INFINIS

1. Définition. — c On dit qu'un ensemble de nombres est défini, si Ton donne le moyen de reconnaître si tel nombre que Ton veut appartient ou n'appartient pas à l'ensemble considéré. * »

Le moyen en question peut être, soit une énumération particulière des éléments de l'ensemble, soit une définition générale ou une loi progressive de formation. Le premier moyen ne peut servir à définir qu' c une collection finie de nombres donnés individuellement ». Le second moyen est également applicable aux ensembles finis ou infinis. Par exemple, l'ensemble ou < suite naturelle » des nombres entiers est donné par sa loi de formation (addition de l'unité à elle-même) ; l'ensemble des nombres rationnels plus petits que 3 est donné par une définition générale. Une suite infinie de nombres (telle que celles qu'on a vues dans la ire Partie [I, iv; II, iv]) peut être donnée, soit par une définition générale, son terme général un étant défini en fonction de l'indice n qui marque son rang; soit par une loi de formation progressive ou récurrente, si l'on donne le moyen de trouver Mn-f-i connaissant tin.

On appelle élément d'un ensemble tout nombre qui appartient à cet ensemble.

2. Définition. — On dit que deux ensembles bien définis ont la même puissance, si l'on peut établir entre eux une correspondance univoque et réciproque, de telle sorte qu'à chaque élément de l'un correspond un élément de l'autre, et qu'à deux éléments différents de l'un correspondent deux

4. Cette Note est un résumé d'ensemble de9 mémoires de M. Georg Cantor, énumérés dans YIndex bibliographique. Des expositions partielles en ont été déjà faites, en France, par M. Paul Tannbry : Le concept scientifique du continu : Zenon d'Elée et Georg Cantor, ap. Revue philosophique, t. XX, p. 385; Sur le concept du transfini, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. II, p. 465. Un exposé plus complet se trouve dans la thè9e de M. Hannequin : Essai critique sur Vhypothèse des atomes dans la science contemporaine, Livre 1, ch. i, § IV (p. 48-69).

2. J. Tannery, op. cit., § 15. Cf. définition de la suite, § 20 [Voir lro P., I, îv, 16].

éléments différents de l'autre. Autrement dit : si à chaque élément de l'un correspond un élément, et un seul, de l'autre, et inversement.

S. Deux ensembles de même puissance sont dits équivalents. On les appelle semblables ' lorsque la correspondance univoque et réciproque est effectivement établie entre eux. Ainsi deux systèmes sont équivalents, quand ils peuvent être rendus semblables.

Deux ensembles équivalents à un même troisième sont évidemment équivalents : car si on les rend semblables à ce troisième, ils seront aussi semblables entre eux.

Tous les ensembles équivalents à un même ensemble sont rangés dans une même classe, que représente ce dernier ensemble, pris pour type ou représentant de la classe ou de la puissance commune à tous ces ensembles *.

4. Un ensemble A est dit faire partie de l'ensemble B, si tout élément de A appartient à B.

Si de plus B fait partie de A, c'est-à-dire si tout élément de B appartient à A, les deux ensembles sont identiques.

Si au contraire quelque élément de B n'appartient pas à A, l'ensemble A s'appelle partie intégrante de B 3. Cela revient à dire que A fait partie de B, mais que B ne fait pas partie de A.

5. Un ensemble est dit infini, quand il est équivalent à une partie intégrante de lui-même 4. 11 est dit fini dans le cas contraire.

Deux ensembles équivalents sont tous deux finis ou tous deux infinis s.

Un ensemble dont une partie est infinie est lui-même infini; et réciproquement, toute partie d'un ensemble fini est finie 6.

Théorème. — Si deux ensembles n'ont pas la même puissance, l'un d'eux a la même puissance qu'une partie intégrante de l'autre.

Si, par exemple, l'ensemble A n'a pas la même puissance que l'ensemble B, mais a la même puissance qu'une partie intégrante de B, on dit que l'ensemble A a une puissance plus petite que l'ensemble B, et l'ensemble B une puissance plus grande que l'ensemble A.

Corollaires. — 1° Toute partie intégrante d'un ensemble fini a une puissance plus petite que cet ensemble. Car si elle avait la même puissance, cet ensemble serait infini, par définition.

'2° Deux ensembles finis équivalents sont toujours semblables, quel que soit l'ordre de leurs éléments. En effet, si l'un d'eux pouvait être semblable à une partie intégrante de l'autre, celui-ci serait équivalent à une partie intégrante de lui-même, c'est-à-dire infini, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Ilemarques. — 1° Deux ensembles quelconques sont équivalents, quand ils sont semblables pour un certain ordre de leurs éléments; mais s'ils sont semblables pour un ordre quelconque de leurs éléments, c'est qu'ils sont finis.

4. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen, § 3, 32. l\ Ibid., 34.