CHAPITRE IV

DE l'invention DANS LES SCIENCES MATHEMATIQUES

On appelle mathématiques les sciences qui, dans les divers objets, ne considèrent que la quantité, la quantité discrète, ou le nombre, la quantité concrète ou la grandeur.

Dans l'étude de ces sciences deux sortes de questions occupent tour à tour notre attention, les théorèmes et les problèmes. Par les premiers, nous démontrons la vérité de propositions générales concernant les propriétés des nombres ou des figures ; dans les seconds, nous cherchons à découvrir les propriétés d'une grandeur ou à déterminer une quantité inconnue au moyen d'autres quantités qui sont données. Tous les problèmes ne peuvent pas, une fois résolus, devenir des théorèmes, puisqu'un grand nombre d'entre eux se rapportent à des quantités particulières ; mais tout théorème a été originairement un problème : avant d'être connues, les propriétés des

grandeurs ont été plus ou moins longtemps cherchées : sous le nom de théorèmes de Descartes, de Lagrange, de Gauchy on désigne les résultats des efforts et des réflexions de ces grands hommes jpour découvrir des vérités encore mystérieuses. Tous les progrès dans les mathématiques sont dûs à la solution de problèmes qui n'avaient pas encore été résolus, ou même posés : ce qu'il importe donc par-dessus tout de considérer, ce sont les méthodes que nous employons pour résoudre les problèmes.

Les problèmes, à leur tour, se divisent en deux classes, selon que l'objet que nous nous proposons est de découvrir les propriétés d'une grandeur connue ou de trouver une grandeur inconnue au moyen des données dont nous disposons.

Les règles et les applications que donne M. Duhamel dans son intéressant Traité des méthodes dans les Sciences de Raisonnement sont loin de nous paraître suffisantes. M. Duhamel indique deux méthodes pour la solution des problèmes, la méthode analytique et la méthode synthétique : pour l'exposé de ces procédés, pour l'indication de l'usage et des avantages de chacun d'eux, nous ne saurions mieux faire que de renvoyer à son livre. Il indique fort bien comment il faut nous y prendre pour découvrir si par exemple tel nombre, telle ligne donnée possède telle propriété; mais il néglige précisément la question qui nous occupe : comment se fait-il que nous soyons amenés à concevoir l'idée d'une pareille recherche, à croire par exemple que tout nombre est

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un multiple de 9 si la somme cle ses chiffres significatifs est exactement divisible par 9?

La faculté à laquelle nous devons l'invention de cette vérité, comme de toutes les vérités mathématiques, est l'imagination. C'est elle qui, à l'occasion d'une réflexion, d'une perception, fait naître tout à coup dans l'esprit d'un homme une idée qu'un autre que lui n'eût pas conçue ou qui n'avait encore été trouvée par personne.

Mais, nous dira-t-on, n'admettez vous pas que certaines découvertes sont dues à une longue suite de tâtonnements, et qu'elles devaient nécessairement être faites sans qu'il soit nécessaire pour les expliquer de faire intervenir la puissance créatrice de l'imagination?

Si quelques découvertes ont été faites par ce moyen, le nombre n'en doit pas être grand ; on avance bien lentement quand on tâtonne et si l'esprit humain n'avait pas eu à sa disposition d'autre méthode, les sciences n'auraient pas pris une si vaste extension. La plupart des objets de nos connaissances sont si complexes qu'il faudrait fort lontemps pour considérer toutes les faces, tous les caractères de l'un d'entre eux et pour épuiser à ce sujet la série des explications possibles. De plus, il ne faut pas se méprendre sur le sens du mot tâtonner : il signifie aller d'une conjecture à une autre. Faire appel à l'efficacité du tâtonnement, c'est donc admettre impKcitement celle de l'imagination.

Il serait aisé d'expliquer de la même manière la

découverte des propriétés des puissances et des racines, du plus grand commun diviseur et du plus petit multiple commun de deux nombres. Lorsque nous considérons ce que nous savons tout d'abord de ces grandeurs, c'est-à-dire leur mode de formation, l'idée se présente à nous qu'elles doivent posséder aussi tel et tel caractère, puis le raisonnement nous prouve que nous ne nous trompions pas.

