CIIAP. III. SUBSTITUTION A PLUSIEURS DEGRÉS

aux origines pour mieux comprendre cette opération.

Voici un jeton blanc sur un coin de la table et un jeton rouge sur un autre coin. Je puis négliger toutes leurs qualités respectives, être frappé seulement de ce qu'une partie de mon impression s'est répétée, sentir que l'expérience que je viens de faire sur le jeton rouge est semblable, par un certain point, à celle que j'achève sur le jeton blanc, éprouver, après ces deux expériences successives, une tendance consécutive distincte et correspondante à leur nombre , c'est-à-dire à la propriété qu'elles ont d'être deux. — Comme toutes les tendances, celle-ci aboutit à un signe ; admettons pour ce signe le mot ordinaire, deux. Voilà un nom général; nous serons tentés de le prononcer, comme dans le cas des jetons, après toute expérience répétée. Pareillement encore, quand nous le lisons ou que nous l'entendons, nous n'avons qu'à insister pour évoquer intérieurement, comme en présence du mot chat ou du mot bouleau, l'image d'un cas où il s'applique; nous imaginons un jeton à coté d'un jeton, une pierre à côté d'une pierre, un son après un son, comme tout à l'heure nous imaginions un museau fin avec un poil gris ou blanc, un mince tronc blanc avec de petites feuilles frissonnantes. — Il en est de même pour les mots trois, quatre; cela

est plus difficile pour les mots cinq, six; la difficulté va croissant pour les nombres supérieurs, et il y a toujours un chiffre plus ou moins élevé où tout esprit s'arrête; nous ne pouvons pas percevoir ou nous représenter distinctement ensemble au delà d'un certain nombre de faits ou d'objets ; d'ordinaire c'est cinq ou six, plus souvent quatre. — Pour remédier à cet inconvénient, nous négligeons le groupe qui correspond au mot ; nous ne donnons plus d'attention qu'au mot substitut; après avoir vu ensemble quatre objets, nous les oublions pour ne plus songer qu'au mot quatre, et nous pouvons les oublier, parce que plus tard, revenant sur le mot et appuyant dessus, nous les reverrons intérieurement , sans méprise ni confusion. Voilà donc quatre opérations remplacées par une seule. — Qu'un nouvel objet semblable aux précédents se rencontre après que nous avons prononcé le mot quatre; il formera avec le mot un groupe nouveau, et il naîtra en nous une tendance analogue à celle qui nous a fait prononcer le mot deux, tendance semblable à la première, en ce qu'il s'agit aussi d'une addition, tendance différente de la première, en ce qu'au lieu d'ajouter un objet à un objet, on ajoute ici un objet à un groupe de quatre objets réunis. Cette nouvelle tendance aboutit à un nouveau nom, cinq. Une autre, sus-

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citée de même, aboutira au mot six, et ainsi de suite. — On voit que, dans cette échelle, chaque nouveau nom est le substitut du précédent, et partant dt3 l'objet du précédent, accouplé à l'unité. Ici encore une difficulté insurmontable a été tournée. Si nous pouvons imaginer distinctement ensemble deux, trois et même quatre faits ou objets, nous ne pouvons en imaginer distinctement trente-six ensemble. La propriété abstraite et générale d'être deux, trois ou quatre, peut éveiller en nous une tendance et, par suite, un nom correspondant; au contraire la propriété générale et abstraite d'être trente-six ou tout autre nombre considérable ne le pent pas. — Devant cet obstacle nous biaisons; nous franchissons, par un escalier, le fossé trop large pour nos jambes. Nous ne remplaçons plus tout d'abord par un mot le caractère abstrait et général du groupe mis en expérience ; car le groupe en question ne peut être mis avec succès en expérience ; trente-six pions, posés ensemble sur une table, ne nous donneraient qu'une impression de masse et d'ensemble, sans distinction énumérative des individus. — Nous allons plus lentement; nous prenons d'abord un très-petit groupe, proportionné à l'amplitude bornée de notre esprit, et capable d'éveiller en nous une tendance et un nom. Nous joignons ensuite ce nom et, par suite.

56 I.IVUE I. LES SIGNES.

l'objet de ce nom, c'est-à-dire le petit groupe, à 1111 nouvel individu, ce qui éveille une autre tendance et un autre nom ; nous cheminons ainsi pas à pas, jusqu'au nom final, et celui-ci, enfin obtenu, correspond au caractère abstrait qui, directement, n'évoquait en nous aucun nom.

