Considérons donc l'équation générale du second degré
ax% + te + c-'0
où les coefficients a, h, c sont entiers ou rationnels.
Pour la mettre sous cette forme (qui est la forme régulière de toute équation algébrique de degré supérieur au premier), on a fait passer tous les termes dans le premier membre, ce qui suppose la soustraction toujours possible, c'est-à-dire l'invention préalable des nombres négatifs. Les coefficients sont donc des nombres qualifiés.
3. Supposons a différent de zéro, ce qui est permis : car si a était nul, l'équation ne serait pas du second degré, mais du premier. On peut alors diviser le premier membre par le coefficient a : il vient :
Posons
l'équation peut s'écrire
x* -h px -f- q - 0.
Pour la mettre sous cette forme plus simple (c'est-à-dire pour réduire le coefficient de x* à l'unité), on a dû diviser tous les termes par un nombre quelconque a (non nul), ce qui suppose la division toujours possible, c'est-à-dire l'invention des nombres fractionnaires. On voit que la résolution de l'équation générale du second degré présuppose la création de l'ensemble complet des nombres rationnels.
1. Pour montrer l'analogie et la filiation historique des deux sens du mot racine, il suffit de dire que la racine arithmétique d'ordre n d'un nombre k est une des racines aigébriques de l'équation binôme :
Ainsi se confondent, en fait, les deux points de vue. arithmétique et algébrique, que nous avons distingués dans la généralisation de l'idée de nombre.
Les nouveaux coefficients p, q sont "des nombres quelconques de cet ensemble.
4. L'équation peut se simplifier encore et se mettre sous la forme de l'équation binôme
de manière à faire disparaître le terme du premier degré en x. 11 suffit pour cela de poser :
En effet, de la première de ces égalités on déduit, en élevant ses deux membres au carré :
x* 4-p.r+^ - y'; par suite :
y* — À* — x* -h px -h '-s — 't- -h q . x* -h />,r -h ^f.
Tout revient donc à considérer l'équation binôme du second degré
ou
c'est-à-dire à chercher la racine carrée (algébrique) du nombre k, qui est un nombre rationnel qualifié. Ainsi la résolution de l'équation du second degré revient à ce problème d'Arithmétique : Trouver la racine carrée d'un nombre rationnel quelconque. Donc, pour que cette équation ait toujours une racine, on est obligé, comme nous l'avons annoncé, de généraliser la notion de racine carrée.
Il y a deux cas principaux à distinguer, suivant que le nombre k est positif ou négatif. Nous excluons ainsi le cas où ce nombre serait nul; la racine de k serait alors évidemment nulle.
5. 1** Cas. — Supposons d'abord k positif. Ou bien k est un carré parfait, ou bien il n'est pas carré parfait.
Si k est un carré parfait, c'est-à-dire s'il est le carré d'un nombre rationnel, il est aussi le carré du nombre symétrique; soit a la racine carrée arithmétique de À*; ses deux racines carrées algébriques sont -4- a et — a, car
L'équation considérée peut dans ce cas s'écrire
ou
et elle a pour solutions, d'après ce qui vient d'être dit :
y — -h a ynz — a,
ce qu on écrit simplement :
y ~ db «.
Si Ton désigne la racine carrée arithmétique de k par le signe
on pourra écrire :
Telle est, dans le cas considéré, la solution de l'équation binôme du second degré. On dit qu'alors elle a deux racines symétriques.