Le rôle que l'imagination joue dans la géométrie est plus considérable encore. Les figures que nous étudions dans cette science sont des figures idéales et l'idéal présente dans la science les mêmes caractères que dans l'art : une droite idéale, un triangle idéal, un cercle idéal, un prisme idéal, c'est ce qui devrait exister et ce qui ne peut exister. On dit quelquefois en plaisantant que la géométrie est l'art de raisoner juste sur des figures qui ne le sont pas : nous ne nous attachons pas, en effet, à tous les caractères des objets que nous présente l'expérience ; nous considérons uniquement le mode de génération d'une figure, lequel est énoncé par la définition, et nous concevons quelles propriétés en découlent naturellement et nécessairement ; tandis que la forme réelle des objets matériels étant déterminée par l'action d'un nombre infini de causes dont beaucoup se contrarient, ils sont non-seulement un triangle ou une sphère, mais bien autre chose encore et par conséquent ne sont absolument rii un triangle ni une sphère. Les iigures idéales que l'imagination nous suggère à l'occasion de nos perceptions sont plus simples et

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plus logiques que les figures réelles fournies par l'expérience.

Un géomètre considère une figure qu'il vient de tracer, un triangle, par exemple. L'idée lui vient qu'il doit y avoir une relation constante entre la longueur de l'hypoténuse et celle des côtés de l'angle droit; mais quelle relation? Son intelligence ne reste pas plus oisive que celle du physicien qui étudie un phénomène d'optique ou d'acoustique. Elle lui suggère une série de conjectures dont il contrôle la vérité ; de ces hypothèses, quelques-unes sont aussitôt rejetées que conçues parce qu'elles sont manifestement absurdes ou contraires à des vérités déjà démontrées (ceUes-ci, par exemple, que l'hypoténuse est peut-être égale à la somme des deux autres côtés) ; quelques-unes lui paraissent tout d'abord universellement vraies, mais il s'apercevra plus tard, qu'elles tiennent à des caractères particuliers du triangle qu'il a par hasard tracé isocèle. S'il est Pythagore, à la suite de réflexions plus ou moins prolongées, après avoir en vain comparé directement ces hgnes, il concevra l'idée de comparer les carrés dont elles sont les côtés ou les carrés des nombres qui en expriment la mesure : la tentative réussira, mais cette vérité importante aura d'abord été une simple conjecture d'une imagination puissante. Considérons cette autre proposition : la bissectrice de l'angle d'un triangle divise le côté opposé en segments proportionnels aux côtés adjacents. Gomment a-t-elle

été découverte? Ce n'était d'abord qu'une hypothèse

dont le raisonnement analytique ou sj^nthétique a démontré la vérité, de même qu'il prouve l'erreur de ceux qui supposent les deux segments de la base égaux entre eux, égaux aux côtés adjacents ou à la moitié de ces côtés.

Le procédé employé est toujours le même, qu'il s'agisse d'une question aussi simple que celles que nous avons prises pour exemple ou d'un problème aussi difficile que celui que Pascal se posa lorsqu'il entreprit de chercher les propriétés de la cycloïde. En etFet, pour rés.oudre un problème difficile et compliqué, nous le décomposons en une série de problèmes plus simples que nous résolvons successivement après avoir préalablement déterminé l'ordre dans lequel il convient de les aborder.

Ces conjectures, qui seules nous peuvent mettre sur le chemin de la vérité, nous sont la plupart du temps suggérées par quelque analogie que nous remarquons entre l'objet de nos études actuelles et un autre objet que nous connaissons déjà, c'est-àdire par la mémoire. Nous essayons alors d'étendre une proposition que nous savons être vraie d'une grandeur connue à une autre grandeur semblable à la première par certains caractères. C'est ainsi que les propriétés des parallélipipèdes, des cylindres, des cônes, des sphères, ont été trouvées grâce aux analogies que ces figures présentent avec les parallélogrammes, les prismes, les pyramides, les polyèdres. C'est la constatation de ces rapports qui a mis les géomètres sur la voie et les a conduits à do fécon-

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des découvertes. En mathématiques, comme dans toutes les sciences, les premiers travaux sont les plus difficiles et les plus méritoires, parce que ce secours fait défaut aux premiers investigateurs ; au contraire, plus on a déjà étudié d'objets, plus il y a de chances pour que celui que l'on considère actuellement présente quelque rapport avec l'un de ceux que l'on connaît.

Si la constatation curieuse des ressemblances entre les objets encore inconnus et les objets connus nous rend souvent de grands services, souvent aussi elle nous égare. A côté des caractères communs, il existe en effet des caractères distinctifs qu'il importe de ne pas perdre de vue. Or, étant donnée cette tendance à l'unité dont nous avons déjà parlé, cet amour de la .synthèse qui possède l'intelligence humaine, les ressemblances surtout attirent et en quelque sorte accaparent notre attention ; nous nous acharnons alors à poursuivre des recherches qui ne sauraient nous conduire à la découverte de la vérité et nous détournons avec obstination les yeux de la considération de certains autres éléments dont la remarque nous inspirerait des hypothèses plus exactes.

