I. Ou encore : />* — 4«c

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comme une extension de l'ensemble des nombres rationnels destinée à assurer toujours une solution à l'équation du second degré à coefficients rationnels, cet ensemble suffit à résoudre non seulement la susdite équation, mais encore toutes les équations du second degré à coefficients réels et même imaginaires. Seulement, tandis que les racines d'une équation à coefficients réels sont ou réelles, ou imaginaires conjuguées^ les racines d'une équation à coefficients imaginaires sont en général imaginaires, mais non pas conjuguées; elles peuvent aussi, par exception, être réelles. Si donc Ton considère l'ensemble des nombres complexes comme enveloppant tous les ensembles antérieurement créés, on peut formuler cette proposition d'Algèbre :

Toute équation du second degré à coefficients complexes a deux racines complexes.

Cet énoncé montre bien que l'ensemble des nombres réels et imaginaires est complet au point de vue de la résolution de l'équation générale du second degré, et n'est plus susceptible d'une nouvelle extension au moyen de cette équation. 11 est également complet, au point de vue purement arithmétique, à l'égard de la généralité de l'extraction des racines carrées : car non seulement la racine carrée d'un nombre positif quelconque, mais encore la racine carrée de tout nombre réel (positif ou négatif), et même celle de tout nombre imaginaire, sont aussi des nombres complexes (au sens général du mot). Ainsi, de même que les nombres rationnels qualifiés sont nécessaires et suffisants pour représenter la solution de l'équation générale du premier degré, les nombres réels et imaginaires suffisent (mais ne sont pas tous nécessaires) pour représenter la solution de l'équation générale du second degré; et de même que dans l'ensemble complet des nombres rationnels la soustraction et la division sont toujours possibles et univoques (sauf la division par zéro), de même, dans l'ensemble des nombres complexes, l'extraction des racines est toujours possible (mais non univoque, chaque nombre ayant deux racines carrées, et plus généralement n racines d'ordre n).

16. Nous venons de dépasser, par cette dernière indication, le domaine de l'équation du second degré. Eu effet, si la racine carrée d'un nombre k est racine de l'équation binôme du second degré

la racine d'ordre n (racine ne) du nombre k est racine de l'équation

binôme de degré n :

Nous avons affirmé que toute équation binôme de degré w, où k peut être réel ou imaginaire, a n racines réelles ou imaginaires, de sorte que l'ensemble des nombres complexes peut être considéré comme complet à l'égard de l'extraction des racines de tout ordre f. Mais l'équation binôme n'est qu'une forme particulière de l'équation algébrique de môme degré; l'on pourrait donc présumer que les équations algébriques, en général, ne sont pas toujours satisfaites par des nombres complexes, et que l'équation générale d'un degré supérieur au second (du troisième degré, par exemple) donne lieu, comme l'équation du second degré, à l'invention d'une ou de plusieurs espèces de symboles, destinées à représenter les racines « imaginaires » ou « irréelles » de cette équation.

Ainsi se pose tout naturellement cette question : L'ensemble des nombres complexes suffît-il à résoudre les équations algébriques de degré supérieur au second, ou sera-t-on obligé, pour leur assurer dans tous les cas une solution générale et complète, de créer de nouveaux ensembles de nombres *?

17. La réponse à cette question ressort des découvertes de Gauss, qui peut être regardé comme l'introducteur des nombres complexes dans l'Algèbre. Rappelonsd'abordquelquesdéfinitions fondamentales.

Toute équation algébrique à une inconnue peut se mettre sous la forme régulière :

a0xn -h atxn^1 -h a2xn~* -h -h a„~i x -h an = 0

1. Pour en donner un exemple, le plus simple de tous, les 3 racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les 3 racines de l'équation binôme du 3e degré :

o:3 — l = 0 sont :

. — i + i vft — 1 — i v/3 1, 5 , g

Ces deux dernières sont imaginaires conjuguées. On voit ainsi qu'elles s'expriment par le même symbolisme que les racines imaginaires du second degré (c'est-à-dire les racines carrées de nombres négatifs), ce qui est fort remarquable.

2. Depuis que ces lignes sont écrites, nous avons appris de M. J. Taxkiry que M. Hermitr se posait la môme question dans son cours à l'École Normale Supérieure : « Pourquoi n'y aurait-il pas lieu de créer de nouveaux nombres imaginaires à l'occasion des équations du troisième, du quatrième.... degré? » et qu'il faisait ressortir l'importance singulière que confère aux nombres imaginaires ce fait, qu'ils suffisent à la résolution complète des équations algébriques d'un ordre quelconque.

W-^^HÏ T^p"f^"'"f .-"."

le second membre étant zéro, et le premier un polynôme entier en x, ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de l'inconnue; un tel polynôme s'appelle une fonction rutière de x. Le nombre entier n, exposant de la plus haute puissance de .r, est le degré de la fonction entière, du polynôme et de l'équation ellemême. Les nombres

sont les coefficients de ce polynôme; ils sont supposés connus.

Cela posé, Gauss a démontré que toute fonction entière de or, à coefficients réels, est décomposable en un produit de facteurs réels du premier ou du second degré en xy c'est-à-dire en un produit de binômes de la forme

b0x -h bt

et de trinômes de la forme

cyxJ -h ctx -h c,

où les coefficients 60, bx\ c0, c„ ct sont dos nombres réels.

Or, pour qu'un produit s'annule, il faut et il suffit que l'un de ses facteurs soit nul. Donc, pour que la fonction entière

a0xn -f- avrn-1 -4- H- aH..x x -h an

s'annule, c'est-à-dire pour que 1 équation en x

atfxn -h rtjX"-1 -f- -4- nn-\ x -h an — 0

soit vérifiée par une certaine valeur de x, il faut ct il suffit que l'un des binômes

b0x H- A, ou des trinômes

s'annule, c'est-à-dire que Tune des équations du premier degré