I. Ou encore : IA — \ac

comme une extension de l'ensemble des nombres rationnels destinée à assurer toujours une solution à l'équation du second degré à coefficients rationnels, cet ensemble suffit à résoudre non seulement la susdite équation, mais encore toutes les équations du second degré à coefficients réels et même imaginaires. Seulement, tandis que les racines d'une équation à coefficients réels sont ou réelles, ou imaginaires conjuguées, les racines d'une équation à coefficients imaginaires sont en général imaginaires, mais non pas conjuguées; elles peuvent aussi, par exception, être réelles. Si donc Ton considère l'ensemble des nombres complexes comme enveloppant tous les ensembles antérieurement créés, on peut formuler cette proposition d'Algèbre :

Toute équation du second degré à coefficients complexes a deux racines complexes.

Cet énoncé montre bien que l'ensemble des nombres réels et imaginaires est complet au point de vue de la résolution de l'équation générale du second degré, et n'est plus susceptible d'une nouvelle extension au moyen de cette équation. 11 est également complet, au point de vue purement arithmétique, à l'égard de la généralité de l'extraction des racines carrées : car non seulement la racine carrée d'un nombre positif quelconque, mais encore la racine carrée de tout nombre réel (positif ou négatif), et même celle de tout nombre imaginaire, sont aussi des nombres complexes (au sens général du mot). Ainsi, de même que les nombres rationnels qualifiés sont nécessaires et suffisants pour représenter la solution de l'équation générale du premier degré, les nombres réels et imaginaires suffisent (mais ne sont pas tous nécessaires) pour représenter la solution de l'équation générale du second degré; et de même que dans l'ensemble complet des nombres rationnels la soustraction et la division sont toujours possibles et univoques (sauf la division par zéro), de même, dans l'ensemble des nombres complexes, l'extraction des racines est toujours possible (mais non univoque, chaque nombre ayant deux racines carrées, et plus généralement n racines d'ordre n).

16. Nous venons de dépasser, par cette dernière indication, le domaine de l'équation du second degré. En effet, si la racine carrée d'un nombre k est racine de l'équation binôme du second degré

la racine d'ordre n (racine n°) du nombre k est racine de l'équation

binôme de degré n :

Nous avons affirmé que toute équation binôme de degré w, où k peut être réel ou imaginaire, a n racines réelles ou imaginaires, de sorte que l'ensemble des nombres complexes peut être considéré comme complet à l'égard de l'extraction des racines de tout ordre '. Mais l'équation binôme n'est qu'une forme particulière de l'équation algébrique de môme degré; l'on pourrait donc présumer que les équations algébriques, en général, ne sont pas toujours satisfaites par des nombres complexes, et que l'équation générale d'un degré supérieur au second (du troisième degré, par exemple) donne lieu, comme l'équation du second degré, à l'invention d'une ou de plusieurs espèces de symboles, destinées à représenter les racines « imaginaires » ou « irréelles » de cette équation.

Ainsi se pose tout naturellement cette question : L'ensemble des nombres complexes suffit-il à résoudre les équations algébriques de degré supérieur au second, ou sera-t-on obligé, pour leur assurer dans tous les cas une solution générale et complète, de créer de nouveaux ensembles de nombres *?

17. La réponse à cette question ressort des découvertes de Gauss, qui peut être regardé comme l'introducteur des nombres complexes dans l'Algèbre. Rappelons d'abord quelquesdéfinitions fondamentales.

Toute équation algébrique à une inconnue peut se mettre sous la forme régulière :

a0xn -h atxn~l -h fl,.rB-2 -h -f- a„i x -+- an = 0

1. Pour en donner un exemple, le plus simple de tous, les 3 racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les 3 racines de l'équation binôme du 3* degré :

j3 i = o sont :

Ces deux dernières sont imaginaires conjuguées. On voit ainsi qu'elles s'expriment par le même symbolisme que les racines imaginaires du second degré (c'est-à-dire les racines carrées de nombres négatifs), ce qui est fort remarquable.