6. Mais cette solution est soumise à certaines conditions restrictives ; elle n'est donc pas générale. Or, si les coefficients a, 6, c de l'équation générale du second degré restent indéterminés (et il le faut bien, pour que la solution de l'équation ait toute la généralité possible), on doit pouvoir leur substituer des nombres rationnels quelconques. Quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres, toutes les transformations précédentes seront toujours possibles, excepté la dernière, à savoir l'extraction de racine indiquée par le signe \/k. Mais, comme on ne sait pas, en général, quelle valeur numérique prendra À* en fonction des valeurs numériques assignées aux coefficients a, b, c, on sera conduit k indiquer, à tout hasard, l'extraction de racine, et à écrire la formule explicite
y ---- ± i/fr
comme équivalant à l'équation proposée. Seulement, l'opération indiquée ne pourra être effectuée, et par suite la formule ne sera valable, que si le nombre k se trouve être un carré parfait; dans tout autre cas, elle n'aura pas de sens. L'équation devra êlre considérée comme impossible à résoudre (en nombres rationnels), et l'expression \/k ne sera plus qu'un symbole d'impossibilité.
7. Néanmoins, pour généraliser cette solution, on convient de dire que, dans tous les cas, l'équation
lT* .*i- ""^ " «.
CH. III. — ORIGINE ALGÉBRIQUE DES NOMBRES IRRATIONNELS 10o
a pour racine :
y n. ± vli
et par suite, d'écrire, quel que soit le nombre k :
On est ainsi amené à attribuer toujours un sens à l'expression
l/&, et conséquemment à créer, toutes les fois que le nombre k n'est pas carré parfait, un nouveau nombre, dit nombre irrationnel '», qu'on représente par le symbole l/k, et qu'on nomme racine carrée de k. Moyennant cette convention, on pourra. dire que tout nombre rationnel positif a deux racines carrées symétriques, dont la valeur absolue est sa racine carrée arithmétique ; et qu'une équation quelconque de la forme :
IJ> - k rz: 0
(où k est positif) admet deux racines symétriques.
8. Remarque. — Cette définition du nombre irrationnel coïncide, au fond, avec celle que nous avons exposée précédemment [Livre 1, Cbap. iv, 8], car c'est, en somme, de l'équation binôme
xî 3 — 0 ou
que nous nous sommes servi pour établir l'existence d'une coupure dans l'ensemble des nombres rationnels, et par suite pour créer un nombre irrationnel destiné à combler cette coupure, qu'il est dès lors naturel de représenter par i/3 et d'appeler racine carrée arithmétique de 3.
Seulement, cette conception toute formelle ne permettait pas de conclure immédiatement que le carré de l/3 est 3, et l'on a été obligé de définir une k une toutes les propriétés des nouveaux nombres, pour pouvoir les soumettre aux opérations ordinaires; tandis que la conception présente, fondée sur la généralité du calcul algébrique, permet d'étendre aussitôt aux nouveaux nombres les propriétés essentielles des nombres rationnels et les opérations définies pour ceux-ci. Par exemple, grâce à la formule :
I. Ce terme, consacré par l'usage, traduit bien le caractère d'absurdité qu'on attachait primitivement à ce symbole en raison de son origine.
qui résulte de la définition même du symbole i/k9 on peut traiter une racine irrationnelle comme une racine rationnelle et la faire figurer dans les calculs.
9. En revanche, s'il est vrai de dire que la racine carrée de tout nombre positif non carré parfait est un nombre irrationnel, on verra bientôt que tous les nombres irrationnels ne sont pas susceptibles d'une définition semblable, c'est-à-dire ne sont pas racines d'une équation algébrique à coefficients rationnels. Si donc la définition précédente est plus concrète que la définition fondée sur la notion de coupure, elle est moins générale, car elle ne définit qu'une partie (et une très faible partie) des nombres irrationnels.