En résumé, la considération d'une grandeur éveille notre curiosité, nous nous posons une question, nous faisons une conjecture pour la résoudre, puis nous vérifions cette conjecture (1) : telle est la méthode à

(1) Le géomèlre lui-même n'est le plus souvent guidé clans ses iavesligations que par des probabilités du genre de celles dont nous

laquelle nous devons toutes nos connaissances sur les propriétés des nombres et des figures. Elle est, on le voit, la même que celle que nous employons dans la recherche des lois des phénomènes physiques. Seul le mode de vérification de l'hypothèse est différent : dans un cas, nous avons recours à l'expérimentation, dans l'autre au raisonnement par méthode analytique ou synthétique. Les propriétés d'une grandeur, en effet, sont la conséquence d'autres propriétés plus importantes ou de la nature même de la grandeur, de son mode de génération, exprimé par la définition. La définition contient donc comme en germe toutes les propriétés de la grandeur. Mais ce qu'il nous importe surtout de remarquer, c'est la marche que suit notre esprit, la méthode par laquelle il parvient à la connaissance distincte de ces caractères. Il ne faudrait pas croire que nos conceptions s'enchaînent spontanément dans l'ordre où nous disposons les propositions d'un syllogisme (1) : c'est toujours la conclusion que nous concevons la première et nous nous occupons ensuite de chercher des prémisses capables d'en constituer la preuve ; et souvent ce n'est pas d'un syllogisme, mais d'un prosyllogisme que nous avons

traitons ici (à propos ,clc rindiictiou), qui lui font pressentir la vérité cherchée avant qu'il n'ait réussi à lui donner | ir déduction l'évidence démonstrative et h l'imposer sous cette forme à tous les esprits capables d'embrasser une série de raisonnements rigoureux. A. CouKNOT. Essai sur les fondemcnls de nos connaissances cl les caractères de la criliqnc philosophi'^iue, ch. v.

(I) Voir LiEBiG, de llnd. tt do la Déducl. dans les uicnces. Revue scien(i(\(iue, 20 avril 1bG7.

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besoin : les esprits puissants vont si vite qu'ils ne s'arrêtent pas aux conséquences immédiates des vérités déjà connues; il faut toute une série d'intermédiaires pour montrer la liaison de la nouvelle découverte avec les principes universeRement admis.

Le raisonnement n'est pas une opération primitive, c'est un acte réflexe, un retour en arrière pour s'assurer que l'on n'a pas été trop vite ou que l'on n'est pas dupe d'une illusion; ce n'est jamais qu'un moyen de contrôle et non une méthode d'invention.

Une fois le problème résolu, une fois la proposition par laquelle nous attribuons à teUe grandeur telle propriété reconnue vraie, le raisonnement par lequel nous nous la sommes démontrée à nous-mêmes nous sert à la démontrer aux autres. La méthode analytique et la méthode synthétique que nous employons dans la démonstration des théorèmes difl'èrent peu des procédés de vérification que nous employons dans la solution des problèmes : il n'y a donc pas lieu de nous arrêter à les examiner.

Mais nous faisons aussi, quelquefois, usage d'une troisième méthode que M. Duhamel considère avec raison comme inférieure, la méthode de réduction à l'absurde ; ce n'est, à proprement parler, qu'un pisaUer, un procédé qu'il convient de n'employer que là où les autres sont impraticables ou d'un usage trop difficile. Cette méthode consiste à considérer successivement les difl'érentes hypothèses que l'on peut faire sur les données et à montrer que toutes, sauf une, ont pour conséquence nécessaire une impossibilité ou

une absurdité ; la vérité de la dernière ne se trouve pas alors démontrée, même indirectement, mais elle s'impose à l'esprit. Un telraisonnement n'est concluant que si l'on a examiné toutes les hypothèses possibles, sans aucune exception. Le procédé employé est toujours, au fond, le même ; il consiste à concevoir des hypothèses et à les vérifier; seulement ici, au heu de nous attacher à la considération d'une seule conjecture et d'en prouver la vérité, nous examinons toutes les autres conjectures possibles et nous en manifestons la fausseté : c'est toujours l'imagination qui fournit la solution et le raisonnement ne fait que la justifier.

