Objection de M. Padé, op. ci

soit d'exclure le cas du facteur nul dans la plupart des théorèmes relatifs à la multiplication. D'ailleurs, si Ton se dispense, dans l'Arithmétique élémentaire, de tenir compte de l'infini, en le supprimant purement et simplement, n'est-on pas souvent forcé, dans l'Analyse, de l'exclure nommément, aussi bien que le zéro, comme le montre cette locution si fréquente : « valeur finie non nulle *>? Nous ne méconnaissons nullement les raisons de commodité et de simplicité qu'on invoque pour bannir Vin fini des éléments; elles ont leur valeur, au point de vue pédagogique et pratique. Mais nous croyons que si l'on admettait dans l'Arithmétique générale le nombre infini ou plutôt les nombres infinis, les restrictions qu'on serait contraint par ce fait d'introduire dans les définitions et les propositions ne seraient pas si « gênantes » qu'on le dit, car elles ne feraient tout au plus que doubler les restrictions rendues déjà nécessaires par la considération du zéro '. En tout cas, elles ne seraient pas sans exemple, et on les retrouverait nécessairement, tôt ou tard; car si on les épargne (et avec raison) aux commençants, on ne peut les éviter dans les Mathématiques supérieures, où l'on est sans cesse obligé de prévoir le cas d'une valeur nulle ou infinie.

24. Un « inconvénient » plus grave, au point de vue théorique, est le suivant : si l'on admet le nombre infini, il faut aussi admettre le nombre indéterminé, qui apparaît, soit comme différence ou quotient de deux nombres infinis, soit comme produit du zéro et de Vinfini. Cet argument est considérable; car un résultat indéterminé est toujours fâcheux, parce qu'il va en quelque sorte à l'encontre de la fin propre de la Mathématique, qui est la détermination des grandeurs les unes par les autres, ou, pour mieux dire, les unes en fonction des autres. On pourrait soutenir, sans paradoxe, que ce qui répugne au mathématicien, ce n'est pas l'infini, c'est l'indéterminé. Aussi, si l'indétermination devait se multiplier et se généraliser par l'introduction de l'infini dans les calculs, il faudrait considérer celle-ci comme ruineuse pour la science, et en proscrire l'infini. Mais il n'en est rien : l'infini par lui-même est une grandeur bien déterminée, dont les relations avec les autres grandeurs sont exactement définies; el il n'engendre l'indétermination que dans les cas exceptionnels que nous avons énoncés, c'est-à-dire dans des conditions précises et restreintes. Il n'y a donc pas à craindre de voir la gran-

i. Cf. P.u>k. op. cit., U 13, J.">, 1G, 25; 48, 53, 59, 60. 61, 63, 60, où le cas exceptionnel du zéro a drt être traité à pari.

Cil. II. — DISCUSSION DES SYMBOLES WI : 0 ET 0 : 0 99

deur mathématique se dissoudre, pour ainsi dire, au conlact de l'infini, et se perdre dans l'abîme de l'indéterminé.

25. D'ailleurs, c'est le zéro qui a le premier donné naissance au nombre indéterminé, ainsi qu'au nombre infini, car c'est comme quotient de deux nombres nuls que l'indéterminé apparaît d'abord en Arithmétique, et qu'on le représente généralement. Si donc il fallait éliminer toute indétermination du domaine des nombres fractionnaires, il faudrait en exclure non seulement l'infini, mais aussi le zéro\ bien plus, il faudrait proscrire le zéro entier lui-même, et supprimer cette formule de multiplication par zéro

qui est l'origine de toute indétermination.

Toutes ces considérations font de plus en plus éclater la vérité de cette proposition : c'est le zéro qui est la source de l'infini; et en effet, dès qu'on accepte le nombre zéro comme multiplicateur, on n'a plus de raison pour le rejeter comme diviseur, car on est obligé de répondre à la question : Quel est le nombre qui, multiplié par zéro, produit tel nombre? En résumé, et c'est la conclusion qui ressort de toute cette discussion, il faut, ou bien exclure à la fois zéro et l'infini de l'ensemble des nombres fractionnaires, ou bien les y admettre au même titre. Mais si on les admet, il faudra créer un zéro et un infini du deuxième ordre (0* et x *) pour représenter les produits

0x0 xxx et les quotients

x' TP

de même qu'on a dû créer le nombre x pour représenter le quotient

Une fois admis zéro carré et infini carré, on est nécessairement conduit à-former des puissances supérieures de zéro et de l'infini, et il n'y a pas de raison pour ne pas les admettre également.

En résumé, si Ton veut que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres quelconques de l'ensemble soient toujours des nombres du même ensemble, il faut rejeter en même temps zéro et l'infini '. Si au contraire on admet zéro et l'infini, on est con-

1. Il faudrait alors convenir que la différence de deux nombres égaux

duit à étendre indéfiniment l'ensemble des nombres, en y introduisant successivement des nombres nuls et infinis d'ordres superposés f . Peu importe, au surplus, quel parti Ton prenne : cela dépend des définitions ou conventions établies. Toujours est-il qu'il y a là un fait exceptionnel, unique en son genre, et qui mérite réflexion :de même que tous les nombres fractionnaires sont plus grands que zéro, de même l'inverse de zéro est plus grand que tous les nombres fractionnaires. On peut, à volonté, l'admettre dans l'ensemble des nombres fractionnaires ou l'en exclure, ce n'est plus qu'une question de langage et de notation ; en tout cas la considération du nombre infini s'impose nécessairement dans la généralisation du monde entier, et l'on peut regarder l'ensemble des nombres rationnels comme incomplet tant que ce symbole n'en fait pas partie.

n'existe pas, ce qui serait une exception, non plus à la généralité de la division, mais à celle de la soustraction.

\. Cela n'a d'ailleurs rien d'absurde, et n'est pas sans exemple dans la science, car on admet bien des infiniment petits (et aussi des infiniment grands) de tous les ordres successifs : les zéros et les infinis dont il est ici question seraient les limites respectives des infiniment petits et des infiniment grands de Tordre correspondant.