Deuxième partie, liv. TV, cb. i, p
nie. Par rapport à un point donné, l'espace est infini, selon trois aspects : d'abord en longueur, ce que l'on figure en supposant un point qui, se déplaçant en ligne droite, engendre des deux côtés une droite infinie; ensuite en largeur, ce que l'on figure en supposant que cette droite infinie, se déplaçant perpendiculairement à elle-même, engendre des deux côtés une surface infinie ; enfin en profondeur, ce que l'on figure en supposant que cette surface infinie, se déplaçant perpendiculairement à elle-même, engendre des deux côtés un solide géométrique infini. — Voilà des propositions que nous ne pouvons nous empêcher de tenir pour vraies, et là-dessus notre imagination se donne carrière; nous nous représentons la durée et l'espace comme deux réceptacles infinis, uniformes, indestructibles. Dans l'un sont inclus tous les événements réels, dans l'autre tous les corps réels. Si longue que soit une série d'événements réels, par exemple la suite des changements arrivés depuis la formation de notre système solaire, si vaste que soit un groupe de corps réels, par exemple l'assemblage de tous les systèmes stell aires auxquels nos télescopes peuvent atteindre, le réceptacle déborde au delà; nous aurions beau accroître la série ou le groupe, il déborderait toujours, et la raison en est qu'il n'a pas de bords. Nous . demeurons surpris, et nous nous demandons par quelle merveilleuse opération d'esprit nous avons pu découvrir une propriété si merveilleuse. — Mais l'étonnement diminue si l'on remarque que la même propriété se rencontre dans toutes les grandeurs, et il cesse si l'on constate qu'elle est comprise dans la définition de la grandeur. — Soit la plus simple de toutes les grandeurs, une collection d'indi-
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vidus OU d'unités, aussi petite que l'on voudra, c'està-dire contenant deux unités. Pour la construire, j'ai supposé deux unités exactement semblables, c'est-àdire la même unité répétée; puis j'ai ajouté la seconde a la première, 1 à 1, en supposant qu'avant comme après l'adjonction la seconde unité était la même, en d'autres termes, que le second 4, une fois ajouté, demeurait intact et absolument tel que d'abord. Puisque le second 1 est le même que le premier, je puis, lorsqu'il est seul, faire sur lui l'opération que je viens de faire sur le premier, et partant lui ajouter 1. Puisque le second 1, après son adjonction au premier, demeure absolument tel que d'abord, je puis, lorsqu'il est adjoint au premier, lui ajouter 1 comme lorsqu'il est seul. Je puis donc ajouter 1 àl -j-l, c'est-à-dire à 2, comme j'ai déjà ajouté 1 à 1. Un raisonnement analogue prouve qu'on peut pareillement ajouter 1 à 3, puis à 4, à 5, à 6, et en général à tout nombre, quel qu'il soit. Ainsi toute adjonction effectuée engendre la possibilité d'une autre adjonction pareille ; d'où il suit que la série des nombres est absolument infinie. Il n'y a pas de nombre, si énorme qu'il soit, qui ne soit compris dans cette série ; elle est, par rapport aux nombres imaginables^ ce que la durée est par rapport aux événements réels ou imaginables, ce que l'espace est par rapport aux corps réels ou imaginables, un réceptacle sans limites, où tout nombre déterminé ou déterminable vient forcément se loger, tantôt plus haut, tantôt plus bas, mais toujours en un endroit précis, sans que jamais ce nombre, enflé aussi monstrueusement qu'on voudra, cesse d'être débordé par la série, comme un enclos par son au-delà. Voilà pour les collections qui sont des grandeurs
artificielles et discontinues; même raisonnement pour les durées, les lignes, les surfaces, les solides qui sont des grandeurs naturelles et continues. Prenons un fragment quelconque de ligne droite AG ; les premières notions de la géométrie montrent qu'on peut le diviser en deux droites égales, AB, BG, dont la seconde, transportée telle qu'elle est, intacte et sans altération, coïncidera exactement avec la première; partant, sauf son emplacement à la suite de la première, elle est la même que la première, et de plus, par hypothèse, elle est la même avant comme après sa translation. Puisque la seconde droite est la même que la première, je puis, lorsqu'elle coïncide avec la première, fairo sur elle la même opération que sur la première, et partant la prolonger, comme la première, par une droite égale. Puisque la seconde droite, avant sa translation, est la même qu'ensuite, je puis, avant de l'avoir transportée, c'est-à-dire lorsqu'elle prolonge encore la première, la prolonger, comme la première, par une droite égale. Je puis donc prolonger ABG par GD comme j'ai
 — B c D E prolongé AB par BG. Une
démonstration analogue établit qu'on peut pareillement prolonger ABGD par DE, et ainsi de suite, si grande que soit la ligne ainsi constituée. Donc tout prolongement effectué engendre la possibilité d'un autre prolongement égal, d'où il suit que la série des prolongements est absolument infinie. — Le lecteur voit sans difficulté qu'en changeant les mots nécessaires cette analyse s'applique également aux surfaces, aux solides, aux durées, et prouve rigoureusement l'infinité de la durée et de l'espace. — Tout l'artifice de la preuve