2. Depuis que ces lignes sont écrites, nous avons appris de M. J. Tanner y que M. H ermite se posait la môme question dans son cours à l'École Normale Supérieure : « Pourquoi n'y aurait-il pas lieu de créer de nouveaux nombres imaginaires à l'occasion des équations du troisième, du quatrième.... degré? » et qu'il faisait ressortir l'importance singulière que confère aux nombres imaginaires ce fait, qu'ils suffisent à la résolution complète des équations algébriques d'un ordre quelconque.

le second membre étant zéro, et le premier un polynôme entier en ar, ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de l'inconnue; un tel polynôme s'appelle une fonction entière de x. Le nombre entier w, exposant de la plus haute puissance de x% est le degré de la fonction entière, du polynôme et de l'équation ellemême. Les nombres

sont les coefficients de ce polynôme; ils sont supposés connus.

Cela posé, Gauss a démontré que toute fonction entière de jr, à coefficients réels % est décomposable en un produit de facteurs réels du premier ou du second degré en x, c'est-à-dire en un produit de binômes de la forme

f>0x -f- bx et de trinômes de la forme

cuxs -f- cxx -h c±

où les coefficients 60, bx\ c0, c„ c± sont des nombres réels.

Or, pour qu'un produit s'annule, il faut et il suffit que l'un de ses facteurs soit nul. Donc, pour que la fonction entière

a0xn -h «j-r"-1 H- H- an..{ x -f- an

s'annule, c'est-à-dire pour que l'équation en x

a0xn -h atxn-1 -f- -f- fl„-i x -h an — 0

soit vérifiée par une certaine valeur de .r, il faut et il suffit que l'un des binômes

V H- *i ou des trinômes

cu.r* H- cxx -h Ci

s'annule, c'est-à-dire que l'une des équations du premier degré

bvx -h //, — 0 ou du second degré

V! -+- rrr -f- c, - ■ 0

soit vérifiée par la même valeur de x. Ainsi l'équation proposée équivaut à l'ensemble de ces équations du premier ou du second degré, c'est-à-dire a les mômes racines que toutes ces équations réunies. D'ailleurs, comme le degré d'un produit est égal à la somme des degrés de tous ses facteurs, la somme des degrés des facteurs binômes et trinômes est n. Or chaque facteur binôme donne lieu à

la racine d'ordre n (racine ne) dn nombre k est racine de l'équation

binôme de degré n :

Nous avons affirmé que toute équation binôme de degré n, où k peut être réel ou imaginaire, a n racines réelles ou imaginaires, de sorte que l'ensemble des nombres complexes peut être considéré comme complet à l'égard de l'extraction des racines de tout ordre '. Mais l'équation binôme n'est qu'une forme particulière de l'équation algébrique de même degré; l'on pourrait donc présumer que les équations algébriques, en général, ne sont pas toujours satisfaites par des nombres complexes, et que l'équation générale d'un degré supérieur au second (du troisième degré, par exemple) donne lieu, comme l'équation du second degré, à l'invention d'une ou de plusieurs espèces de symboles, destinées à représenter les racines « imaginaires » ou « irréelles » de cette équation.

Ainsi se pose tout naturellement celte question : L'ensemble des nombres complexes suffit-il à résoudre les équations algébriques de degré supérieur au second, ou sera-t-on obligé, pour leur assurer dans tous les cas une solution générale et complète, de créer de nouveaux ensembles de nombres *?

