SECTION |I

Allocations au décès vu assurances sur ta vie.

La différence essentielle qui sépara le calcul des annuités viagères du calcul des assurances sur la vie, c’est que dans les premières, le résultat dépend des probabilités do vie; dans les secondes, il dépend des probabilités de mort ou du danger de mourir.

Pour déterminer le danger de mourir que court dans l’année qui va s’écouler un individu d’un âge quelconque, nous avons déjà vu qu’il fallait retrancher de l’unité la fraction indiquant la probabilité do vivre à la fin de cetto année. indiquant la probabilité de vivre un an, le danger de mourir dans l’année sera exprimé par . Le danger de mourir dans la seconde ,

dans la troisième année s exprimera par — —

Y u + 2, Y«+3 indiquant le nombre d’individus marqués sur\ivants dans les deuxième et troisième années qui suivent l’âge donné.

Si maintenant on veut calculer l’espérance mathématique qu’aurait un individu de recevoir une somme dans le cas ou une une tête âgée de A années viendrait à mourir dans l’année ; cette espérance , d'après les règles ordinaires des probabilités, serait actuellement égale à p.x—.X ^"^" -■ Dans le cas où A mourrait dans la seconde année, ce serait p. — - — -x-— " ,

et, pour la troisième année, p. X^^r~ i x ' <l+ 'ÿ i - 4 3 ; enfin, pour la n mc année, p . 7^-^; X- 1 " " y -— - ^ - • Soitmainlenanllasommo p. égale à l’unité, la présente valeur de 1 franc à recevoir à la fin

de l'année oii une tête figée de A années viendrait à mourir, égalera

l , Vfl+l-Y<i+î , Yff+Î — Y«-+-3 , Ya-+-(n— l' — Y «-*-n

—Ç—+— -+— ÏT^s=r-

série de termes qui revient à l’expression suivante :

Ytf-t-l , Y ti-i

I 4 ./ v Yfl-t-l , Y//-+-2 .

r. — r — X(V/-f- — +- — -etc..

lox^l+r;' \ I *+-r (l-t-r/i

I fYa+- 1 . Y n-*~ 2 Y»m- 3 \

Vci^A l+r v (-4-r>- 1 (l+r/v

La deuxième partie de cette expression qui est marquée du signe — représente complètement la valeur d’une annuité viagère immédiate sur la tête d’un individu âgé de A années : soit A' cette annuité. La première partie de l’expression égale — ^ X (1 + A') ou y~. Ainsi, la présente valeur de 1 franc à recevoir à la fin de l’année où une tête âgée de A années viendrait à mourir, serait trouvée au moyen de cette formule :

D’après cette formule on voit que les assurances sur la vie se déduisent directement des annuités viagères; il est facile, avec une table d’annuités, de construire une table d’assurances sur des têtes d’un âge quelconque.

Exempt

Quelle somme devrait payer à 21 ans un membre d’une Société de secours mutuels pour assurer à sa famille au moment de son décès une somme de 300 fr.? (Intérêt à /i 1/2 0/0. Table de mortalité du tableau /•’.)

Une rente viagère immédiate de 1 fr. sur une tête de 2 1 ans, à h 1/2 0/0, vaut 17,107. Ce nombre multiplié par 0,045 donne en produit 0,7698 qui , retranché de l’unité, laisse un reste égal à 0,2302. Divisant 0,2302 par 1,045, le quotient 0,22 multiplié par 100 exprimerait que le prix d’une allocation au décès, de 100 fr., vaudrait 22 fr; par suile, le membre d’une Société de secours mutuels qui, à 21 ans, voudrait acheter une assurance de 300 fr., devrait payer 66 fr.