Bien que Ton ne puisse pas, d'après ce qu'on vient de dire, considérer l'ensemble des nombres irrationnels comme l'extension de l'ensemble des nombres rationnels en vue d'assurer à l'extraction des racines toute la généralité nécessaire au calcul algébrique, la création des nombres irrationnels permet d'extraire la racine carrée, et plus généralement la racine d'ordre quelconque, non seulement de tous les nombres rationnels positifs, mais aussi des nombres irrationnels positifs eux-mêmes; de sorte que si la racine d'un nombre rationnel n'est pas toujours (pour mieux dire, n'est presque jamais) un nombre rationnel, la racine d'un nombre irrationnel quelconque est toujours un nombre irrationnel. L'ensemble des nombres réels positifs est donc complet au point de vue de l'extraction des racines arithmétiques. Il fournit ainsi le moyen de résoudre toute équation binôme de la forme :
où k est un nombre positif quelconque (rationnel ou irrationnel); et la solution est dans tous les cas donnée par la formule :
10. £c Cas. — Supposons maintenant k négatif. Le carré de tout nombre réel étant essentiellement positif [I, h, 15], il n'y a aucun nombre, rationnel ou irrationnel, dont le carré puisse être égal à A:, et qui, par suite, vérifie l'équation
Dans ce cas, l'équation binôme, n'ayant pas de racine réelle, est
CU. III. — ORIGINE ALGEBRIQl'E DES NOMBRES IMAGINAIRES 107
dite impossible; la formule qui représente la solution générale de cette équation,
n'a aucun sens, et n'est plus qu'un symbole d'impossibilité.
11. Voyons cependant ce qui arrive si, ignorant le signe du nombre k soumis au radical, on essaie de résoudre l'équation et qu'on pousse les calculs jusqu'au bout : or c'est ce qu'on est obligé de faire, toutes les fois que k est une expression littérale, dont la valeur numérique est nécessairement indéterminée, et peut être indifféremment positive ou négative, suivant les données. Pour nous rendre mieux compte de ce qui se passe, mettons le signe de k en évidence. Puisque tout carré est essentiellement positif, et que d'ailleurs tout nombre positif ou arithmétique a maintenant une racine carrée, on peut représenter la valeur absolue de k (ou encore le symétrique de k) par le carré a* (ou -h «*) ; alors le nombre k luimême sera représenté par — a* (a étant un nombre réel non nul). L'équation binôme devient
et cette forme rend son impossibilité encore plus manifeste : le premier membre, étant la somme de deux carrés, est essentiellement positif, et ne peut jamais s'annuler pour aucune valeur réelle attribuée à y.
D'autre part, la formule générale
y -± V/Âdevient
et cette forme met son absurdité en évidence. Si pourtant on continue à appliquer les règles du calcul des radicaux, dans l'hypothèse où le signe de la quantité soumise au radical, au lieu d'être apparent comme ici, reste incertain, on sera conduit à extraire le carré a* du radical : pour cela, on le met d'abord en facteur sous le radical :
y -- ± Va* (- i).
Or:
Va* (— 4) : y/a* X •— i -- db a v'— 1. Il vient donc finalement :
?/--±« V/—i9 formule tout aussi absurde que la première, mais où l'absurdité se
trouve en quelque sorte résumée dans le facteur l/ — 1. On a ainsi réduit le nombre négatif soumis au radical au nombre négatif ( — 1); et cette réduction est toujours possible, puisque tout nombre négatif peut être considéré comme le produit du nombre positif symétrique et de ( — 1), et que, d'autre part, tout nombre positif est le carré d'un nombre réel. 11 n'est pas moins vrai que le symbole l/ — 1 n'a aucun sens, et que l'équation binôme
y1 — k = 0 n'a aucune racine réelle.
12. Néanmoins, pour généraliser cette équation et lui conserver une solution, on convient de dire qu'elle admet dans tous les cas les deux racines symétriques :
et par suite d'écrire, quel que soit le nombre k :
{± \Zi)' - k.
On est ainsi amené à attribuer toujours un sens à l'expression l/Â, et par conséquent à créer, toutes les fois que k est négatif, un nouveau nombre représenté par l/J, qu'on nomme racine imaginaire de k. Moyennant cette convention, on pourra dire que tout nombre réel a deux racines carrées symétriques : réelles, s'il est positif; imaginaires, s'il est négatif.
