LIVRE IV

Dans le Livre précédent, nous avons essayé d'établir que la généralisation de l'idée de nombre ne se justifie que par l'application des nombres aux grandeurs. Toutes les formes du nombre généralisé sont d'abord des symboles d'impossibilité arithmétique, par rapport à l'ensemble des nombres déjà acquis et aux opérations définies pour ces nombres, ou encore des solutions « imaginaires » d'équations algébriques; mais les nouveaux nombres deviennent « réels » et valables, dès qu'ils peuvent représenter de nouvelles grandeurs; et les opérations auparavant impossibles deviennent possibles et légitimes, quand elles correspondent h des combinaisons de ces grandeurs. Ainsi chaque nouvel ensemble de nombres n'a de raison d'être que comme schème d'une nouvelle espèce de grandeurs, et les opérations définies pour ces nombres n'ont de sens qu'autant qu'elles figurent des combinaisons qu'on peut effectuer réellement sur les grandeurs correspondantes.

Or Vinfini se présente également, en Arithmétique et en Algèbre, comme un symbole d'impossibilité, comme une solution absurde et fausse; mais il ne faut pas se hâter d'en conclure que le nombre infini soit impossible et contradictoire. Au contraire, l'analogie de ce nombre avec les autres extensions du nombre entier fait présumer qu'il se justifie, de même, par son application à la grandeur continue; et il est bien probable que ce non-sens arithmétique représente, comme tous les autres, un certain état de grandeur dont on ne possède pas encore de schème numérique. Si ces présomptions sont vraies, si l'on peut trouver une grandeur particulière, notamment en Géométrie, qui soit à proprement parler et rigoureusement

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infinie, c'est-à-dire plus grande que toutes les grandeurs qui correspondent aux nombres déjà connus, il faudra reconnaître que le nombre infini n'est ni un concept inintelligible, ni un symbole vide de sens, mais qu'il a la même valeur que les autres formes du nombre, et qu'il correspond, lui aussi, à une certaine réalité.

Aussi, suivant la conception qu'on se fait des diverses formes du nombre et la manière dont on les introduit dans l'Arithmétique générale, on aura une idée toute différente de la valeur et de l'importance du nombre infini dans l'Analyse. C'est pourquoi il nous a paru impossible de séparer la question de l'infini mathématique de l'étude de la généralisation du nombre. Si le nombre infini peut se justifier et conquérir droit de cité, sinon dans la science, du moins dans la Philosophie mathématique, c'est de la même manière que se justifient les autres espèces de nombres, et pour les mêmes raisons qui les ont fait admettre.