CÛ

Troisième Cas.

On demande l'annuité nécessaire pour amortir un capital donné dans un temps donné.

A l’aide do la formule précédemment posée, connaissant l'annuité et le temps pendant lequel elle est payable, nous avons déterminé sa présente valeur. Actuellement il s'agit, étant donnés le temps pendant lequel elle est payable et le capital qu’elle représente, de trouver l’annuité elle-même.

Or, sip=«x^x( 1 — jjv— )], l’annuité a est égale ap

divisé par ce terme i x ( l — JTÇTï) qui représente la présente valeur de 1 fr. , payable annuellement dans le temps ». La formule

est donc celle-ci : a = y — - — j — r- •

Le problème posé se résout très-facilement arec le tableau O. Premier Exemple.

Avec quelle annuité pourrait-on amortir en 25 ans une somme de 14,093 fr. 90 c., l’intérêt étant à 5 0/0 ?

Une annuité de 1 fr., payable pendant 25 ans, vaut actuellement 14 fr. 0939; divisant 14,093 fr. 90 c. par ce nombre, le quotient 1,000 est le chiffre auquel doit s’élever l’annuité cherchée.

Deuxième Exemple.

Avec quelle annuité pourrait-on amortir en 20 ans une somme de 100,000 fr., l'intérêt étant à 5 0/0 ?

Une annuité de 1 fr., payable pendant 20 ans, vaut actuellement 12 fr. 4622; divisant 100,000 fr. parce nombre, le quotient 8,024 fr. 26 est l’annuité cherchée.

Mieux que tout raisonnement, un tableau dressé par les moyens

arithmétiques de la liquidation de cette somme de 100,000 fr., payée en vingt années au moyen d’annuités de 8.C24 fr. 26 c., fera comprendre à nos lecteurs le mécanisme de l'amortissement.

A la fin de la première année, 5,000 fr. d’intérêt sont dus par l'emprunteur en sus dos 100,000 fr. qui lui ont été prêtés, mais comme il paie par son annuité ces intérêts de 5,000 fr., plus une certaine somme de 3,024 fr. 26 c., il en résulte qu’au commencement de la deuxième année, il no doit plus que 96,975 fr. 74 c. , et que les intérêts seuls de cette somme courent pendant cette seconde année. Le même fait se reproduit dans toutes les autres années.

(.Voir tableau r.)

Report. . . 05,059 239 Reste <lû 28,453 587 «• Amortis*. 0,287 22

if Annuité 8,024 20 Intérêts de la 17* année. 1,422 679

Reste dû 57,034 979 tfAmortiss. 4,926 28 Dû. . 29,876 206

! Intérêts de la 12* année. 2,851 748 <7* Annuité.. .... 8,024 20

Si fl *

On voit que, parle fait du paiement de l’annuité pendant vingt ans, l’emprunt de 100,000 fr. se trouve complètement remboursé en intérêts et capital au bout de ce temps : la même annuité amortit chaque année une plus grande partie du capital prêté, parce qu’elle paie en même temps une somme d’intérêts qui va toujours en diminuant.

Si nous comparons les sommes à payer pour les intérêts dans deux années consécutives, nous trouvons que la différence entre ces sommes annuelles est toujours égale à la différence des sommes amorties à la fin de chacune de ces deux années. D’où il suit que l’amortissement s'accroît annuellement selon la progression de l’intérêt composé ; étant donné le capital amorti à la fin de la première année, on trouve de suite par la formule des intérêts composés quel sera le capital amorti à la fin de chacune des années suivantes. Soit le capital amorti à la fin de la première année égal à 3,024 fr. 26 c., à la fin de la deuxième année le capital amorti sera 3,024fr. 26 c., plus les intérêts de celte somme, 151 fr. 213= 3,175 fr. 4 73.

A la fin de la 3' année 3,024,26 x (1,05)’ = 3,334,24;

4' année 3,024,26 x (1,05)* = 3,500,96;

20' année 3,024,26 x (1,05)" = 7,642,15.

Le premier amortissement, multiplié par (1,05)", produit une somme égale à l'annuité, c’est-à-dire 8,024 fr. 26 c. Il en résulte que si l’on demandait en combien d’années, avec un amortissement de 3 0/0, un capital placé à 5 0/0 serait amorti, il suffirait, pour résoudre cette question, de chercher en combien d’années une somme égale à 3 francs placée à intérêts composés s’élèverait à la somme de 8 francs, soit 1 franc à 2.66 ; c’est une recherche que le tableau N rend extrêmement simple.