IDÉES GÉNÉRALES QUI SONT DES MODÈLES
I. Une autre classe d'idées générales présente d'autres traits et se forme par un autre procédé. Ce sont celles qui composent l'arithmétique, la géométrie, la mécanique et, en général, toutes les sciences qui, comme les mathématiques, traitent du possible et non du réel. Nous formons ces idées sans examiner s'il y a dans la nature des objets qui leur correspondent, et pour cela nous les construisons.
Suivons le détail de cette construction , et voyons avec quels éléments nous fabriquons ces nouvelles idées. — Les plus simples de toutes sont celles de l'arithmétique, et elles ont pour objets les nombres. Or, chacun sait que tout nombre est formé par l'unité ajoutée à elle-même ; c'est donc la notion d'unité que nous allons examiner en premier lieu. — Elle ne renferme rien de mystérieux, et sa provenance n'a rien d'étrange. Il ne s'agit point ici de l'unité absolue
et métaphysique qui est la propriété d'être indivisible, ou mieux, sans parties, et que posséderait, par exemple, une monade de Leibnitz. Il s'agit simplement d'un office qu'un objet quelconque peut remplir, de la fonction qu'il exécute, du rôle qu'il joue en contribuant avec d'autres semblables à faire une collection. C'est à ce point de vue seulement qu'on le considère ; partant, vingt tas de pierres le long d'une route font, en ce sens, vingt unités au même titre que vingt monades. L'unité de chaque tas n'est que son aptitude à entrer comme facteur dans le total des vingt tas. et dans tout autre total analogue plus petit ou plus grand. Par conséquent, elle n'est, comme toute aptitude , propriété et capacité . qu'un caractère général de l'objet, et ce caractère peut être dégagé, retiré, mis à part par les procédés ordinaires, c'est-à-dire au moyen d'un nom, et, en général, au moyen d'un signe. — Bien mieux, il n'y en a pas de plus facile à mettre à part; car tous les objets et tous les événements le présentent, puisque chaque objet et chaque événement contribue avec d'autres semblables à faire une collection qui est sa classe. Les matériaux desquels nous pouvons extraire la notion d'unité sont donc en surabondance, et ce premier pas de l'arithmétique se fait sur tous les terrains.
Observons donc une série d'objets ou d'événements, en ayant soin de ne considérer en chacun d'eux que sa capacité d'entrer comme composant dans une collection. Pour cela, omettons de parti pris tous ses autres caractères; après ce retranchement, une file de peupliers, une suite de sons, toute autre file ou suite, cesse d'être une file de peupliers, une suite de sons, une suite ou file d'objets ou d'événements déterminés; elle n'est plus qu'une suite, file ou série cTujis ou d'unités. Or, à ce point de vue, tous les uns sont le même un, et toutes les séries d'uns sont la même série ; car les caractères qui distinguent les individus les uns des autres et les séries les unes des autres, ayant été exclus, les individus ne peuvent plus être distingués les uns des autres, et les séries ne peuvent plus être distinguées les unes des autres- Voilà donc une série abstraite composée d'unités abstraites. — Pour l'observer plus commodément, les hommes lui ont substitué une série sensible d'objets très-maniables, tantôt de petits cailloux, tantôt les dix doigts des deux mains*. Il n'y a rien de plus facile que de lever, un à un,
1. Calcul vient de calculus^ petit caillou. Les chiffres romains I, II, III, V, X, sont des dessins représentant un ou plusieurs doigts, une seule main, ou les deux mains. — Notre système de numération par dixaines a pour origine cette circonstance que nous avons dix doigts.
tour à tour, les doigts de la main fermée, ou de baisser, un à un, tour à tour, les doigts de la main ouverte. 11 n'y a rien de plus facile que d'ajouter des cailloux, un à un, de manière à en faire un tas, ou d'ôter les cailloux, un à un, de manière à défaire le tas. Et comme, en ôtant ou en ajoutant un ou plusieurs cailloux, en baissant ou en levant un ou plusieurs doigts, nous pouvons altérer lisiblement le total des cailloux ramassés ou des doigts levés, il nous est aisé, nonseulement de fabriquer ainsi divers totaux "visibles, mais encore de remarquer avec nos yeux comment ces totaux se font et se défont'. Nous les faisons progressivement, celui des cailloux en ajoutant un autre caillou au premier caillou, et ainsi de suite, celui des doigts en levant un autre doigt après le premier doigt, et ainsi de suite. Nous les défaisons progressivement, celui des cailloux en retirant un premier caillou, et ainsi de suite, celui des doigts en baissant un premier doigt, et ainsi de suite. — Tels sont les substituts primitifs ; chaque doigt ou caillou visible remplace une unité abstraite; les différents groupes de cailloux ou doigts visibles remplacent les différents groupes d'unités abstraites, et, à mesure qu'un doigt ou caillou visible s'ajoute
1. Voir l'analyse très-élégante et très-délicate de ce procédé d'esprit dans /a Langue des calculs, de Gondillac.
au groupe des doigts ou cailloux visibles, une unité pure s'ajoute au groupe des pures unités. A présent, à ces substituts déjà fort commodes, nous substituons d'autres remplaçants plus maniables encore, les divers sons qui constituent nos noms de nombre. Pour un doigt levé, nous disons un, pour deux doigts levés, deux, pour trois doigts levés, trois, et ainsi de suite jusqu'à dix. De cette façon, le nom un remplace un doigt levé et partant une unité abstraite. Pareillement, chacun des noms suivants remplace un groupe de doigts levés et partant un groupe d'unités abstraites. Pareillement enfin, quand l'on passe d'un nom de nombre au nom suivant, un doigt se lève pour s'ajouter au groupe précédent des doigts levés, une unité abstraite s'ajoute au groupe précédent des unités abstraites, et le nom de nombre énoncé remplace, avec une unité de plus, le groupe d'unités qui remplaçait le précédent. En d'autres termes, chaque nom de nombre équivaut au groupe désigné par le précédent, plus un*. — Pour ne pas encombrer notre mé-
l. Sur le sens primitif de nos noms de nombre, voyez Bopp, Grammaire comparée^ traduction Bréal, II, 221. Tri (trois) signifie « dépassant » (les deux nombres inférieurs). — Quatre signifie probablement « trois plus un ; » cinq, « quatre plus un ; » dix, « deux fois cinq. 5^ — Cent signifie certainement : « dix fois dix. » — Mille signifie probablement : « beaucoup, grand nombre. »
moire, nous réduisons ces noms au strict nécessaire. Au delà de dix, nous disons dix-un, dixdeux', dix-trois' et ainsi de suite jusqu'à dixneuf. — Au delà de dix-neuf, les langues bien faites, observant que le nombre suivant équivaut à deux fois dix, reprennent le mot deux en le modifiant d'une façon convenable \ et modifient de la même façon les noms de nombre qui expriment les dixaines suivantes afin de leur faire exprimer trois fois dix, quatre fois dix et la suite des dizaines jusqu'à dix fois dix*. Les dizaines forment ainsi des unités du second ordre, capables, comme les unités simples, d'être comptéesjusqu'àdix. — Arrivés là, nous donnons à leur total le nom de cent, et ce nouveau total forme une unité du troisième ordre, capable à son tour d'être répétée jusqu'à dix fois, ce qui nous conduits dix fois cent, ou mille, unité du quatrième ordre. — La première opération, répétée sur cette nouvelle unité, nous mène jusqu'à dix mille, puis de là à cent mille, puis de là à un