En appliquant la formule précédente au cas où k est négatif, on trouve :
ce qui permet de traiter les racines imaginaires comme des nombres réels, et de leur appliquer les régies du calcul des radicaux. En particulier, puisque toute racine imaginaire peut se réduire, on vient de le voir, à Yhnaginairc par excellence V — i , et qu'on a :
si Ton représente, pour abréger, v' — 1 par la lettre i, on écrira :
V'— - a1 ~ ±a l/— 4 : : ± ai,
et Ton pourra dès lors introduire le nombre imaginaire ai dans les calculs, et considérer la lettre i comme un facteur ordinaire, en observant la formule
qui résume la règle de multiplication des imaginaires [I, m, 9].
13. Tout ce que nous avons dit de l'équation binôme reste vrai de l'équation générale du second degré, puisque celle-ci peut toujours se ramener à la forme binôme par la transformation indiquée plus haut. La solution générale de l'équation binôme fournit donc la solution générale d'une équation quelconque du second degré, et Ton peut énoncer à présent celte proposition d'Algèbre :
Toute équation du second degré à coefficients rationnels a deux racines, réelles ou imaginaires.
Pour connaître la formule générale de ces racines, il suffit de repasser du cas particulier de l'équation binôme au cas général, par la transformation inverse.
Nous savons que l'équation binôme
y* — k = 0 a pour solution générale, dans tous les cas,
y - ± \/h Posons, comme précédemment :
la formule de résolution devient :
x + l^rty/^-v,
on, en isolant x dans le premier membre
Telle est la solution générale de l'équation
x* -f- px -h (\ .— 0. f
1. Pour remonter à la forme la plus générale de l'équation du second degré, il suffit de poser, comme précédemment :
la formule de résolution devient alors :
- Il -+- * /£L <•
ou
__ — f) ±: \/b* — \ac
Telle est la solution générale de l'équation :
«x2 -f bx + c = 0.
14. Les deux racines de celte équation sont réelles ou imaginaires suivant que V — q - k est positif ou négatif.
Posons d'abord : — 5 -- a; * est toujours réel.
Si k est positif, on peut le représenter par -+- pf, S étant un nombre réel; la formule devient :
Les deux racines (x -h p), (x — p) sont alors réelles. Elles sont égales dans le cas où p = 0, c'est-à-dire : k - 0, ce qui signifie que
Si au contraire A est négatif, on peut le représenter par — f>f, p étant toujours un nombre réel; la formule devient :
x - x zh [/ — p* ~~~- * -+- pi
Les deux racines (x -h 6i), (a — pi) sont alors imaginaires conjuguées.
On retrouve ainsi, comme racines imaginaires de l'équation du second degré, les nombres imaginaires ou complexes sous leur forme générale, c'est-à-dire sous la forme d'une somme d'un nombre réel x et d'un nombre purement imaginaire pi. Les nombres réels rentrent dès lors comme cas particulier dans les nombres imaginaires : ils correspondent au cas où le coefficient de i, p, est nul.
Remarque. — Si le nombre purement imaginaire pi est la racine carrée de — p*% le nombre réel p, coefficient de?', est la racine carrée du nombre positif ou arithmétique p*. Or, puisque tous les nombres réels ne sont pas des racines carrées de nombres positifs rationnels, tous les nombres imaginaires ne s'obtiennent pas comme racines d'une équation du second degré à coefficients rationnels : car, pour avoir tous les nombres imaginaires de la forme x -h p/, il faut donner à chacun des éléments a et p toutes les valeurs réelles possibles. L'ensemble des racines réelles et imaginaires de l'équation générale du second degré, où l'on attribue aux coefficients a, //, c toutes les valeurs rationnelles possibles, n'est donc qu'une partie (et une infime partie) de l'ensemble des nombres réels et imaginaires.
15. Bien que, par suite, on ne puisse pas considérer cet ensemble
