CHAPITRE III

A EDUCATION DE LA THÉORIE DES DlttCIS ET AMC.TÛ, ET DE LA THEORIE DES WnUfUIÜ A Li DÉTERSII'.OIO’l DES \ 1UCCS IA PS:HE IV.LE ET PEIUES A\- SI.EELES d'aNXLITRA VIAGERES, DALLOCITIOK Al DECES, DE TRAITEMENTS DE MALADIE,

Pour que les administrateurs des Sociétés de secours mutuels puissent baser leurs opérations sur le calcul, ils ont besoin de savoir déterminer la valeur en prime unique des annuités ou pensions viagères, celle des allocations au décès ou assurances sur îa vie et celle des traitements de maladie auxquels peuvent donner droit des cotisations déterminées. Il faut aussi qu’ils sachent convertir en primas annuelles les primes uniques données par le calcul. Nous allons indiquer successivement les moyens d’obtenir ces divers résultats.

SECTION i”.

Annuités viagères.

Nous savons trouver la valeur d’une annuité à l’aide de laquelle on peut rembourser, au bout d’un certain nombre d’années, un capital donné, en même temps qu’on en solde l’intérêt: mais il peut entrer dans les intentions dos prêteurs de se faire payer, pour l’aliénation d’un capital, une annuité qui ne cessera de leur être due qu’au moment de leur décès ; telle est la raison des annuités viagères.

Les annuités viagères sont susceptibles de produire de trèsnombreuses combinaisons ; ainsi elles peuvent être placées sur une ou sur plusieurs têtes; elles peuvent être payables tant que ccs têtes subsisteront ensemble ou que l’une d’elles

seulement subsistera -, elles peuvent dépendre non-seulement de la continuation de l’existence d'un nombre déterminé de têtes, mais aussi de l’ordre de survivance qui s’établit entre elles; il peut encore arriver qu’on ne veuille déterminer qu’après l’extinction d’une tête celle sur laquelle l’annuité viendra en reversion.

Les Sociétés de secours mutuels n’ont pas à s’occuper de toutes ccs combinaisons ; il leur suffit, pour le but spécial auquel elles tendent, de savoir trouver la valeur présente d’une annuité viagère immédiate, différée ou temporaire, constituée sur une tête d’un âge quelconque. (1)

1° Annuités viagères immédiates.

En multipliant une somme d’argent à recevoir dans le cas où un événement incertain viendrait à arriver, par une fraction indiquant les probabilités qui favorisent cet événement, le produit qu’on obtient exprime la valeur de l’espérance mathématique de recevoir la somme en question. Or, les tables de mortalité montrent que l'individu à qui esL duc une rente viagère a chaque année une probabilité différente de la recevoir : chaque annuité a

(1) Vous avons toujours calculé les annuités viagères dans la supposition qu’elles sont toutes payables annuellement ; mais elles pourraient être payées à des intervalles plus rapprochés, par semestre, par trimestre, par mois, par jour.

Il y a plus d'avantage k toucher une annuité par semestre qu’annuellement : d'abord on jouit p-mlant six mois de l’intérêt do la moitié de son annuité; en outre, on a la chance de recevoir un paiement semestriel de plus.

Il faut, quand le paiement doit avoir lieu par semestre, ajouter & la valeur do l’annuité 1/4 de la rente d’une année: s’il a lieu par trimestre, 3/8"; par mois, 11/24"; par semaine, 51/104"; par jour, 182/305". On démontre que l’accroissement provenant du paiement par fraclions d'années, ces fractions fussent-elles infiniment petites, ne peut dépasser la moitié d’un paiement annuel, soit 0,50 c. pour une annuité d'un franc.

une valeur différente; pour apprécier ta présente valeur d’une renie viagère, il faut dune connaître toutes ces valeurs différentes et en faire la somme.

Cela dit, si nous supposons l’annuité égale h 1 fr., et si nous représentons par : .

la probabilité que l’individu à qui elle est due vivra

à la fin de la première année;

Yrt-j-2

— — i ta probabilité qu’il vivra à la fin do la deuxième;

■ * y„" -i celle qu’il vivra à la fin de la troisième ;

■ - , celle qu’il vivra à la fin de la nième année;

Ya indiquant le nombre des individus marqués vivants dans la table de mortalité à l’âge de l’individu à qui appartient la renie, et Ye-j-t, Y«+2, Ya-j-3, Y«-(-n, le nombre des individus survivants à la fin des 1", 2"', 3 ,u ' et n m ' années qui suivent cet âge,

ex P rimera la valeur de l’espérance qu’a l’individu de recevoir l’annuité à la fin de la première année ;

la valeur de l’espérance de la recevoir à la fin

de la deuxième ;

yy— 3 X i 1? valeur de l'espérance de ta recevoir à la fin de la troisième ;

— - - X-^— -, ta valeur de l’espérance de la recevoir à ta fin de ta a^' apnée.

