I. Ou encore : />a — kac

CU. III. — ORIGINE ALGEBRIQUE DES NOMBRES IMAGINAIRES iil

comme une extension de l'ensemble des nombres rationnels destinée à assurer toujours une solution à l'équation du second degré à coefficients rationnels, cet ensemble suffit à résoudre non seulement la susdite équation, mais encore toutes les équations du second degré à coefficients réels et même imaginaires. Seulement, tandis que les racines d'une équation à coefficients réels sont ou réelles, ou imaginaires conjuguées^ les racines d'une équation à coefficients imaginaires sont en général imaginaires, mais non pas conjuguées ; elles peuvent aussi, par exception, être réelles. Si donc l'on considère l'ensemble des nombres complexes comme enveloppant tous les ensembles antérieurement créés, on peut formuler cette proposition d'Algèbre :

Toute équation du second degré à coefficients complexes a deux racines complexes.

Cet énoncé montre bien que l'ensemble des nombres réels et imaginaires est complet au point de vue de la résolution de l'équation générale du second degré, et n'est plus susceptible d'une nouvelle extension au moyen de celte équation. Il est également complet, au point de vue purement arithmétique, à l'égard de la généralité de l'extraction des racines carrées : car non seulement la racine carrée d'un nombre positif quelconque, mais encore la racine carrée de tout nombre réel (positif ou négatif), et même celle de tout nombre imaginaire, sont aussi des nombres complexes (au sens général du mot). Ainsi, de même que les nombres rationnels qualifiés sont nécessaires et suffisants pour représenter la solution de l'équation générale du premier degré, les nombres réels et imaginaires suffisent (mais ne sont pas tous nécessaires) pour représenter la solution de l'équation générale du second degré; et de même que dans l'ensemble complet des nombres rationnels la soustraction et la division sont toujours possibles et univoques (sauf la division par zéro), de même, dans l'ensemble des nombres complexes, l'extraction des racines est toujours possible (mais non univoque, chaque nombre ayant deux racines carrées, et plus généralement n racines d'ordre n).

16. Nous venons de dépasser, par cette dernière indication, le domaine de l'équation du second degré. En effet, si la racine carrée d'un nombre k est racine de l'équation binôme du second degré

14. Les deux racines de cette équation sont réelles ou imaginaires suivant que v — q — k est positif ou négatif.

Posons d'abord : — jr =- a ; a est toujours réel.

Si k est positif, on peut le représenter par -h p*9 p étant un nombre réel; la formule devient :

x -- <x dz l/-b S* = x ± p.

Les deux racines (x -+- p), (x — p) sont alors réelles. Elles sont égales dans le cas où p — 0, c'est-à-dire : k -- 0, ce qui signifie que

Si au contraire k est négatif, on peut le représenter par — p*, 3 étant toujours un nombre réel; la formule devient :

x x db V/ — £* — x -h Si

Les deux racines (x -h 6/), (a — pi) sont alors imaginaires conjuguées.

On retrouve ainsi, comme racines imaginaires de l'équation du second degré, les nombres imaginaires ou complexes sous leur forme générale, c'est-à-dire sous la forme d'une somme d'un nombre réel x et d'un nombre purement imaginaire pi. Les nombres réels rentrent dès lors comme cas particulier dans les nombres imaginaires : ils correspondent au cas où le coefficient de i, p, est nul.

Remarque. — Si le nombre purement imaginaire pi est la racine carrée de — p*, le nombre réel p, coefficient dei, est la racine carrée du nombre positif ou arithmétique p*. Or, puisque tous les nombres réels ne sont pas des racines carrées de nombres positifs rationnels, tous les nombres imaginaires ne s'obtiennent pas comme racines d'une équation du second degré à coefficients rationnels : car, pour avoir tous les nombres imaginaires de la forme x -h pi, il faut donner à chacun des éléments a et p toutes les valeurs réelles possibles. L'ensemble des racines réelles et imaginaires de l'équation générale du second degré, où l'on attribue aux coefficients #, h, c toutes les valeurs rationnelles possibles, n'est donc qu'une parlie (et une infime partie) de l'ensemble des nombres réels et imaginaires.

15. Bien que, par suite, on ne puisse pas considérer cet ensemble