AC BD

214 Liv- iv. — l'infini mathématique

Prenons pour inconnue x le segment AP; il est clair que Ton connaîtra le point P quand on aura trouvé x. Posons donc :

. AP = x, BP = x — rf,

AC = a, BD = b.

La proportion précédente peut s'écrire :

Telle est l'équation du problème. Résolvons-la :

bx = ax — arf, ax — bx = ad,

(a — b)x = ad, x = -—^

Telle est la solution du problème. Les nombres a, 6, d sont connus; le calcul de x est dès lors très facile. Nous pouvons supposer que les trois nombres donnés sont positifs. Le numérateur de x, ad, sera par suite toujours positif. Le signe de x dépendra donc du dénominateur (a — b) : la valeur numérique de x sera positive si a est supérieur à b, négative si a est inférieur à b. On voit par cet exemple ce que signifie une racine négative : la valeur négative qu'on trouve pour x% quand a < b, est une solution tout aussi « réelle » qu'une racine positive, et a la même valeur au point de vue géométrique. En effet, on remarque sans peine que le point P se trouve du côté de celui des deux segments AC, BD qui est le plus court, c'est-à-dire au delà de B si a > b ; au delà de A, si a < b. Or nous avons supposé dans la figure et dans la mise en équation b plus petit que a : nous avons donc pris P au delà de B, c'est-à-dire que nous avons choisi le sens AB pour sens positif des segments sur XY. Mais puisque la droite indéfinie XY est susceptible de deux sens contraires, et que le point P peut tomber aussi bien au delà de A qu'au delà de B, il est tout naturel que le segment AP devienne négatif quand il se trouve dans le sens opposé à Ali, de sorte que l'équation est également valable dans les deux cas et fournit toujours la solution géométrique du problème, soit que a > 6, soit que a < b *. Reste à examiner le cas particulier et exceptionnel où : a = A.

1. Cf. III, i, 14-17; m, 16, et Cahnot, Métaphysique du Calcul infinitésimal, Note relative au n° 162 : n° 5, Principe fondamental (de l'interprétation des racines négatives).

Cfl. I. — L INFINI GÉOMÉTRIQUE 215

Le dénominateur de x s'annule alors, et la valeur numérique de x prend la forme

ad

Que signifie une telle solution? 11 est aisé de s'en rendre compte par la Géométrie. Les deux droites finies AC, BD étant égales et parallèles, le quadrilatère ABDG est un parallélogramme, et par conséquent les droites AB, CD sont parallèles; elles ne se rencontrent pas. La solution précédente est donc un symbole d'impossibilité; elle indique que le point cherché P n'existe pas.

2. Est-ce à dire que le problème lui-même soit impossible, et que la question posée n'ait aucun sens? Non pas, car cette racine infinie correspond à une solution déterminée du problème, à une position précise de la droite CD : elle signifie que cette droite rencontre la droite XY à Vin fini, c'est-à-dire que le point P est infiniment éloigné de A sur XY. Elle répond donc exactement à la question dans ce cas particulier où les droites AB, CD sont parallèles. Que la fraction

— soit un symbole d'impossibilité numérique, en ce sens qu'il n'y a

aucun nombre entier fini qui puisse représenter la distance du point P au point A, c'est-à-dire la longueur du segment AP, cela est trop évident; mais il ne faut pas en conclure qu'elle soit en même temps un symbole d'impossibilité géométrique, car elle permet de construire la droite CD au moyen d'un seul des points C ou D, et la détermine aussi complètement qu'on pourrait le faire en donnant un second point quelconque de cette droite. En résumé, que le point cherché P soit à distance finie ou à l'infini, il répond directement à la question posée, et le nombre qui représente sa distance au point A est une solution tout aussi valable et déterminée quand il est infini que lorsqu'il est fini !.

3. On objectera peut-être que, lorsqu'on dit que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini, on emploie une manière de parler commode, mais abusive; qu'il n'y a là qu'une convention destinée à abréger le langage et à permettre de dire dans tous les cas que deux droites d'un même plan ont un point commun, en faisant rentrer, par une fiction purement verbale, le cas exceptionnel

1. En effet, ce cas est bien distinct du cas d'indétermination, où la valeur de

x prend la forme r. (soit que a = à = 0, soit que d= 0, a = b).

216 uv. IV. — l'infini mathématique

où elles ne se rencontrent pas dans le cas général où elles se rencontrent « réellement »; de sorte que dire que leur point de rencontre est à l'infini, c'est dire sous une forme métaphorique qu'il n'est nulle part, qu'il n'existe pas.

Une telle conception est assurément logique, et, en ce sens, irréfutable; elle a pourtant quelque chose qui choque la raison, parce qu'elle viole le principe de continuité. C'est en effet par la considération de la continuité que l'on parvient à interpréter la racine gqui est un non-sens numérique, et à découvrir son sens géométrique comme symbole d'une grandeur infinie. On regarde la fraction jr

comme la limite d'une fraction proprement dite —, dont le numérateur m est fixe et dont le dénominateur e a pour limite zéro. Le quotient du nombre fini m par un nombre e très petit est un nombre très grand ;

plus le nombre e sera petit, plus la fraction — sera grande, et Ton

fit

pourra toujours donner à e une valeur assez petite pour que — soit

plus grand que tout nombre fini donné, si grand qu'il soit. Dans ces conditions, si e décroît au-dessous de toute borne, — augmente au

delà de toute borne, et de même qu'on dit que e a une limite, qui

nx est zéro, on peut dire que — a une limite, qui est Vin fini. Enfin, si e,

en variant d'une manière continue, atteint sa limite zéro, la frac-

tion -, variant elle aussi d'une manière continue, devra atteindre sa

limite, Vin fini; on dit qu'elle devient infinie quand e devient nul, ou pour t = 0, et l'on écrit :