Maintenant, si cette n me année est celle qui dans la table de mortalité est indiquée pour être la limite de la durée de la vie humaine, et si l’on a la valeur de toutes les années comprises entre ta troisième et ta on aura ta valeur présente de l’annuité immédiate en faisant la somme de :

Y«+W*j •{H-rJ* '

expression qui peut se traduire ainsi :

I rYn+l Vii+ 3 Ym-3 ,

Yu x Lirr ’ (i-M-) 2 (i-w)3 * * *

Il n’existe aucun moyen de simplifier ces termes et d’abréger cette expression ; tous les termes en doivent être calculés les uns après les autres. Cependant, quand on a à trouver la valeur de plusieurs annuités sur des têtes de divers âges consécutifs, on peut abréger considérablement l’opération en descendant de la valeur de l’annuité sur la tête la plus âgée, à la valeur de celle sur la tête plus jeune d’un an , et ainsi de suite.

Soit V la valeur d’une rente viagère sur une tête âgée de A années ; d’après ce que nous avons vu ,

Ya+t , Y H4-3 , Y<m-»i v

Si nous appelons Yo le nombre d’individus marqués vivants dans la table de mortalité à A — 1 années.

. Va

Y* o tl

égalera la valeur d’une rente sur une tête âgée de A— 1 années. Appelons V' cette valeur, nous obtenons les deux équations suivantes :

Y o 4- 1 Y n 4-3 Yff-H ,

i+r ‘ + i't+rfi + (14-r) + '

vâ

I r Yj* , Y«+ I , Y«+3 Li+r (l+r^O+r^'

En multipliant la première équation par Y a et la seconda par (1-j— r) Yo, ces deux équations se transforment ainsi :

TÏT

Yn-r.V

Yn+3 , WJ (!+r,- ‘(1+3/*

V'X (H-r) X Yo — Yo.

D'ail V X Y a = V'X (l+r)x Yo-Y« et V'=

Pour avoir la valeur d’une annuité sur une tète d’un certain âge, quand on connaît la valeur de la même annuité sur une tète de l’âge immédiatement supérieur, il faut d’abord ajouter l’unité h la valeur de cette annuité, puis multiplier la somma par l’escompte

— i si —

d'un franc pour un an ; et ce produit obtenu, le multiplier par !a probabilité qu'a la tête la plus jeune de vivre un an. Substituant la valeur trouvée pour résultat de l’équation à la valeur de l'annuité sur la plus vieille tête, et répétant l’opération, on a la valeur de l’annuité viagère sur une tête plus jeune encore d'une année. D’après ce raisonnement, en cherchant d’abord la valeur d’une annuité sur la tête la plus âgée dont la probabilité de vie soit indiquée par la table de mortalité, et descendant d’âge en âge, on obLienl, sans de trop longs calculs, la valeur de toute annuité demandée pour tout âge, à tel taux et d'après telle table qui semblent préférables. C'est ainsi que le tableau J a été dressé.

Exemple.

On demande la valeur présente d’une annuité viagère immédiate de 300 francs sur une têle de 90 ans; en se servant de la table de mortalité du tableau F et en calculant l’intérêt à 5 0/0.

L’annuité d’un franc sur une tète de

93 ans = (1,000) X ^ X 0,9524 = 0,476

92 ans == (1,476) X ~ X 0,9524 X 0.703

91 ans = (1,703) X X 0,9524 = 0,926

90 ans = (1,926) X,-^' X 0,9524 = 1,166

Multipliant 1,166 par 300, nous avons 349 fr. 80 c. pour exprimer la valeur de l’annuité demandée.

2° Annuités viagères différées et temporaires.

Une annuité viagère différée est celle qui ne doit être payée qu’après un nombre d’années déterminé, pourvu toutefois que la tête sur laquelle elle est constituée soit vivante. Une annuité temporaire est celle dont on doit jouir immédiatement, mais qui doit s’éteindre après un nombre d’années déterminé.