Toute équation algébrique à une inconnue peut se mettre sous la forme régulière :

a0xn H- a^""1 -f- fl2.rB~~* H- H- an-\ x -h an — 0

1. Pour en donner un exemple, le plus simple de tous, les 3 racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les 3 racines de l'équation binôme du 3° degré :

^3 i = o sont :

2. Depuis que ces lignes sont écrites, nous avons appris de M. J. Tanner y que M. Hermitr se posait la même question dans son cours à l'École Normale Supérieure : « Pourquoi n'y aurait-il pas lieu de créer de nouveaux nombres imatj inaires à l'occasion des équations du troisième, du quatrième.... degré? » et qu'il faisait ressortir l'importance singulière que confère aux nombres imaginaires ce fait, qu'ils suffisent à la résolution complète des équations algébriques d'un ordre quelconque.

pryvi r -i

le second membre étant zéro, et le premier un polynôme entier en x9 ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de l'inconnue; un tel polynôme s'appelle une fonction entière de x . Le nombre entier w, exposant de la plus haute puissance de x, est le degré de la fonction entière, du polynôme et de l'équation ellemême. Les nombres

ftoi «p a4, a«iT an

sont les coefficients de ce polynôme; ils sont supposés connus.

Cela posé, Gauss a démontré que toute fonction entière de x, à coefficients réels, est décomposable en un produit de facteurs réels du premier ou du second degré en j, c'est-à-dire en un produit de binômes de la forme

b{)x -h bx et de trinômes de la forme

CyX* -f- cxx -h ct

où les coefficients b0, bt\ c0, c„ c± sont des nombres réels.

Or, pour qu'un produit s'annule, il faut et il suffit que l'un de ses facteurs soit nul. Donc, pour que la fonction entière

a0x* -h fljjp"-1 -h -h an i x -f- an

s'annule, c'est-à-dire pour que l'équation en x

a0xn -f- atxn~l -f- -h «„-i # -f- an ~ 0

soit vérifiée par une certaine valeur de xy il faut et il suffit que l'un des binômes

bux -h A, ou des trinômes

s'annule, c'est-à-dire que l'une des équations du premier degré

b0x -4- bx 0 ou du second degré

V* "+- rrr "+- ct " ■ Q

(ce qui obligeait à dire que la différence de deux nombres entiers égaux n'existait pas), il fera nécessairement partie du système II, et on le définira comme la différence de deux nombres entiers égaux. Au point de vue algébrique, ce nouveau nombre sera la solution de l'équation

a -h x — a, d'où

et Ton aura par définition :

On démontre aisément que le nombre ainsi défini conserve sa propriété essentielle de module de l'addition dans le système II, c'est-à-dire que la différence de deux nombres égaux de ce système est égale à zéro, ou nulle.

Il suffit de remarquer que si Ton a

(a — b) = (a — //), c'est-à-dire

a H- If = b' -h a\

la différence des deux nombres

est la différence de deux nombres entiers égaux, et par conséquent est égale à zéro.

Si dans les formules d'addition et de soustraction nous supposons

a — b et a b',

il vient

Or (a' — b') est par hypothèse une différence réelle effectuée, c'est-à-dire un nombre entier ordinaire n. Il s'ensuit qu'une différence réelle {a' — b') sera convenablement représentée par (0 -+- n) ou simplement par -+- n, et la différence imaginaire (b' — a'), symétrique de la précédente, par (0 — n) ou simplement par — n, qui sera dit le symétrique de -h n. En résumé, les différences, tant réelles qu'imaginaires, sont identiques aux couples définis Livre I, Chap. n; les différences réelles se réduisent aux nombres positifs, c'est-à-dire aux nombres entiers ordinaires, et les différences imaginaires aux nombres négatifs. Le système II que nous venons de construire

Cil. II. — ORIGINE ALGÉBRIQUE DES NOMBRES NÉGATIFS 83

coïncide donc avec l'ensemble des nombres entiers qualifiés (y compris zéro).

