PROBABILITÉS

Les événements qui peuvent être prévus sont certains, incertains ou impossibles ; les probabilités ne portent naturellement que sur les événements incertains.

On appelle chances favorables celles qui permettent de croire à l’arrivée de l’événement considéré ; les chances contraires sont celles qui ne permettent pas de croire à l’arrivée de ce même événement. En réunissant les chances favorables et les chances contraires, on a le nombre total des chances possibles.

La probabilité d'un événement est le rapport du nombre des chances favorables au nombre des chances possibles ; elle s’exprime par une fraction dont le numérateur est le nombre de chances favorables, et dont le dénominateur est le nombre de chances possibles. S’il y a a chances favorables et b chances contraires à un événement, la probabilité de l’événement sera représentée par la probabilité contraire par La somme des probabilités favorables et contraires à un événement est par convention faite toujours égale à l’unité ; il en résulte que les probabilités favorables étant données, on retrouve par une soustraction les probabilités contraires. Les probabilités favorables à l’arrivée d’un événement étant 1 — indiquera les probabilités contraires h cet événement, et réciproquement.

Si une personne, placée en face d’une urne contenant 9 boules blanches et 1 boule noire, demandait la mesure des probabilités qui lui feraient tirer une boule blanche plutôt que la noire, il devrait lui être répondu, d’après ce que nous avons dit plus haut, qu», sur les 10 «hanses possibles, il y en a 0 en faveur de

la couleur blanche, 1 en faveur de la couleur noire. Parmi les chances possibles, favorisent la couleur blanche, — — seulement la couleur noire.

La probabilité du concours de deux événements indépendants l’un de l’autre est égale au produit des probabilités de chaque événement considéré isolément. Ainsi, si la probabilité d’un événement est celle d'un second— alors — ^—X — -, représentera la probabilité du concours de ces deux événements.

Pour continuer l’exemple des boules, si une personne, placée en face de deux urnes contenant chacune 9 boules blanches et

1 boule noire, demandait la mesuredes probabilités qui lui feraient tirer une boule blanche de chacune des deux urnes, il devrait lui être répondu que, comme chacune des 10 boules d’une urne peut être tirée avec chacune des 1 0 boules de l’autre, le nombre des cas possibles égale 10x10 ou 100; et comme dans chaque urne il y a 9 boules blanches , le nombre des cas favorables égale ou -j^. Restent 19 cas possibles qui tous doivent être contraires à l’événement , c'est-à-dire au tirage simultané de

2 boules blanches : or, la boule noire de chaque urne peut être tirée avec chacune des boules blanches des deux urnes qui sont au nombre de 18, ce qui fait déjà 18 cas contraires ; et enfin les deux boules noires peuvent être tirées simultanément, ce qui fait le 19*. Ce résultat aurait été immédiatement atteint par la multiplication des fractions représentant la probabilité du tirage unique d’une boule blanche dans chaque urne, soit — x-^— =— qui, retranchés de l’unité, font la probabilité contraire à l’événement , égale à -^~

La probabilité du concours de plusieurs événements est égale au produit des probabilités de tous ces événements , quel que soit leur nombre ; ce qui est vrai de deux événements le serait de trois, comme de dix ou de cent.

Dans le cas où l’on rechercherait la probabilité contraire à l’accomplissement de plusieurs événements, on conçoit, d’après le même raisonnement que plus haut , qu’il faudrait multiplier

entre elles toutes les probabilités contraires à chaque événement.

Si, au lieu d’être indépendants, les événements dont on recherche la probabilité sont dépendants les uns des autres, la probabilité du premier doit être multipliée par la probabilité qu’aurait le second, si le premier était considéré comme accompli.

Si , dans le cas où un certain événement aurait lieu, une personne a droit à une somme d’argent désignée, l’attente qu’elle a de recevoir cette somme a une valeur déterminée avant l’accomplissement de l’événement , valeur qui peut s’obtenir en multipliant la quotité de la somme attendue par la fraction qui représente la probabilité de l’événement. Ainsi , dans une loterie , si une personne achetait tous les numéros, cette personne devrait évidemment payer une somme égale au lot à gagner, puisqu’elle serait sûre de le gagner; si sur 100 numéros elle n’en achète qu’un, elle n’a plus qu’une chance en sa faveur sur 100 chances possibles ou Multipliant la somme à "gagner par nous avons le prix qu'elle devrait payer pour un numéro. Généralement si une personne a a chances d’obtenir une somme désignée (.s), et b nombre de chances de ne pas obtenir cette même somme , s x -~ b représentera la vraie valeur de l’attente qu’elle a de la recevoir ou de son espérance mathématique.