A ce titre le nom final est singulièrement remarquable. Si nous cherchons son sens, nous ne trouvons qu'un nom, celui du chiffre inférieur auquel on ajoute l'unité ; la même chose arrive à celui-ci, et ainsi de suite ; c'est seulement à la fin de ce long retour en arrière, qu'ayant descendu trente, cinquante, cent, mille, dix mille marches, nous touchons de nouveau notre expérience. — Et cependant ce nom remplace une expérience, une autre expérience que nous n'avons pas faite, que nous ne pouvons pas faire, qui est au» dessus de fhomme, mais qui en soi est possible, et qw'un esprit plus compréhensif pourrait faire. 36 désigne la qualité commune à tous les groupes de trente-six individus, qualité qui, présente devant nous, n'excite point en nous de tendance précise, et qu'un esprit capable de maintenir ensemble devant soi trentesix objets ou faits à l'état distinct pourrait seul éprouver. — Par cet artifice, nous atteignons au même effet qu'une créature douée d'une mémoire et d'une imagination indéfiniment plus

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nettes et plus vastes que les nôtres. La substitution a tout fait ici comme auparavant. Après nous avoir permis d'extraire les qualités, elle nous donne le moyen de compter et de mesurer les quantités. Grâce à des remplacements, nous avons pu penser les propriétés abstraites des individus. Grâce à des séries de remplacements superposés, nous pouvons nommer et partant penser certaines propriétés abstraites particulières aux groupes, propriétés que la limitation naturelle de notre imagination et de notre mémoire semblait nous empêcher pour toujours de penser, c'est-à-dire de nommer.

II. La vertu de la substitution s'étend beaucoup plus loin. — Le lecteur sait que les objets géométriques n'existent pas dans la nature; nous ne rencontrons pas, et probablement nous ne pouvons pas rencontrer, des cercles, des cubes, des sphères qui soient parfaits. Ceux que nous voyons ou faisons ne sont tels qu'à peu près. — Et cependant nous en concevons de parfaits ; nous raisonnons sur des figures dont la régularité est absolue. Nous savons, avec une certitude entière, quelle est l'ouverture de chaque angle dans un myriagone régulier, et combien tous ses angles pris ensemble font d'angles droits. Bien mieux, quand, pour comprendre un théorème degéomé-

Irie, nous traçons une figure sur le tableau, nous nous soucions fort peu que sa justesse soit parfaite ; nous la fabriquons grossièrement à la craie ; nous souffrons sans difficulté des lignes tremblottantes à notre polygone, ou une rondeur bosselée à notre cercle. En effet ce n'est point ce cercle tracé que nous considérons ; il n'est point notre objet, il n'est que notre aide: nous concevons à propos de lui quelque chose qui diffère de lui, qui n'est ni blanc, ni tracé sur fond noir, ni de tel rayon, ni d'une rondeur inexacte. — Quel est donc cet objet conçu dont l'expérience ne fournit pas le modèle? La définition nous répond. Le cercle esi une courbe fermée dont tous les points sont également distants d'un point intérieur appelé centre. — Mais qu'y a-t-il dans cette phrase ? Rien, sinon une première série de mots abstraits qui désignent le genre de la figure, et une seconde série de mots abstraits qui désignent l'espèce de la figure, la seconde étant combinée avec la première, comme une condition ajoutée à une condition. En d'autres termes, un caractère abstrait, noté par les premiers mots, a été uni à un autre caractère abstrait, noté par les seconds mots, et le composé total, ainsi fabriqué, désigne une chose nouvelle, que nos sens n'atteignent pas, que notre expérience ne rencontre pas, que notre imagination ne sait pas

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tracer. Nous n'avons pas besoin d'atteindre, rencontrer on imaginer cette chose ; nous tenons sa formule, et cela suffit.

