Cf. n

7. Note relative au n° 162; voir notamment n°' 1 et 20 de cette note.

Fauteur, on pourra juger, dans une certaine mesure, par l'insuffifîsance de sa théorie des nombres négatifs, de la valeur de sa « métaphysique » du Calcul infinitésimal. Nous nous épargnerons donc la peine de discuter celle-ci (que nous ne pouvions cependant nous dispenser de citer), parce qu'elle se trouve implicitement critiquée dans tout le présent Chapitre '.

16. Pour montrer sur un exemple très simple combien « l'interprétation des racines négatives » à la manière de Carnot est gauche et détournée, comparée à la conception moderne qui pose directement et de plain-pied les nombres positifs et négatifs sur le même rang et avec la même « réalité », reprenons le problème classique des âges, que nous avons traité plus haut [6], mais en le modifiant un peu. Supposons que Pierre nous dise : « Paul a 25 ans, et j'en ai 20; dans combien de temps aurai -je son âge (actuel) *? » Nous répondons aussitôt, après un calcul mental instantané : « Dans 5 ans ». Qu'avons-nous fait? Nous avons posé l'équation du premier degré

et nous l'avons résolue par la formule générale, en tirant :

Supposons au contraire que Pierre nous dise (dans la même hypothèse) : « J'ai 30 ans; dans combien de temps aurai-je l'âge de Paul? » Nous voyons tout de suite qu'il s'est mal exprimé (sans toutefois avoir énoncé une absurdité); qu'il ri aura jamais l'âge de Paul, mais qu'il Va eu il y a 5 ans. Autrement dit, nous posons l'équation

et nous la résolvons par la formule générale, ce qui donne :

i. Si par exemple on monlre que les racines négatives ne proviennent nullement d' « hypothèses contradictoires • ou de « fausses suppositions », il sera bien probable qu'on ne fait pas « une supposition erronée » en regardant une courbe comme un polygone d'un nombre infini de côtés (Lagrange, cité par Carnot, n" 37). L'affinité des imaginaires et de l'infini ressort également de cette phrase de Leirnitz : - Je n'admets pas plus de grandeurs infiniment petites que d'infiniment grandes. Je liens les unes et les autres pour des manières abrégées de parler, dans l'intérêt des fictions de l'esprit qui servent au calcul, telles t/np sont les racines imayinaires en Alyè.bre » (Dutens, 11, 20"). On verra plus tard [Livre 111, Chap. iv, 24, 25; Livre IV, Chap. i, 14, Chap. n, 9, Chap. m, 7, 10] ce qu'il faut penser de cette opinion, si voisine de celle de Carnot.

2. On excusera la puérilité de notre énoncé : mais l'exemple n'en est pas moins valable, et nous tenons à être compris de tout le monde.