Parmi les problèmes de ce genre, il en est qui présentent une physionomie toute particuhère, ce sont ceux qui ont pour objet la détermination des lieux géométriques, c'est-à-dire de hgnes, surfaces ou sohdes tels, que tous les points pris sur ces figures possèdent une propriété qui n'appartient à aucun point pris au-dehors. Ces problèmes sont, aux yeux de bien des gens, les plus difficiles. C'est qu'il n'est pas possible d'établir de règles qui en assurent la solution ; pour se tirer d'affaire, il faut ce que les uns appellent du fiair, d'autres d'heureuses inspirations, ce que nous appelons, en langage précis, de Timagination. Lorsque nous étudions un problème de ce genre, la considération des conditions à remplir nous suggère une série de conjectures que nous contrôlons successivement ; mais celui qui est incapable de concevoir une idée à propos des données qu'il exa-

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mine ne saura jamais résoudre aucun de ces problèmes. On peut, en effet, déterminer des règles pour vérifier si le lieu donné est une droite, un carré, un cercle, un plan, une surface sphérique; mais, pas plus en mathématiques qu'en physique (voir page 111) les règles ne peuvent suppléer à l'absence de conceptions personnelles. Il ne faut pas croire non plus que l'on arrive à la découverte de la vérité par une série de tâtonnements : les conjectures que l'on pourrait faire et que Ton aurait à vérifier sont trop nombreuses : il y en a autant que de figures concevables. Celui-là seul résoudra de tels problèmes qui, grâce à une puissante imagination ou grâce à une heureuse inspiration, devinera du premier coupla vérité ou fera une suite de conjectures qui l'en approcheront de plus en plus ; qui, par exemple, si le lieu à déterminer est un triangle rectangle, reconnaîtra successivement que ce n'est pas une Hgne, que ce doit être une figure plane, rectihgne, réguhère et enfin triangulaire. La découverte est encore ici due à l'imagination.

Ainsi que nous l'avons dit, il existe une autre espèce de problèmes dans lesquels nous nous proposons de déterminer une grandeur inconnue au moyen d'autres grandeurs données. Gomme les grandeurs que nous considérons sont ou des nombres ou des figures, ces problèmes se divisent en deux classes dont l'une renferme les questions d'arithmétique et l'autre les questions de géométrie.

Gomment nous y prenons-nous pour résoudre un problème d'arithmétique? La réponse est toute simple :

nous appliquons la règle. Voilà qui va fort bien. Mais cette régie elle-même, comment a-t-elle été découverte? Pour nous en faire une idée exacte , nous n'avons qu'à nous représenter ce que nous faisons lorsque nous avons à résoudre un problème tel que nous ne nous en sommes jamais encore posé. Gomment nous y prenons-nous? Nous essayons de le résoudre de diverses manières, c'est-à-dire qu'il nous vient à l'esprit que l'emploi de tel ou tel procédé pourrait bien ou devrait nous mener au résultat cherché : nous l'employons et nous voyons ce qu'il nous donne. Si nous nous apercevons que nous faisons fausse route, nous nous arrêtons et nous réfléchissons un moment; nous concevons alors l'idée d'une autre méthode, que nous essayons encore. S'il est des gens incapables de résoudre aucun problème, quand on ne leur eu a pas d'abord exphqué la règle, c'est que leur imagination stérde ne leur inspire l'idée d'aucune tentative ou du moins d'aucune tentative raisonnable. La plupart d'entre nous n'arrivent à la conception de la vraie méthode qu'après un nombre plus ou moins considérable d'essais infructueux; quelques-uns, doués d'un esprit plus vif, imaginent du premier coup d'employer une méthode telle, qu'en en faisant usage, ils arrivent tout droit à la solution du problème.

Les calculs qui s'exécutent au moyen des premières opérations sont tellement simples, qu'ils nous paraissent n'avoir jamais dû embarrasser personne; mais, considérons seulement la multiphcation ou la division

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par un nombre de plusieurs chiffres. Il en est de ces calculs comme de l'œuf de Christophe Colomb : une fois le moyen d'accomplir l'opération explique, rien de plus simple que de le comprendre et de le mettre en pratique, parce qu'il résulte logiquement des données que l'on a et du but que l'on se propose ; mais il a fallu un esprit ingénieux, une imagination vive pour le trouver et pour songer à décomposer les nombres en leurs divers ordres d'unités. Nous dirat-on que cela même est tout naturel, que ce n'est que l'appHcation des procédés d'analyse que notre intelligence emploie constamment? Encore fallait-il s'aviser d'avoir recours ici à l'analyse et de décomposer les nombres de cette façon et non d'une autre.