consiste à observer deux éléments d'une grandeur donnée, à remarquer qu'ils sont les mêmes, sauf leur différence de position dans la grandeur; que cette différence elle-même est indifférente, c'est-à-dire nulle d'effet et sans aucune influence sur leur nature; que, partant, l'accroissement donné au premier élément par le second peut être donné à leur ensemble par un troisième ultérieur, et en général à tout autre ensemble analogue par un ultérieur. Ce qui crée l'infinité de la série, ce sont les propriétés de ses éléments. Aussi est-ce en comparant entre eux les éléments des séries infinies qu'on compare entre elles les séries infinies. Tel est le procédé par lequel je sais que la série infinie des nombres pairs est égale à la série infinie des nombres impairs et que chacune d'elles est la moitié de la série infinie des nombres. Tel est le procédé par lequel je sais que la surface infinie comprise entre deux perpendiculaires distantes d'un mètre au-dessus d'une droite est égale à la surface infinie comprise entre ces mêmes perpendiculaires prolongées au-dessous de la droite et que ces deux surfaces infinies prises ensemble sont les deux tiers de la surface infinie comprise au-dessus d'une autre droite entre deux perpendiculaires distantes de trois mètres. Ainsi, quand on étudie l'axiome qui afl'ranchit de toute borne l'accroissement possible de toute grandeur, et qui pose cette grandeur accrue à l'infini comme un réceptacle permanent où toute grandeur bornée de la même espèce doit forcément trouver sa place et son au-delà, on n'y rencontre, comme dan? les autres axiomes, qu'une proposition analytique. Il nous a suffi partout d'examiner avec attention notre construction mentale, pour v démêler des conditions
sous-entendues, l'identité latente d'une donnée et d'une autre, l'indifférence latente d'un caractère qui semblait séparer les deux données, identités et indifférences non aperçues par nous, parce que notre supposition ne les avait pas expressément énoncées, mais qui n'en étaient pas moins incluses tacitement dans notre hypothèse et qui, avant d'être mises à nu, révélaient leur présence secrète par l'inclination invincible qu'elles imprimaient à notre croyance et par l'évidence complète dont elles illuminaient notre jugement.
VIII. Notez bien que ces grands réceptacles, comme les autres cadres, sont de fabrique humaine : ils sont Tœuvre de notre esprit, et la nature existe sans avoir égard à notre esprit. Nous sommes donc tenus de les employer avec précaution quand nous les appliquons à la nature, et, pour les appliquer avec profit, nous devons toujours nous reporter à leur origine. — Par exemple, pour construire l'espace, nous avons d'abord supposé un point qui se meut vers un seul et unique autre point, et nous avons ainsi fabriqué la ligne droite; nous avons ensuite supposé que cette droite se mouvait en traçant par tous ses points des droites égales entre elles, et nous avons ainsi fabriqué la surface plane; nous avons enfin supposé que cette surface se mouvait en traçant par tous ses points des droites égales entre elles, et nous avons ainsi fabriqué le sohde géométrique ou l'espace complet. Mais rien ne prouve que ces mouvements supposés par nous soient possibles dans la nature. Si, par quelque nécessité inconnue, les droites qu'on vient d'énumérer étaient et devaient être toujours infléchies, nos constructions mentales n'auraient pas et ne pourraient
jamais avoir de correspondantes effectives; l'espace réel aurait une ou plusieurs courbures que notre espace idéal n'a pas, et, pour que la courbure échappât forcément à nos observations, il suffirait qu'elle fût très petite. Tel est peut-être le cas; il n'y aurait alors qu'une ressemblance approximative entre notre espace géométrique et l'espace physique. Nous avons beau connaître la structure du réceptacle hypothétique que nous avons forgé; nous n'en pouvons déduire la structure du réceptacle indépendant dans lequel les corps se meuvent. — De même encore, dans le réceptacle fictif, au delà de la troisième dimension, nous ne pouvons en imaginer une quatrième; cela ne prouve pas que, dans le réceptacle réel, il n'y en ait pas une quatrième. Tout au rebours; il y a même des indices en sens contraire ; car, si l'on ne peut imaginer géométriquement une quatrième dimension, on peut l'exprimer algébriquement, grâce à l'analogie des dimensions et des puissances, et la vraie raison que nous avons pour refuser à l'espace réel la quatrième dimension est encore une analogie. Dans l'espace réel, chaque dimension est influente. Placez des corps pesants sur une ligne droite, c'està-dire selon la première dimension; ils se meuvent d'une certaine manière. Placez un autre corps pesant hors de la ligne droite, dans le plan, c'est-à-dire selon la seconde dimension ; le mouvement des corps situés sur la ligne droite se modifie. Placez enfin un dernier corps hors du plan, c'est-à-dire selon la troisième dimension; le mouvement des corps situés sur le plan se modifie encore. Ayant la même nature, la quatrième dimension aurait la même influence; si elle existait, dans le mouvement des corps pesants observé et cal-
