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et comme l'ordonnée dans la parabole est égale à la moitié de la sous-tangente , nous aurons :

APoua?=y = 425,50.

Nous déterminerons le paramètre en mettant dans l'équation de la parabole y" = Px les valeurs de x et de y , ce qui donnera

DU TRACÉ ORS CIIKMINS DE FRII. lUÔ

et pour le rayon de courbure au point A

quantité plus petite que MB , ainsi que l'indique le mécanisme du calcul ; puisque d'ailleurs la valeur de l'ordonnée P'M' , qui détermine le point de la courbe où le rayon de courbure M B' est égal au rayon BM , est exprimé par

qui , lorsque y = 1000 et P = 1323 , nous donne x = 130 , valeur inférieure à celle de PM ; ce qui nous fait voir , d'une manière générale , que le rayon de courbure suit les variations de grandeur de l'ordonnée.

On éprouverait donc tous les inconvénients inhérents à l'emploi des courbes du rayon qui serait déterminé au point A par l'adoption de la parabole, et l'on ne retrouverait en échange que le faible avantage, si c'en est un toutefois, de, passer par des différences insensibles de la courbe DM dans la courbe MA.

Il suit de là que l'arc de cercle est la seule courbe qu'il convienne d'employer dans le tracé des chemins de fer ; j'ajouterai que c'est la seule qu'il soit possible d'adopter en pratique. En effet , outre les difficultés que présente le tracé de tout autre courbe, il serait impossible que les ouvriers char- * gés de réj>arcr et de relever les rails pussent en maintenir tous les points à la place que leur assignerait la valeur des ordonnées de l'équation d'après laquelle ils auraient été posés d'abord. Mais lorsque la courbe est formée d'un arc de cercle , il suffit que le cantonnier ait un peu d'habitude pour en apercevoir les plus petites inflexions, et pour les rectilier sans le secours d'aucun instrument ni d'aucune opération graphique.

Les ingénieurs anglais , qui attachent moins d'imporuyiee à la théorie que nous ne le faisons en France , ont , pour la plupart des opérations relatives à leur art qui exigent quelques applications de la science, des méthodes graphiques ou empiriques dont ils s'écartent rarement.

Le procédé qu'ils emploient pour établir les courbes sur le terrain , consiste simplement à tracer une série de lignes

droites AB, CD , EF, toutes égales, et ajanl généralement 22 pieds anglais de longueur. Chacune a son origine en A , C , E à la moitié de celle qui la précède , et s écarte à son extrémité B , D de celle qui la suit , d une quantité BE , DG qui détermine une suite de points C , E , G par où doit passer la ligne courbe.

Cette méthode est même tellement usitée en Angleterre, que les constructeurs de chemins de fer et les ingénieurs se contentent de désigner les courbes en indiquant cette déviation , qui est de 2 à 4 pouces dans les circonstances ordinaires.

Ce moyen est , comme on le voit , d'une grande simplicité, mais non pas d'une grande exactitude. La moindre erreur force à reprendre l'opération dès son origine , et l'on ne peut arriver à un résultat exact qu'à l'aide de tâtonnements plus ou moins longs.

Le moyen le plus sûr et le plus méthodique consiste à construire la courbe sur la tangente , sur la corde ou sur son prolongement, en employant les formules trigonométriques pour indiquer les ordonnées relatives aux choix que l'on fait de l'un de ces moyens. Lorsque le terrain est accidenté , couvert de bois , coupé de rivières , ou occupé par des conslruc- lions , ces opérations peuvent devenir fort difficiles.

Les alignements étant déterminés, et le sommet des angles ou certain nombre de points sur la direction des droites étant bien établis et bien repérés , on choisit la position de la ligne trigonométrique la plus facile à établir. On y rapporte-les ordonnées de la courbe ; on procède ensuite au travail sur le terrain , en employant concurremment , si cela est possible , deux procédés différents pour mieux s'assurer de l'exactitude de l'opération.

Il est bon d'avoir pour les courbes , qui sont d'un emploi plus fréquent , des tables calculées d'avance , et indiquant la valeur des ordonnées rapportées à la tangente. Ces tables sont surtout essentielles pour les courbes décrites sur le plus petit rayon indiqué dans l'ordonnance de concession. Les ordonnées qui se rapportent à la corde se déduisent ensuite facilement de celles de la tangente, en retranchant les valeurs qui expriment ces dernières d'une quantité constante indiquant la distance de la corde à la tangente. On se sert , a cet effet , de l'équation du cercle

y 1 = ax — x a ,

DU TRACÉ DES CliEMlXS DE FER. 107

dans laquelle a désigne le diamètre , x l'ordonnée , à partir de l'origine de la courbe , et y l'abcissc.

Pour calculer les valeurs XY , qui répondent aux points X',X ( pl. 2, fig. 5 ) , pris à des distances égales sur la tangente AX , ou bien les valeurs YZ , qui se rapportent à la corde CZ , on mettra successivement , dans l'équation ci-dessus , à la place de a et de x , les valeurs relatives au cas particulier que l'on considère, ce qui servira à déterminer y.

Connaissant y , on retranchera sa valeur du rayon /ce qui donnera XY , soit l'ordonnée de la courbe rapportée à la tangente.

On déduit de cette valeur celle de l'ordonnée rapportée à la corde CZ , en retranchant XY de AC , qui exprime la distance de la corde CZà la tangente AX.

La valeur de YD, et* celle deXY étant connues, on en dû duit avec facilité celle de toutes les lignes que les circonstances peuvent forcer à employer.

Supposons, par exemple, que la difficulté du terrain ne puisse se prêter à prolonger la tangente AX jusqu'en T , mais que l'on puisse facilement rapporter sur le terrain les lignes AD , XY et YU , on retrancherait EV + TU de TE, ce qui donnerait la valeur de UV.

On peut enfin avoir besoin , pour quelque vérification , do connaître soit la longueur deTY, soit celle de YZ, que l'on oblicudra facilement lorsque l'on connaîtra YD et AD ou AC.