Cela devient plus clair encore, si nous passons à une opération bien plus délicate, l'extraction de la racine carrée, c'est-à-dire la détermination d'un nombre tel que, multiplié par lui-même, il reproduise un nombre donné. La difficulté était d'autant plus grande, que le calcul ne peut se faire exactement que pour une très petite partie des nombres; par suite, la plupart des essais tentés devaient, nécessairement, demeurer infructueux. Cette conception de génie, que tout nombre de trois chiffres au moins se compose de centaines, de dizaines et d'unités, que dans telle partie et, dans celle-là seule, se trouve le ' carré des dizaines de la racine, dans telle autre partie le double produit des dizaines par les unités, dans l'autre, enfin, le carré des unités, cette conception ^le génie et celle qui Ta précédée, la découverte de la forme du carré de la

somaie de deux nombres, n'ont d'abord été que des hypothèses, faites sans doute après une foule d'autres, et dont la réflexion et le raisonnement ont permis de reconnaître la justesse.

Au heu de ces opérations, considérons maintenant un de ces problèmes d'arithmétique qui demandent quelque réflexion, une règle de mélange, par exemple. Nous employons la méthode de compensation et nous arrivons à uji résultat exact. C'est l'imagination qui nous a suggéré l'idée d'employer ce procédé : cette conception, d'abord hypothétique, a été reconnue juste après avoir subi le contrôle du calcul.

Au début de tous les cours d'algèbre, on expUque que l'emploi des symboles littéraux simplifie considérablement les problèmes d'arithmétique ; et cependant pour beaucoup de personnes l'étude de l'algèbre est beaucoup plus difficile que celle de la science des nombres. Gela tient à ce qu'elle suppose un ensemble plus rare encore de qualités intellectuelles dont rien ne peut combler l'absence. Quelques services, en eifet, que rendent des règles aussi précises que celles de l'algèbre, elles ne suffisent pas : le rôle le plus considérable appartient toujours à la puissance naturelle de l'intelligence et aucune règle n'y saurait suppléer. La première difficulté que nous présente un problème d'algèbre consiste dans le choix de l'inconnue : pour cela il n'est point possible de donner de règles ; c'est affaire à la pénétration de l'esprit, fi la vivacité de l'imagination. Si nous choisissons mal notre inconnue, nous nous lançons sur une fausse piste et toutes nos

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recherches n'aboutiront à aucun résultat; tout au moins notre travail est il considérablement allongé : car il existe la plupart du temps parmi les inconnues une quantité telle qu'après l'avoir découverte nous pouvons en déduire toutes les autres presque sans nouvelle opération, loin de recommencer autant de fois tout le problème qu'il y a de quantités à déterminer.

L'imagination, si essentielle au début, continue de rendre les plus grands services pendant toute la suite des calculs. Les équations à résoudre sont souvent, en effet, fort compliquées, surtout au bout de plusieurs opérations, et nous sommes fort embarrassés de nous tirer d'affaire avec des expressions interminables. Tantôt il faut faire toutes les simplifications à mesure qu'elles deviennent possibles, tantôt il importe d'en néghger quelques-unes afin d'en pouvoir plus tard opérer de plus considérables ; tantôt il faut exécuter de suite les calculs indiqués par les signes ; tantôt il vaut mieux attendre. Presque toujours il est important de grouper et d'ordonner les différents termes dans un certain ordre plutôt que dans tout autre; pour parfaire une expression incomplète, par exemple le carré d'une somme ou d'une différence de deux nombres, nous ajoutons une même quantité aux deux membres de l'équation ou nous l'en retranchons ; d'autres fois, nous faisons intervenir de nouveaux facteurs, choisis en apparence arbitrairement, et qui nous rendent les plus grands services ; nous mettons des lettres en facteur commun, nous les faisons entrer

SOUS un radical ou nous les on faisons sortir, etc. Souvent aussi, au moment où il semble que le problème est insoluble, étant donnée la marche que nous suivons, où nous sommes arrêtés devant une équation longue et compliquée d'où il paraît impossible de rien faire sortir, nous nous tirons rapidement d'embarras par un stratagème, eu ayant recours à une inconnue auxiliaire dont nous déterminons d'abord la valeur en fonction des données, et qui nous sert ensuite à trouver la valeur des véritables inconnues.

Les procédés dont on se sert dans la solution des problèmes algébriques sont, on le voit, fort nombreux. Dans quel cas, à quel moment convient-il de faire usage de chacun d'eux, nulle règle ne peut nous l'apprendre. Un mathématicien ingénieux, arrivé à un certain point, eu présence d'une difficulté qui l'arrête^ se dit : u Je devrais m'y prendre de la sorte, représenter telle série de quantités par tel symbole. » Il essaie et parvient tout droit à la solution qu'il poursuivait.

