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Deuxième Question.

On demande la présente valeur (p ) d’une somme (*) payable au bout de n années? Ce cas est réciproque au premier; puisque

p (i+r)" = s, on en tire p = -

11 n’y a qu’à prendre dans le tableau ci-dessus la valeur de ( i+r)\ et à diviser par le nombre trouvé la somme

Exemple.

Quelle est la valeur actuelle de 1,000 fr. payables au bout de 2Zj ans, au taux de 5 0/0? p — ,/™° 2 ï = r^=310 fr.

§ 4. — Annuité».

Nous avons donné plus haut la définition des annuités, servant non-seulement au paiement des intérêts d'un capital prêté, mais encore au remboursement du capital lui-même.

Les annuités peuvent être comptées soit en calculant l’intérêt simple, soit en calculant l’intérêt composé. Le calcul des annuités à intérêt simple est très-peu en usage ; il ne peut être d'aucune utilité pour l’administration d’une Société de secours mutuels ; nous nous occuperons seulement des annuités à intérêts composés.

Pour la théorie des annuités, toutes les questions que l’on peut avoir à résoudre peuvent se ramener aux trois cas suivants :

1° Trouver à quelle somme une annuité donnée s’élèvera dans un temps donné ;

2° Trouver la présente valeur d’une annuité payable pendant un temps donné ;

3“ Trouver l’annuité au moyen de laquelle un capital donné pourra être amorti dans un temps donné. ..

Premier Cas.

Nous savons par la théorie des intérêts composés qu’un franc, placéà intérêts composés, s’élève au bout de n années à ( i+r)». Cette expression, si nous retranchons l’unité, proviendra exclusivement de l’intérêt r acquis à la fin de l’année, et placé lui-même à intérêts composés; d’où (i+r)" — 1 représentera, au bout de n années, l'accumulation des annuités égales à r placées à intérêts composés. Or, relativement à toute autre annuité a, /•;«::( 14-r) 1 — 1 — 1], et si a est égal à l’unité, le

montant d’une annuité d'un franc placéà intérêts composés pendant» années égalera i [( i+r)' 1 — 1] ou - ^ •

l,e tableau que nous avons donné plus haut des résultats de l’accumulation de 1 fr. placé à divers taux d’intérêts peut servir pour calculer le montant d’une annuité quelconque. En effet, ce tableau nous représente les valeurs de (i+r)"; retranchant l’unité de ces valeurs, et divisant le reste par r, on a le montant d’une annuité de 1 fr. pour le temps et au taux donnés. Étant déterminé le montant d'une annuité de 1 fr., il est ensuite facile par une simple multiplication d’en déduire le montant d’une annuité quelconque.

Exemple.

On demande à combien monterait une annuité de 15 fr. pavée pendant 50 ans, les intérêts étant supposés au taux de 4 1/2 0/0.

Nous savons que 1 fr. placé à intérêts composés au taux de 4 1/2 pendant 50 ans s’élèverait, d’après le tableau !\\ à 9.033. Retranchant de ce résultat l’unité, il reste 8.033 qui, divisé par 0,045, donne au quotient 178,50 pour le montant auquel s’élèverait dans 50 ans 4 4 1/2 0/0 une annuité de 1 fr. accumulée au moyen des intérêts composés. Multipliant 178 fr. 50 c. par 15, nous avons 2,677 fr. 50 c. pour le montant cherché.

On conçoit qu’il serait facile de se faire d’avance à soi-même une table où l’on trouverait de suite les montants d’une annuité

de i fr. pincée à des taux différents pendant des nombres d'années différents : il existe des tables de ce genre.

Deuxième Cas.

On demande la présente valeur d’une annuité payable pendant un temps donné.

Si l’annuité a était une rente perpétuelle payable immédiatement, sa valeur présente serait précisément la somme dont l’intérêl simple pour un an est égal h a ; et r étant l’intérêt simple de 1 fr. pour un an, la somme de 1 fr. exprime la valeur actuelle d’une annuité perpétuelle égale à r. Or, r : 1 :: a : 2, d’où a

étant l'annuité perpétuelle, 2 indique sa présente valeur.

Si le paiement d'une annuité perpétuelle peut commencer immédiatement, il peut aussi être différé jusqu’à une certaine époque ; quelle est alors la valeur de celte annuité qui est dite différée? Nous savons quelle est la présente valeur d’une somme payable dans un temps déterminé ; elle est égale à iL ^

ob Sx - J ; - : . Or, nous pouvons substituer à * la valeur de l'annuité perpétuelle immédiate que nous connaissons 2. Nous avons alors, pour exprimer la valeur d’une annuité perpétuelle dont le paiement est différé jusqu’à l’expiration d’un certain nombre d’années, la formule qui suit : » = 2 x — i— .

Étant connues la valeur de l’annuité perpétuelle immédiate et celle de l’annuité différée, il devient aisé de trouver la valeur que nous recherchons, celle de l’annuité temporaire payable pendant un temps donné. Cette valeur est la différence qu'il y a entre la valeur de l'annuité immédiate, et celle de l'annuité différée; elle est égale à 2 — |^“x ( | ^ j , expression qui , quand l’annuité

donnée est 1 fr. , devient - — i* ou i x Tl î — 1

r r (1 +!•)» r l îl+>r J

Quand on connaît la valeur présente d’une annuité de 1 fr.

placée à un taux donné pendant un temps donné, on peut en dé-

duire facilement la valeur présente d’une annuité quelconque payable dans un temps donné, en multipliant celte annuité par la valeur de l'annuité de 1 fr. payable pendant ce temps au taux fixé. Avec le tableau suivant N, on trouvera aisément la valeur présente de toute annuité payable dans moins de 100 ans.

Exemple.

On demande la présente valeur au taux de 5 0/0 d’une annuité de 1,000 fr. payable pendant 25 ans.

D’après la table 0 , 1 fr. payable annuellement pendant 25 ans, vaut actuellement 14,0939. Donc, une annuité de 1,000 fr. vaudra 1,000 x 14,0939 ou 14,093 fr. 90 c.

Avec les deux tableaux O et O, tous les calculs sur les intérêts et les annuités peuvent être ramenés h des opérations trèssimples.

(Voir tableau O.)

TABLEAl' O,

Indiquant les valeurs présentes d'une annuité de i franc calculée aux taux ci-dessous, et payable pendant le temps indiqué par chacun des nombres d'années ci-dessous désignés.

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