6. Remarquons, une fois pour toutes, que la création d'un nombre correspondant au résultat d'une opération impossible n'engendre ni confusion ni contradiction. Il n'y a pas de contradiction à donner un sens à l'expression (a — b) quand, arithmétiquement, elle n'en a pas; c'est justement parce qu'elle n'en a aucun qu'on est libre de lui attribuer tel sens qu'on veut; car si le nombre (a — b) n'existe pas, rien n'empêche de créer un nouveau nombre que représentera le symbole (a — b). Il n'y a pas non plus, comme on le voit, de confusion à craindre : la distinction entre les cas de possibilité et d'impossibilité de l'opération indiquée subsiste, car, quand la soustraction est possible, elle donne pour résultat un nombre positif (ou arithmé tique); quand elle est impossible, elle donne lieu à un nombre négatif que l'on considère comme le résultat; mais comme ce résultat est tout différent du précédent, aucune erreur n'est possible. Il n'y a donc rien de changé aux propriétés de la soustraction arithmétique; car une solution négative reste toujours un symbole d'impossibilité numérique. Les mêmes considérations s'appliquant également aux autres symboles d'impossibilité qu'on va ériger en nombres, nous nous dispenserons de les répéter.

7. 11 reste à définir les opérations multiplicatives à effectuer sur ces nouveaux nombres, ce qui se réduit à définir leur multiplication, la division étant l'opération inverse.

Pour conserver l'analogie que les nouveaux nombres offrent déjà avec les anciens au point de vue des opérations additives, on étendra simplement aux différences imaginaires les règles du calcul des différences réelles; on posera donc pour tous les cas, sans restriction, les formules

(a — b) Xc — cx(a — b) - ac — bc9

[a — b) (a' — b') — (aa' -4- bb') — {abf + ba),

qui n'étaient jusqu'ici valables que sous les conditions

On démontre aisément qu'en vertu de ces conventions, le produit de deux nombres quelconques du système II est encore un nombre de ce système, et que la multiplication ainsi définie est, comme celle des nombres entiers, commutative, associative et distributive sans exception. Elle est d'ailleurs toujours possible et univoque.

Quant à la division, qui se trouve définie comme la combinaison inverse de la multiplication, elle n'est possible, dans le système II, que si la valeur absolue du dividende est divisible par la valeur absolue du diviseur; leur quotient est alors la valeur absolue du quotient des deux nombres entiers qualifiés. La division des nombres du système II n'est donc pas toujours possible, et est sujette aux mêmes exceptions que la division des nombres entiers du système I; à cet égard, le système II n'est pas complet, et est susceptible d'une nouvelle extension.

8. Considérons maintenant l'équation du premier degré sous la forme générale à laquelle on peut toujours la ramener désormais :

bx — a,

a et b étant des nombres entiers qualifiés quelconques, autrement dit, appartenant au système II. Pour la résoudre, il suffit de diviser les deux membres par b; il vient :

Celte formule, où la valeur de l'inconnue est mise sous forme explicite, donne la solution cherchée. Mais elle n'a un sens, c'est-àdire elle ne représente un nombre du système II, que si le quotient de a par b existe, c'est-à-dire si l'on a

a ~— bny d'où

q étant un nombre entier qualifié. On sait d'ailleurs que la valeur absolue de q est le quotient arithmétique des valeurs absolues de a et de b, de sorte que la division arithmétique rentre comme cas

particulier dans l'opération indiquée par l'expression y, et par suite

les fractions arithmétiques rentrent comme cas particulier dans les fractions algébriques.

Dans ce cas, on écrira :

-b = a: br^q,

et la solution de l'équation sera :

Le nombre q est appelé racine de l'équation proposée. Dans tout autre cas, la division (arithmétique ou algébrique) indiquée par la formule étant impossible, l'équation elle-même sera

dite impossible, et l'expression j sera un symbole d'impossibilité.

9. Néanmoins, on convient de dire que dans tous les cas l'équation

bx - a a pour solution

x Tr

et par suite d'écrire, quels que soient les nombres a et b :

On est ainsi conduit à attribuer toujours un sens à l'expression -r, et conséquemment à créer, dans le cas où a n'est pas divisible

par b, un nouveau nombre représenté par le symbole j, qu'on

appellera quotient imaginaire, par opposition aux quotients réels tels que :

L'ensemble des quotients réels et imaginaires formera le « système III », qui comprendra le système II, et qu'on peut regarder comme le système II (et par suite aussi le système 1) généralisé au point de vue de la division.