue purement arithmétique, est une contradiction formelle [iro P., I, h, 15]. Autant valait poser tout de suite, arbitrairement, la formule générale de multiplication (comme on Ta fait : lrc P., I, m, 6) et en déduire après coup l'égalité symbolique :

Puisque tôt ou tard il faut introduire cette formule fondamentale dans le calcul des imaginaires, il vaut encore mieux la présenter comme une

convention arbitraire, que de l'expliquer comme solution d'une équation impossible, c'est-à-dire par un non-sens arithmétique et algébrique.

18. L'on en peut dire autant des congruences par lesquelles on croit pouvoir se passer des nombres fractionnaires [9]. Mais ce cercle vicieux, qui leur est commun avec toutes les congruences que nous venons d'examiner, n'est encore que leur moindre défaut. Le lecteur a certainement remarqué la complication invraisemblable et rebutante des formules du calcul des fractions, écrites sous forme de congruences, et a dû en être d'autant plus surpris, que les fractions sont, de tous les nombres considérés jusqu'ici, ceux dont le maniement parait le plus simple et le plus facile, et est en tout cas le plus usuel et le plus familier. Cette complication est même plus grande qu'on ne s'en doute à première vue. Non seulement, comme on s'en aperçoit à la simple inspection des formules, chaque congruence est relative à un système de trois modules, et non plus à un seul module, comme dans la théorie des nombres négatifs ou imaginaires; mais encore chacun de ces modules contient une indéterminée particulière, affectée d'un indice qui peut changer à chaque congruence et prendre toutes les valeurs entières. Ainsi, tandis que, pour représenter l'ensemble des nombres négatifs ou celui des imaginaires, il su Ait d'une seule indéterminée x (correspondant au nombre unique — 1 ou 1/ — l); pour représenter l'ensemble des nombres fractionnaires, il faut employer autant d'indéterminées différentes qu'il y a de nombres entiers, puisqu'elles sont destinées à remplacer les inverses de tous les nombres entiers. Encore avons-nous fait grâce au lecteur de la formule de la division des fractions, qui se traduit par une congruence à quatre modules, et où figure une quantité doublement indéterminée, ayant elle-même pour indice une autre indéterminée :

bx

19. Rien ne montre mieux combien cette théorie est artificielle et détournée, que son extrême complication précisément dans la partie qui traite des nombres les plus simples; aussi fournit-elle un exemple remarquable du divorce entre l'ordre logique et l'ordre rationnel. Assurément, cette théorie est parfaitement correcte : on n'y relève aucun paralogisme, aucune contradiction intrinsèque; on ne peut lui reprocher un manque d'exactitude ou de rigueur. Il est certain que l'on peut, sans la moindre erreur, transformer tout le calcul des fractions en un calcul de congruences de la forme précitée; mais il est non moins certain que cette méthode n'est ni simple ni naturelle. Non seulement ce n'est pas ainsi qu'en fait les fractions ont été inventées, mais ce n'est pas là non plus le moyen le plus direct et le plus commode de les introduire : cette théorie masque la véritable nature des nombres fractionnaires, et dissimule leurs relations et leurs combinaisons sous une notation encombrante, en y mêlant des notions étrangères. Sans doute elle justifie, si l'on veut, les règles des opérations à effectuer sur ces nombres; mais, en les embarrassant de tant d'indéterminées, elle rendrait le calcul des fractions fort pénible, pour ne pas dire impraticable : car il ne suffit pas que les opérations soient possibles à la rigueur en théorie, il

faut encore qu'elles ne se traduisent pas dans la pratique par des formules prolixes et des écritures d'une longueur insupportable. Au fond, il est bien évident que ce sont les formules simples (I) qu'on a surchargées gratuitement de termes inutiles pour obtenir les identités (III), d'où l'on a tiré les congruences (II). Celles-ci ne font donc que déguiser, sous un appareil superflu et gênant, les formules élémentaires qu'on prétend en déduire. Une telle méthode, qui renverse ainsi l'ordre et l'enchaînement naturels des idées mathématiques, et qui part de notions relativement complexes pour expliquer les plus simples, peut bien être logique; elle n'est pas rationnelle. 20. Mais on ne réussit pas, môme au prix de cette complication fastidieuse, à se passer, comme on le prétend, de tout nombre fractionnaire, tin effet, les congrucnccs ne se réduisent aux égalités qu'on veut établir que si l'on annule tous leurs modules, c'est-à-dire si l'on attribue aux indéterminées

respectivement les valeurs fractionnaires

m n mn

qui par hypothèse n'ont pas de sens, et qu'il s'agit justement d'éviter. A quoi bon, dès lors, exclure les fractions et substituer à leurs dénominateurs de prétendues indéterminées, si, quand on veut transformer les congruences en égalités, on est obligé, au rebours, de remplacer ces indéterminées par des inverses de nombres entiers?

En résumé, la tentative de Kroneckeh pour justifier les règles du calcul des nombres algébriques par la considération des congruences à modules indéterminés est à la fois laborieuse et vaine, parce que, dès qu'il s'agit de lover l'indétermination pour obtenir des égalités rigoureuses, on retrouve les notions qu'on voulait éviter comme absurdes, et qu'on a subrepticement introduites dans les formules où Ton prétendait s'en passer. Ou bien les indéterminées ne doivent prendre que des valeurs c réelles » (c'est-à-dire entières^, et alors les congruences sont valables, mais restent indéterminées, et ne peuvent jamais coïncider avec les égalités exactes qu'on cherche à on tirer; ou bien on veut réduire les congruences à ces égalités en annulant leurs modules, mais alors on ne trouve pour les indéterminées que dos valeurs impossibles, et les congruences n'ont plus de sens arithmétique, on n'a donc rien gagné à ne pas introduire d'abord ces valeurs t imaginaires », comme nous l'avons fait [1™ P., II, H, iif , et l'on ne réussit pas a les éviter.