En effet, cette formule serait rigoureusement la même, si l'objet était tombé sous notre expérience. Nous l'avons faite d'avance, au lieu de la faire ensuite; et la formule correspond d'autant plus certainement à la chose, que la chose doit se conformer à elle, et non elle à la chose. Les deux font donc un couple dont le second terme, la définition, équivaut au premier terme, c'est-àdire à l'objet. — Cet objet peut rester idéal, être situé par lui-même hors de toutes nos prises; peu importe ; nous possédons son représentant. Tout ce que nous trouverons de propriétés et de rapports dans le substitut, nous pourrons les attribuer avec certitude au substitué. Nous atteignons celui-ci par contre-coup, comme un arpenteur qui, voulant mesurer la distance d'un objet inaccessible, mesure une base et deux angles, et connaît la première quantité par les trois secondes. — Toutes les conceptions mathématiques sont formées par cette voie. Nous prenons des abstraits fort simples, la surface qui est la limite du solide, la ligne qui est la limite de la surface, le point qui est la limite de la ligne, l'unité ou qualité d'être un, c'est-à-dire l'existence distincte parmi des semblables. Nous coin-

binons ces termes entre eux et nous formons d'abord des composés peu complexes, ceux de deux, trois, quatre et des premiers nombres, ceux de plus et de moins, de plus grand et de moins grand, de ligne plus grande et de ligne moins grande, par suite ceux de ligne droite ou courbe, de triangle, de cercle, par suite encore ceux de sphère, cône, cylindre, et le reste. La complication des composés va croissant; elle est indéfinie ; tous ensemble, ils forment un royaume à part d'objets qui ne sont pas réels, mais qui sont distribuables , comme les objets réels, en familles, genres, espèces, et dont nous découvrons les propriétés en considérant à côté d'eux les propriétés des formules qui sont leurs substituts.

Par une continuation étrange, le procédé qui a formé ces objets est encore celui qui établit leurs rapports. x4rithmétique, algèbre, géométrie, géométrie analytique, mécanique, calcul supérieur, toutes les propositions des sciences mathématiques sont des substitutions. Un nombre quelconque est le substitut du précédent joint à l'unité. Calculer, c'est remplacer plusieurs nombres par un seul à la suite de plusieurs remplacements partiels. Résoudre une équation, c'est substituer des termes les uns aux autres pour arriver à une substitution finale. Mesurer, c'est mettre à la

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place d'une grandeur non définie une autre grandeur définie par rapport à Tunité. Faire une construction pour démontrer un théorème, c'est substituer certaines lignes et angles connus à d'autres lignes et angles qu'il s'agit de connaître. Trouver la formule algébrique d'une courbe, c'est découvrir entre certaines lignes liées à la courbe un rapport mathématique et traduire une qualité en quantité. — Quel que soit le raisonnement que nous fassions sur des nombres et des grandeurs, il consiste toujours à aller d'un équivalent jusqu'à un autre équivalent par une série d'équivalents intermédiaires, à remplacer des grandeurs par les nombres qui les expriment, une forme par l'équation qui lui correspond, une quantité faite par une quantité en voie de formation dont celle-là est la limite, un mouvement et une force par une ligne qui les représente. De chaque province on passe à l'autre par des substitutions, et, comme un substitut peut lui-même avoir un substitut, l'opération n'a pas de limites.

III. Laissons là cette extension du procédé et considérons-le une dernière fois à son origine. On vient de voir comment, en combinant ensemble des abstraits, nous f ibriquous de toutes pièces le premier terme d'un couple dont le second

est hors de notre portée, et comment, en étudiant la formule génératrice, nous découvrons les propriétés de l'objet qu'elle doit engendrer. En certains cas, nous y démêlons des propriétés merveilleuses, et la formule nous manifeste des faits situés, non-seulement au delà de notre expérience, mais au delà de toute expérience. — Si nous divisons 2 par 3, nous trouvons une fraction décimale infinie, 0, 60GG etc., et nous pouvons démontrer qu'elle est infinie. Elle est infinie rigoureusement et sans arrêt possible ; si loin qu'on prolonge l'opération, le reste sera toujours 2, et le quotient toujours 6. Après un million, et un milliard, après mille milliards de divisions, il s'en présentera toujours de nouvelles, avec le même reste et le même quotient, avec un. quotient total toujours trop petit, trop petit d'une fraction qui aura pour numérateur 2, et pour dénominateur l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y aura d'unités dans le nombre des divisions accomplies. Voilà un infini, non pas vague, non pas indéfini, mais précis, à qui répugne expressément toute borne, et si nettement entendu que tous ses éléments ont leurs propriétés distinctes et exprimées. — Est-ce à dire que j'aperçoive distinctement la série infinie de ces éléments? Non, certes. Ici encore, il y a un substitut, la formule, de laquelle la série et les prc-