La méthode que nous employons pour la solution des problèmes de construction en géométrie est encore la même. Prenons un exemple : sur une droite de longueur donnée proposons-nous de construire un segment capable d'un angle donné. La solution de cette question est avec raison considérée comme relativement facile. Et cependant que d'heureuses inspirations il a fallu pour y parvenir! Souvent il est plus diflicile de découvrir la marche qu'il convient de

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suivre, car nous avons moins de données encore. L'on nous pose ce problème : construire un triangle, connaissant les trois hauteurs ou les trois médianes. Gomment nous y prendre? Faut-il élever des perpendiculaires, mener des parallèles, construire des triangles semblables, décrire des arcs de cercle ou des circonférences entières? C'est à l'imagination seule que nous pouvons faire appel. (Je suppose, bien entendu, que nous avons pour la première fois à résoudre de ces problèmes.) Nous conjecturons que si nous décrivons par exemple deux arcs de cercle avec telle et telle longueurs comme rayons, de tel et et tel points pris comme centres, leur intersection sera un des points cherchés. Pourquoi le faisonsnous? parce que cette idée s'est présentée à notre esprit; nous supposons, nous croyons qu'elle est juste, mais nous ne le savons qu'après l'avoir contrôlée, La vérification est à la fois expérimentale et rationnelle. Ce n'est pas assez pour nous d'avoir résolu le problème : il faut que nous puissions rendre compte de notre succès en invoquant un ou plusieurs théorèmes précédemment démontrés et en prouvant qu'il ne tient pas aux grandeurs particuHères que par hasard nous nous sommes données. C'est uniquement à ce procédé que les grands mathématiciens ont dû leurs découvertes ; toutes les vérités mathématiques que l'on s'accorde à reconnaître comme absolument certaines ont été d'abord de simples hypothèses dont la justesse a été mise hors de doute au moyen d'une vérification.

146 DEUXIÈME PARTIE. — CHAriTRE )V.

Quelques problèmes présentent une difficulté toute spéciale : il n'est pas toujours possible de construire immédiatement la figure demandée au moyen des données : il faut alors avoir recours à une série plus ou moins longue de constructions auxiliaires. Pour trouver la solution, nous avons besoin d'une grandeur qui nous est inconnue ; cette grandeur ne peut être déterminée que par le moyen d'une autre également inconnue ; mais cette dernière, nous pouvons la tracer au moyen des donn'ées. Gomment expliquer la conception de toute cette série d'intermédiaires, la préoccupation de résoudre ces problèmes, dont quelques-uns semblent nous écarter du but, si ce n'est par cette puissance d'imagination, qui est le propre des grands hommes?

Pour être complet, il nous resterait à parler des problèmes mixtes, appartenant à deux des catégories que nous avons examinées, c'est-à-dire de ces questions relatives aux propriétés des figures, telles que pour les résoudre il faut d'abord faire des calculs ; et encore de ces problèmes qui nécessitent l'emploi alternatif des procédés de l'algèbre et de la géométrie : mais comme la marche que nous suivons dans ces différents cas consiste uniquement à combiner les méthodes que nous avons déjà étudiées, elle ne nous offre rien de nouveau à quoi nous ayons heu de nous arrêter.

Dans l'étude des mathématiques, l'imagination opère le même genre de travail que dans les arts et dans celles des sciences que nous avons déjà cousidé-

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rëes. Le peintre, avons-nous dit, ne crée pas son tableau de toutes pièces; dans la production de la statue, tout n'est pas du à l'imagination du sculpteur : l'artiste, possédé d'un sentiment profond, tire parti pour l'exprimer de ce qu'il a observé dans ses études et dans ses voyages; les découvertes du physicien sont préparées par les connaissances qu'il possédait antérieurement. 11 en est de même en mathématiques : les opérations, les constructions que le savant conçoit l'idée de faire sont toujours l'appUcation de certains théorèmes qu'il a déjà étudiés, la répétition de procédés par lesquels il a pu résoudre certains problèmes, l'utilisation de certains résultats acquis. C'est pour cela qu'il faut toujours préluder aux recherches nouvelles par des études sérieuses, que certaines questions ne peuvent être résolues qu'après un plus ou moins grand nombre d'autres et que les découvertes dans toutes les sciences suivent nécessairement un certain ordre. L'imagination ne nous donne pas une seule idée entièrement nouvelle : elle combine dans un ordre nouveau et de manière à leur faire produire de nouveaux fruits des connaissances précédemment acquises.

