CU. I. — CRITIQUE DE LA GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE

Ainsi, au lieu d'un laps de temps futur, que l'énoncé semblait prévoir, on trouve une racine négative qui correspond en fait à un laps de temps passé.

16. Comment un ancien algébriste aurait-il interprété cette solution négative? Il aurait dit : — 5 est une racine « fausse », un symbole d'impossibilité ; ce résultat montre que l'énoncé est contradictoire, puisqu'il suppose à venir un temps qui, en vertu des données, doit être écoulé; le problème posé n'a donc pas de sens, et la solution — 5 non plus. Pour leur donner un sens, c'est-à-dire pour que le nombre absolu 5 soit la solution d'un problème, il faut changer le signe de l'inconnue dans l'équation initiale, c'est-à-dire y remplacer -f- x par — x7 ou plutôt soustraire x de 30 au lieu de l'ajouter à 30 : le nombre 5 sera alors la racine de l'équation ainsi transformée. Maintenant, pour savoir à quel problème répond cette nouvelle équation et par suite cette racine, il faut faire subir à l'énoncé une transformation corrélative. On voit aisément que le changement du signe de x se traduit par la modification suivante de l'énoncé : « Combien y a-t-il de temps que j'ai eu l'âge de Paul? » C'est à cette nouvelle question que répond la racine « vraie » 5.

Telle est à peu près la manière dont Carnot, par exemple, conçoit les nombres négatifs, à savoir comme des « quantités inintelligibles» résultant de « fausses suppositions » et indiquant qu'on s'est « trompé dans la mise en équation » du problème !.

17. Voici maintenant comment on comprend aujourd'hui les nombres négatifs *. D'abord, au lieu d'attendre que ces nombres se présentent comme racines « imaginaires » de l'équation du premier degré, on les introduit dès le début dans l'Algèbre, de sorte que chaque lettre représente indifféremment, dans le calcul algébrique, un nombre positif, nul ou négatif. Il est alors facile de résoudre les équations dans toute leur généralité, et d'établir que toute équation du premier degré a une racine qualifiée : une racine négative est donc tout aussi « vraie » qu'une racine positive. L' « interprétation des racines négatives » n'a dès lors plus de raison d'être; bien plus, le cas où une racine négative ne serait pas la solution cherchée, « ne conviendrait pas », comme on dit, au problème, devient l'exception; il ne s'agit donc plus de justifier les racines négatives et de chercher à leur donner un sens, mais au contraire de montrer pourquoi, dans

i. Op. cit., Note citée, nM 5, 6, 8, etc.

2. Padé, op. cit., et Préface de M. J. Tanner y, notamment p. vi et vin.

ces cas particuliers, une racine négative ne fournit pas de véritable solution '. Or cela s'explique par les conditions spéciales du problème, que l'équation n'a pas pu traduire, et surtout par la nature des grandeurs inconnues. Pour s'en convaincre, il suffit de rapprocher les deux problèmes, si analogues d'ailleurs, que nous avons successivement traités dans ce Chapitre [6 et 15].

Dans le premier de ces problèmes, la racine négative — 5 n'avait pas de sens; dans le second, la même racine, tirée de la même équation, parait en avoir un. C'est que, dans le premier, l'inconnue était un âge, grandeur essentiellement positive, que l'on compte dans un sens unique à partir d'une origine fixe (c'est-à-dire postérieurement à la date de la naissance); voilà pourquoi le problème n'admettait qu'une solution positive : une racine négative était bien alors un symbole d'impossibilité, non pour l'équation algébrique, mais pour le problème particulier qu'elle traduisait. Dans le second, au contraire, l'inconnue est un laps de temps compté à partir du moment présent; or le temps se compte, à partir d'un instant quelconque, en deux sens opposés qu'on nomme le passé et l'avenir. Nous verrons, d'autre part, que les nombres qualifiés sont propres à représenter les grandeurs à deux sens inverses l'un de l'autre, le signe de chaque nombre indiquant le sens dans lequel il doit être compté à partir d'une origine fixe; on peut toujours, du reste, choisir arbitrairement celui des deux sens qu'on regardera comme positif : le sens contraire sera nécessairement négatif. Dans ces conditions, une racine négative est tout aussi « réelle » qu'une racine positive, et résout également le problème. Le nombre négatif — 5 est donc bien la véritable solution du problème précédent. Sans doute, l'énoncé semble impliquer que le laps de temps inconnu se trouve dans l'avenir; mais l'équation qui le traduit n'a gardé aucune trace de cette « fausse supposition » : elle indique seulement que l'on regardera cette durée comme positive si elle est comptée dans l'avenir, et par suite comme négative si elle est comptée dans le passé. En somme, l'énoncé ne fait que fixer d'une manière conventionnelle le sens des signes -h et — . Aussi l'équation obtenue correspond-elle simplement à la question suivante : « Paul est-il plus ou moins âgé que Pierre, et de combien d'années? » Cet énoncé équivaut au premier, mais il est plus correct, car il est dégagé de toute présomption témé-

1. Inutile d'ajouter que ceci est bien plus aisé que cela, car il est toujours plus facile de restreindre que d'étendre la généralité d'une solution.