Les probabilités sur lesquelles les Sociétés de secours mutuels peuvent avoir à s’exercer, sont celles qui ont trait à la durée de la vie humaine et à la quantité de journées de maladie à laquelle l’homme est exposé. Les éléments pour déterminer ces probabilités sont fournis par les tables de mortalité et de maladie.

Les tables de mortalité indiquent toutes, sur un nombre donné d’individus possédant absolument le même âge, combien, par suite d’observations, ont été trouvés survivants après 1, 2, 3 années, jusqu’à l'âge où il n'en existe plus. Cette survivance exprime la loi de mortalité.

Ya' désignant le nombre d’individus marqués dans une table comme vivants à une époque déterminée, si Ya désigne le nom-

— ns -

bre d’individus marqués vivants h l’âge qui précède, la fraction ~ exprimera la probabilité de vivre un an d’un individu appartenant à cet âge précédent.

On demande, en faisant usage de la table de mortalité do la page 81 (tableau colonne des vivants), quelle est la probabilité qu’a un individu d’un âge donné de vivre pendant un certain nombre d’années ; soit , par exemple, quelle probabilité a un individu âgé dé 70 ans de vivre encore pendant G ans. Comme, au commencement de la soixante-dixièmo année, 4,280 individus survivent encore, et qu'au bout de six ans, il n’en reste que 2,637, il y a 2,637 chances sur 4,280 pour que cet individu survive encore après 6 années écoulées, c’est-à-dire que sa probabilité de vivre 6 ans est égale à ——1 . Le danger de mourir ou la probabilité de mourir pour ce môme individu est égale à 1 — ? r, ?‘ ou .

4, au 4, a#u

Si la probabilité de vivre avait été égale à celle de mourir, c’està-dire si , au bout de 6 ans, il n’avait survécu juste que la moitié de 4 ,280 personnes ou 2,140, G ans auraient exprimé la durée de la vie probable d'un individu âgé de 70 ans.

La recherche de la vie moyenne ne doit pas être confondue avec celle de la vie probable ; c'e.st par la vie moyenne que l’on compare le plus ordinairement, sous le rapport de la vitalité, les âges, les sexes, les lieux et les époques. Comme chaque individu pris en particulier peut se flatter de parvenir à l’âge le plus avancé, l’espérance qu’il a sur toutes les années qui doivent s’écouler jusqu’à cet âge se mesurera en multipliant leur nombro par la probabilité d’y arriver.

On calcule la vie moyenne de deux manières différentes : 1» en faisant un total de tous les nombres marquant, dans la table de mortalité, les survivants de chaque âge à partir de l’âge qui suit celui auquel on veut déterminer la vie moyenne, en divisant le total par les vivants de cet âge et en ajoutant ~ ati quotient; 2° en calculant la vie moyenne des survivants

au dernier âge de la table, et en se servant ensuite pour l’âge qui le précède immédiatement de cette formule :

9 — T + Va \ v + 2 ) >

v' désignant la vie moyenne au dernier âge, YV le nombre des survivants à ce dernier âge, et Y a celui des vivants à l’âge qui précède immédiatement. Comme v\ Y a' et Yn peuvent se rapporter à chacun des âges de la table, on remonte successivement par cette formule du dernier âge jusqu’au premier. C’est ainsi qu’a été calculée, dans le tableau F de la page 81, la colonne de la vie moyenne.

La probabilité qu’il y a que deux personnes d’âges différents survivent à la lin d’une époque donnée, est évidemment égale au produit des probabilités de vivre des deux individus pris à part ; ainsi la probabilité que deux personnes, A et B, l’une âgée de 20 ans, l’autre de 25, atteignent toutes les deux â 5 ans, égale le produit de la probabilité d’un individu de 20 ans de vivre 25 ans, par la probabilité d’un individu de 25 de vivre 20 ans. La probabilité que A survive, et que B soit mort avant qu'ils aient atteint les â5 ans, est égale à la probabilité de A de vivre au bout de 25 ans, multiplié par la probabilité de B, de mourir avant l’expiration de ces 20 années.

Les tables de maladie donnent directement la quantité de journées de maladie que subit, en moyenne, un individu d’un certain âge, pendant toute une année ; cette quantité moyenne est la somme des probabilités journalières de maladie, et si l’on voulait savoir, à l’aide de ces tables, la probabilité qu’a un individu d’un âge donné d’étrc malade un jour de l’année, il suffirait de diviser par 365 le nombre marqué dans les tables : le quotient marquerait cette probabilité.