culé selon les trois premières dimensions, nous trouverions des perturbations que nous n'y trouvons pas. — Pareillement enfin, pour constituer le réceptacle imaginaire, nous avons considéré à part la grandeu. continue en trois sens, en d'autres termes l'étendue; et, de parti pris, nous avons écarté tout autre point de vue. Si nous cherchons maintenant les éléments d'un fragment quelconque de ce réceptacle, nous ne trouvons, pour le composer, que des étendues moindres, et, pour composer celles-ci, que des étendues encore moindres, et ainsi de suite à l'infini, tellement que les éléments de tout fragment, si petit qu'il soit, sont nécessairement des étendues moindres, d'où il suit que le moindre fragment est nécessairement divisible à l'infini. Rien d'étonnant après le retrancliement volontaire que nous avons pratiqué : n'ayant laissé dans le réceptacle mental que l'étendue abstraite et nue, nous n'y pouvons trouver autre chose; il ne reste en lui, et cela de par notre fait, que de pures grandeurs ayant pour éléments de pures grandeurs. Mais cela ne prouve pas que, dans le réceptacle corporel, les atomes occupent chacun une étendue composée d'autres étendues, celles-ci de même et ainsi de suite, ni que les atomes soient étendus, composés de particules elles-mêmes composées de particules, et ainsi de suite. Nous n'en savons rien ; nous ne pouvons rien préjuger; là-dessus, toute assertion ou négation serait gratuite; le champ est libre pour les hypothèses, et il appartient à l'hypothèse qui s'accordera le mieux avec les faits observables. — En somme, entre le réceptacle préconçu et le réceptacle ob serve, la coïncidence est grande; il y a même des chances pour qu'elle soit complète-: car, si nous avons
créé le fantôme interne, nous l'avons créé avec des éléments empruntés à la réalité externe, avec les éléments les plus simples et combinés de la façon la plus simple. Mais il n'y a là que des chances ; au derniet fond et à l'infini, la correspondance cesse peut-être d'être rigoureuse. Bref, hors du cercle où prononce l'expérience, nous n'avons pas le droit de prononcer.
IX. On voit maintenant pourquoi le contraire des axiomes et de leurs suites ne peut être ni cru ni même conçu ; c'est qu'il est contradictoire ; en ce sens, les axiomes et leurs suites sont des vérités nécessaires. Nulle question n'a eu plus d'importance en psychologie, car nulle question n'a des conséquences plus graves en philosophie. En effet, ces sortes de propositions sont les seules qui s'appliquent nonseulement à tous les cas observés, mais à tous les cas, sans exception possible; d'où il suit que de leur valeur dépend la portée de la science humaine. Mais leur valeur dépend de leur origine; il est donc essentiel de savoir d'où elles naissent et comment elles se forment. A ce sujet, deux écoles originales et encore vivantes font deux réponses opposées. Bien entendu, je parle seulement des doctrines qui ont un rôle sur la scène du monde, et des philosophes qui ont construit leurs doctrines sans autre souci que celui de la vérité. — Des deux réponses principales, Kant a fait la première. Selon lui, ces propositions sont l'œuvre d'une force interne et l'effet de notre structure mentale. C'est cette structure qui, entre les deux idées de la proposition, opère l'attache ; si l'idée de ligne droite, c'est-à-dire d'une certaine direction, se soude en moi à l'idée de la moindre distance, c'est-à-dire
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d'une certaine grandeur, ce n'est pas que cette direction et cette distance soient liées entre elles, c'est que mon intelligence est faite d'une certaine façon et que, étant faite ainsi, elle ne peut s'empêcher d'établir une liaison entre les deux idées qu'elle a de cette distance et de cette direction. En effet, les deux données prises en soi sont d'espèce différente; il n'y a point de liaison effective entre elles. Par conséquent, l'invincible accroc mutuel que je leur constate chez moi trouve son explication, non dans leur nature intrinsèque, mais dans le milieu mental où elles ont été introduites. Mon esprit n'a pas constaté leur liaison, il l'a fabriquée. Il faut donc admettre que ces propositions nous révèlent une fatalité de notre esprit et non une liaison des choses. Dans le cercle étroit où notre expérience est confinée, nous pouvons bien, par induction, établir qu'approximativement les données sensibles correspondantes sont liées ; mais affirmer qu'en tout lieu et en tout temps ces données abstraites sont liées et liées nécessairement, cela ne nous est pas permis; nous n'avons pas le droit d'imposer aux faits une soudure qui n'appartient qu'à nos idées, ni d'ériger en loi des objets un besoin du sujet..