Il n'y a de difiîculté pour nous que la première fois que nous avons à résoudre un problème de chaque espèce : en effet, quand nous avons reconnu que l'emploi de telle méthode nous a permis de trancher telle question, nous nous en souvenons, et quand nous sommes appelés à refaire un problème semblable, nous employons le même procédé, sûrs d'avance qu'il

nous fera trouver le résultat, puisque nous en avons constaté la valeur par une vérification. La méthode, cV abord purement conjecturale, devient pour nous une règle absolue que nous ne manquons jamais de suivre à l'occasion : toutes les fois que notre intelligence a accompli un certain travail, il naît en nous une tendance à raisonner de même dans des circonstances semblables, à suivre encore la même règle. Lorsque nous exposons aux autres notre méthode , ils en reconnaissent l'excellence, ils l'adoptent, ils prennent l'habitude de l'appliquer; des problèmes longtemps insolubles cessent d'embarrasser même les esprits médiocres, et de nouvelles découvertes deviennent possibles. Toutes les règles ont donc .eu pour première' origine une conception de l'imagination.

Mais ces règles, qui peuvent nous rendre de si grands services, il est indispensable que nous ayons soin de ne les apphquer que dans les cas exactement semblables à celui qui leur a donné naissance. Sur ces habitudes intellectuelles, comme sur toutes nos habitudes, il nous faut exercer une surveillance vigilante, de peur qu'elles ne dégénèrent en routine et ne nous empêchent souvent de voir ou de faire ce qu'il convient d'accomphr.

Il arrive fréquemment que si l'on nous demande comment il se fait que pour résoudre un problème nous nous y sommes pris do telle foçon, nous répondons : (( L'idée m'en est venue par hasard. » C'est une erreur; une idée ne nous vient jamais par hasard; le hasard n'a pas plus d'iuilucnce sur les conceptions de

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notre esprit que sur les déterminations de notre volonté. Toutes les fois qu'une idée se présente â natre esprit et qu'elle n'y est pas introduite par l'expérience présente, elle y est amenée par l'association. Cette association elle-même peut être attribuée à deux principes bien différents, à l'habitude ou à l'imagination. L'habitude nous porte à appliquer la même méthode, lorsque nous trouvons dans les données les mêmes éléments. Quant à l'imagination, quelle route nous fait-elle suivre? Il est aisé de le voir, lorsque nous contrôlons par la réflexion et le raisonnement les conjectures qu'elle nous a suggérées : elle nous fait passer de la conception d'une idée à celle d'une autre idée qui est la suite naturelle et nécessaire de la première. En effet, la méthode à employer dépend de la manière dont la question est posée et la solution (nous avons vu que c'est l'imagination qui nous la fait trouver) doit évidemment être la conséquence logique des données.

Lorsque nous sommes parvenus à résoudre un problème difficile, une chose nous frappe tout d'abord, c'est la simplicité de la marche que nous avons suivie et de la solution à laquelle nous sommes parvenus. « Ce n'est que cela », disons-nous; la question nous avait paru d'abord beaucoup plus longue et plus compliquée. Mais le rôle de l'imagination est de simplifier, elle poursuit sans cesse une combinaison plus simple : c'est elle qui nous inspire les simplifications dont nous faisons si grand usage en algèbre ; c'est elle qui

nous porte, non pas à inventer sans cesse de nouvelles

manières d'opérer, mais à étendre i\ un nouveau genre de questions la méthode de solution que nous avons reconnue excellente pour un autre. C'est pour cette raison même qu'il faut nous défier de notre imagination, qu'il faut toujours contrôler et vérifier les idées qu'elle nous suggère, parce que, comme nous l'avons déjà dit, elle peut nous entraîner trop vite et nous faire perdre de vue des différences considérables.

Il est des gens qui ne sauraient se livrer avec succès à l'étude d'aucune science : ils n'ont pas d'intelligence, pas d'activité d'esprit ; ils sont incapables d'enchaîner deux idées, et non-seulement d'en découvrir, mais d'en comprendre la liaison.

D'autres, quoique fort distingués par leur intelhgence, sont incapables de réussir en mathématiques. Ils ne peuvent fixer leur attention sur des idées abstraites et ne peuvent suivre , pendant quelque temps, un raisonnement déductif : ils ne saisissent pas la nécessité rigoureuse en vertu de laquelle les conclusions découlent des prémisses.