Étant données la valeur d’une annuité viagère sur une tête de

A années, el la valeur d’une annuité viagère sur cette même tête, dont l’entrée en jouissance soit différée jusqu’à n années; la différence de ces deux sommes exprimera la valeur d’une annuité temporaire payable « sur cette même tête pendant n années. A', valeur de l’annuité viagère immédiate, = A' valeur de l’annuité temporaire -f- A" valeur de l’annuité différée; d’où l’on tire : A — A'— A 1 *.

On retrouve facilement dans la formule générale de la valeur d’une annuité viagère immédiate,

» . Vrt +2 , 1 , V.T- 4 -»~ l

les deux éléments A' et A d ; en effet, la somme des t premiers ternies de la série :

1 r Y a -*- 1 Ya- 4-2 . Xa-r-Z . Yn+-t "|

Y a L in-r (l +*/*""* ******** (l-4-r)* -*

représente A 1 ; la somme des derniers depuis jusqu’à

— Y«4-n étant le dernier nombre de la table de mortalité, o+O" '

se rapporte à A*. -

Observons ces derniers termes :

I f Y«H-/-f-l , Y«4-/-4-2 , Ym-4-II \

Y a \ (i » (l- 4 -rj*^ ' (t-t-r ; n ’ J\

on peut transformer cette expression en la suivante :

(Yat-*-\ t Yat-*-2

Yfl+»

et celle-ci en cette autre encore à la suite d’une multiplication par cette fraction ~ qui, égale à l’unité, ne peut changer la valeur du produit:

a<i l—vr— îv f — 4 - r raf+l i YaM i v " ‘

Y a V Vü : L ) (1 +

Va-m lX

Or, comme la partie de l’équation entre la parenthèse ( ) est égale à la valeur d’une rente viagère immédiate sur une tête de A-{-/ années, pour avoir la valeur d’une rente de 1 fr. différée de t années sur une tête de A années, il faut chercher la valeur d’une rente viagère immédiate sur une tête plus âgée que la tête donnée du nombre d’années dont la rente est différée, el multi-

— ISO —

plier celle valeur par l’espérance que la tête donnée a de recevoir 1 fr. à la fin du délai après lequel la rente est payable. A l'aide de cette règle, il est facile, avec une table do renies viagères immédiates, de calculer la valeur de toute annuité différée ; et du moment que l'on sait la calculer, on sait aussi trouver la valeur de touto annuité temporaire, puisqu’il suflit pour cela de prendre des différences entre des annuités viagères immédiates et des annuités différées.

Extmpln.

1° Une personne âgée de 21 ans veut acheter une rente viagère de 300 fr. qui ne commencerai) lui être servie qu’à 60 ans. Quelle est la valeur actuelle de celte rente, en supposant la mortalité comme dans le tableau /•’ et l'intérêt à b 1/2 0/0?

La valeur d’une rente viagère immédiate de 1 fr. sur une tête de 60 ans est égale à 9 fr. 393 millimes ; l’espérance qu’une tête âgée de 20 ans a de recevoir 1 fr. après 39 ans, est égale à — X — — ; d’où la valeur d’une rente viagère de 1 fr, sur une tôle âgée de 21 ans différée jusqu’à 60 ans, serait égale à 9.393x0,1797x0.6395=1,079. La personne âgée de 21 ans aurait à payer pour la rente de 300 fr. 1,079x300=323 fr. 70 c.

2" Une personne âgée de 21 ans voudrait acheter une annuité temporaire de 300 fr., payable jusqu’au moment où elle atteindra l’âge de 60 ans, avec la condition que nul ne pourra réclapier le paiement de cette annuité dans je cas où elle (pourrait avant d’avoir atteint 60 ans. Quelle en serait la valeur actuelle, en supposant la mortalité comme dans le tableau /’, et, l’intérêt toujours à à 1/2 ?

Uno rente viagère immédiate da 1 fr. sur une tête do 21 ans vaut 17 fr. 107 millimes; une rente viagère immédiate do 1 fr. sur une tête de 60 ans vaut 1 fr. 079 ; une annuité temporaire de 1 fr., payable depuis 21 jusqu’à 60 ans, coûterait 17,1 07 — 1,079, ou 16 fr. 028 millimes. Donc l’annuité temporaire de 300 fr. ccùicrait à, 008 fr. àû c.

Les pensions payées par les Sociélés de secours mutuels à ceux de leurs membres qui parviennent à un âge avancé, rentrent dans la catégorie desannuités différées ; leurs valeurs devraient toujours être appréciées d’après les règles que nous venons d’indiquer.