Parti du point de vue opposé, Stuart Mill arrive à une conclusion semblable. Selon lui, ces propositions ont pour cause une force externe et sont, comme les autres vérités d'expérience, l'impression résumée que laissent les choses sur notre esprit. Considérant deux lignes sensibles et sensiblement perpendiculaires à une droite, nous vérifions par une infinité de mesures très-promptes qu'elles restent à égale distance l'une de l'autre. En outre, nous remarquons que, plus elles sont exactement perpendiculaires, plus leurs distances
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sont exactement égales. D'où il suit que, si elles étaient rigoureusement perpendiculaires, leurs distances seraient rigoureusement égales. De ce que ces distances sont égales sur notre papier, nous induisons que, bien au delà de notre papier et à l'infini, elles demeureraient encore égales. Si la supposition contraire est inconcevable, c'est que notre imagination répète exactement notre vision en lui donnant plus de portée; l'œil interne ne fait qu'ajouter un télescope à l'œil externe; partant, nous ne pouvons imaginer les deux perpendiculaires autrement que nous les voyons; donc nous ne pouvons les prolonger mentalement, sans nous les représenter comme encore également distantes. — Il suit de là que les vérités dites nécessaires, ayant la même origine que les vérités d'expérience, sont sujettes aux mêmes restrictions et aux mêmes doutes. Par l'axiome des parallèles comme par la loi du mouvement des planètes, nous constatons l'association constante de deux données qui, en fait, sont constamment associées dans la nature; mais cette association n'est pas une soudure, elle n'est qu'une rencontre. Prises en soi, les deux données ne sont que des incidents qui coïncident; il n'y a point en elles de nécessité intérieure qui les assemble en un couple forcé. Peut-être sont-elles disjointes au delà de notre petit monde; en tout cas, nous n'avons aucun droit d'affirmer qu'elles sont jointes au delà, partout et par soi. Un esprit fabriqué sur un autre modèle que le nôtre concevrait peut-être aisément des distances inégales entre nos deux perpendiculaires. Il se peut que, par delà les nébuleuses d'Herschell, aucune de nos lois ne soit vraie, et que même aucune loi ne soit vraie. — Nous sommes donc chassés irrévocable-
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ment de l'infini; nos facultés et nos assertions n'y peuvent rien atteindre; nous restons confinés dans un tout petit cercle; notre esprit ne porte pas au delà de son expérience; nous ne pouvons établir entre les faits aucune liaison universelle et nécessaire; peut être même n'y a-t-il entre les faits aucune liaison universelle et nécessaire. — En suivant cette idée jusqu'au bout, on arriverait à considérer l'ensemble des événements et des êtres comme un simple monceau. Nulle nécessité intérieure ne produirait leur liaison ni leur existence. Ils seraient de pures données, c'est-àdire des accidents. Quelquefois, comme dans notre système, ils seraient assemblés de façon à amener des retours réguliers; quelquefois ils seraient assemblés de manière à n'en pas amener du tout. Le hasard, comme chez Démocrite, serait au cœur des choses. Les lois en dériveraient et n'en dériveraient que çà et là. Il en serait des êtres comme des nombres, comme des fractions périodiques par exemple, qui, selon le hasard des deux facteurs primitifs, tantôt s'étalent, tantôt ne s'étalent pas en périodes régulières, et qui engendrent leurs chiffres successifs tantôt en suivant une loi, tantôt sans suivre aucune loi.