Parmi ceux qui cultivent avec fruit les sciences mathématiques, il importe de distinguer deux catégories. Les uns comprennent fort bien les théories qu'on leur démontre, s'assimilent parfaitement la science telle qu'elle a été constituée par les autres, peuvent en exposer les propositions d'une manière claire et méthodique. Ils reconnaissent aussi l'excellence des règles qu'on leur enseigne ; ils les retiennent, les mettent en pratique et les appliquent avec discernement, de sorte qu'ils opèrent d'une mauièro

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prompte et très exacte des calculs même fort compliqués, à condition qu'ils aient été préalablement accomplis par d'autres : mais ils ne peuvent rien trouver par eux-mêmes ; ils n'ont pas d'idées originales et ne font pas faire de progrès à la science.

Enfin, il est un petit nombre de savants qui ajoutent plus ou moins aux connaissances humaines. Considérant les grandeurs dont on s'occupe en mathématiques, ils y découvrent des propriétés jusqu'alors inconnues ; de la conception des propositions qu'on leur enseigne, ils passent spontanément à celle des conséquences logiques qui en découlent nécessairement; ils inventent des méthodes pour résoudre des problèmes dont leurs prédécesseurs n'avaient pu venir à bout. La plupart ne font avancer la science que pas à pas : ils ne découvrent que les conséquences les plus prochaines des vérités déjà connues. Certaines découvertes scientifiques sont dues à une longue suite de tels esprits, semblables à ces polypes dont chacun ne produit qu'un travail presque imperceptible, et qui, grâce à leur nombre infini, forment des îles considérables au sein de la mer des Indes. Quelques-uns enfin, doués d'une imagination hardie et puissante, capables d'embrasser d'un coup d'œil toute une longue série de propositions, découvrent ces théories fécondes telles qu'il faut beaucoup de raisonnements pour les vérifier et qu'elles produisent dans la science une révolution complète.

Les découvertes en mathématiques sont dues à une véritable inspiration, qui présente les mêmes carac-

tères que rinspiration artistique. Paiixjis le malliëmaticien réfléchit longtemps sur une question sans parvenir à rien trouver et tout à coup, parfois même au moment où il y songe le moins, une idée se présente à son esprit et l'envahit tout entier ; puis, sans être arrêtée par aucun obstacle, elle se développe et amène après elle la série de ses conséquences logiques : c'est un trait de lumière ; tout ce qui avait embarrassé le savant devient clair, tout s'explique et s'enchaîne : il est dans une sorte d'ivresse délicieuse, de transport, d'extase. Mais quelquefois il est pris de craintes et de scrupules : il tremble d'avoir cru trop vite aux suggestions de son imagination et d'avoir été la dupe d'une illusion ; tout cela lui semble trop beau pour être vrai. Il revient en arrière, il contrôle par le raisonnement l'exactitude de ses conjectures et il en reconnaît la justesse, c'est-à-dire la rigueur logique.

Ce serait bien le cas de répéter ici le vers de Lucrèce (1) :

Cetera de gonere hoc longum est si dicore pcrgani.

Il serait fastidieux et inutile de passer en revue toutes les sciences, tous les travaux auxquels nous nous appliquons et de montrer que nous procédons toujours de la même manière. Dans l'étude de l'histoire, par exemple, toutes nos recherches approfondies, lorsqu'elles n'ont pas pour unique objet d'augmenter

(Ij LVCHFXU, liv. IV, Y. 1 103.

DE l'invention DANS LES SCIENCES MATHÉMATIQUES. 153

notre érudition, sont inspirées par le désir de contrôler une conjecture qu'a fait naître dans notre esprit le récit d'un fait ; si nous sommes forcés de renoncer à notre première supposition, nous la remplaçons par une seconde que nous vérifions de même. « Pour comprendre l'histoire, a-t-on dit, il faut être systématique. » Ce qui nous fait en réalité comprendre les événements ce n'est point ce que nous lisons dans les livres, mais ce que nous trouvons par nous-mêmes. Voilà pourquoi les esprits supérieurs seuls peuvent faire des ouvrages historiques de quelque valeur, voilà pourquoi un grand historien est aussi lui un homme de génie.

De même encore pour l'intelligence des langues étrangères : la lecture du texte nous suggère une interprétation, d'abord conjecturale, que nous vérifions en cherchant les mots dans le dictionnaire, en faisant la construction grammaticale et le mot à mot ; si nous la reconnaissons fausse, nous en faisons une autre et ainsi de suite jusqu'à ce que nous ayons trouvé juste. Traduire une version ou résoudi^e un problème de mathématiques, au point de vue des procédés intellectuels, c'est tout un.

Nous pouvons donc conclure que dans tous les ordres de recherches nos découvertes son dues à l'imagination ; que l'expérimentation et le raisonnement ne servent jamais qu'à contrôler nos hypothèses; et que le rôle de l'imagination est de nous faire passer d'une idée à une autre idée qui est la conséquence logique de la première.