CHAPITRE III

LES NOMBRES IRRATIONNELS ET IMAGINAIRES GOMME SOLUTIONS DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1. Nous possédons désormais l'ensemble des nombres rationnels qualifiés, qui permet de résoudre toute équation du premier degré à une inconnue et à coefficients rationnels de la forme

bx : a ou

sauf dans le cas exceptionnel que nous venons de discuter, où

Mais cet ensemble ne suffit plus à résoudre les équations algébriques de degré supérieur au premier, et à coefficients rationnels ou même entiers. Cela tient à ce que l'inconnue y figure à une puissance supérieure à la première, c'est-à-dire s'y trouve multipliée par ellemême : elle entre au carré dans l'équation du second degré, au cube dans l'équation du troisième degré, etc. Or si l'ensemble des nombres rationnels est complet au point de vue de la généralité des quatre opérations élémentaires (toujours sauf l'exception précitée), il n'est pas complet à l'égard des opérations du troisième ordre : élévation aux puissances et extraction des racines. Sans doute, l'élévation d'un nombre rationnel & une puissance quelconque est toujours possible et univoque, comme la multiplication dont elle procède; mais l'opération inverse, savoir l'extraction delà racine d'ordre quelconque d'un nombre rationnel quelconque, n'est pas toujours possible. L'ensemble considéré jusqu'ici est donc susceptible à cet égard d'une nouvelle extension. Nousavonsdéjà indiqué [Livre 1, Chap. iv, 2] que cette extension résulte de l'introduction des nombres irration-

nels et des nombres imaginaires. Nous allons montrer maintenant comment on a été amené effectivement à inventer ces deux espèces de nombres pour généraliser la notion de racine arithmétique, et en même temps celle de racine algébrique '. De même que la solution générale de l'équation du premier degré a donné naissance au nombre négatif et au nombre fractionnaire, la solution générale de l'équation du second degré fournit l'occasion de créer le nombre irrationnel et le nombre imaginaire.