Voilà deux conceptions grandioses, et les puissants esprits qui les ont formées sont dignes d'admiration et de respect; mais il faut sonder le fondement sur lequel ils les ont bâties, et, à mon avis, ce fondement n'est pas solide. — Selon Kant, il n'y a pas de connexion nécessaire entre les deux données; s'il y a une connexion invincible entre les deux idées correspondantes, la cause en est non dans la structure des données, mais dans la structure de notre esprit. Avec Kant, nous constatons une liaison invincible entre les
deux idées. Mais, entre les deux données que ces idées ont pour objet et auxquelles il refuse toute liaison intrinsèque, nous avons démêlé une liaison intrinsèque; car la première, d'une façon latente, contient la seconde; d'où il suit que, le contenu ne pouvant être séparé du contenant, la liaison qui est insurmontable entre nos idées est indestructible entre leurs objets. — Selon Stuart Mill, qu'il y ait ou non connexion entre les deux données, nous sommes incapables de la connaître; car les deux données ne sont liées que par induction ; et l'induction ne peut constater entre elles qu'une rencontre constante, c'està-dire une association de fait. Avec Stuart Mill, nous admettons que, à l'origine et dans beaucoup d'esprits, elles ne sont liées que par induction ; mais nous avons prouvé qu'elles peuvent l'être encore autrement. On peut se représenter les deux perpendiculaires sur une droite par l'imagination, et on peut les concevoir aussi par la raison. On peut considérer leur image sensible, et aussi, à propos de leur image sensible, leur définition abstraite. On peut les étudier déjà effectuées et engendrées, mais on peut les étudier aussi pendant leur fabrication et leur génération, dans leurs facteurs et dans leurs éléments. On peut assister à leur formation et dégager l'ascension de la base qui les engendre, comme on peut assister à la formation du cylindre et dégager le rectangle en révolution qui le décrit. De cette construction, on extrait les propriétés incluses, et l'on forme ainsi par analyse la proposition qu'on a formée d'abord par induction. — Grâce à ce second procédé, la portée de notre esprit s'accroît à l'infini. Nous ne sommes plus capables seulement de connaissances relatives et bornées; nous
sommes capables aussi de connaissances absolues et sans limites; par les axiomes et leurs suites, nous tenons des données qui non-seulement s'accompagnent Tune l'autre, mais dont l'une enferme l'autre. Si, comme dit Mill, elles ne faisaient que s'accompagner, nous serions obligés de conclure, comme Mill, que peut-être elles ne s'accompagnent pas toujours; nous ne verrions point la nécessité intérieure de leur jonction; nous ne la poserions qu'en fait; nous dirions que, les deux données étant de leur nature isolées, il peut se rencontrer des circonstances qui les séparent; nous n'affirmerions la vérité des axiomes et de leurs suites qu'au regard de notre monde et de notre esprit. Mais puisque, tout au rebours, les deux données sont telles que la première enferme la seconde, nous établissons par cela même la nécessité de leur jonction; partout où sera la première, elle emportera la seconde, puisque la seconde est une partie d'elle-même et qu'elle ne peut se séparer de soi. Il n'y a point de place entre elles deux pour une circonstance qui vienne les disjoindre, car elles ne sont qu'une seule chose sous deux aspects. Leur liaison est donc absolue et universelle, et les propositions qui les concernent ne souffrent ni doutes, ni limites, ni conditions, ni restrictions. — A la vérité, ces propositions sont hypothétiques; tout ce qu'elles affirment, c'est que, si la première donnée se rencontre quelque part et notamment dans la nature, la seconde donnée ne peut manquer de s'y rencontrer, par conséquence çt contre-coup. Il nous reste donc à constater qu'en feit il y a des grandeurs artificielles et naturelles égales, des droites, des perpendiculaires à une droite, des corps immobiles ou animés d'un mouvement rec-
ti ligne uniforme au moins pendant un temps trèscourt, des mobiles animés en sens différents de vitesses constantes, des substances homogènes exactement divisibles en portions égales, bref des données réelles conformes à nos constructions mentales. Pour le montrer^ il faut et il suffit que l'expérience intervienne; en effet, dans beaucoup de cas, en astronomie, en optique, en acoustique, elle constate que certaines choses existantes présentent les caractères requis, ou du moins tendent à les présenter, et les présenteraient si l'on pouvait pratiquer sur elles les éliminations convenables. En tous ces cas, les propositions nécessaires s'appliquent, et les données réelles ont la soudure intrinsèque que Kant et Mill leur déniaient. — De là des conséquences très-vastes, et une vue sur le fonds de la nature, sur l'essence des lois, sur la structure les choses qui s'oppose à celles de Mill et de Kant.
