SECTION III

Traitements de maladie.

Soit m indiquant le nombre moyen de journées de maladie auquel est exposé pendant une année un individu âgé de A années, soit a le traitement de maladie qui lui serait alloué pour ces journées, en négligeant l’intérêt provenant de ce que les journées de maladie que présument les probabilités ne se trouvent point toutes au commencement do l’année, mais ne doivent apparaître que successivement dans le courant des 365 jours, cet individu âgé de A années pourra s’assurer pendant une année contre la maladie par une somme égale à n X ni (1).

S’il veut s’assurer pour deux ans, il aura à payer de suite l’assurance de la première année a X ni, plus l’assurance de la deuxième année a X ni +1 x— ' t~-X 1 représentant le

nombre moyen de journées de maladie auquel est exposé un individu âgé de A -j- 1 aînées, " v ^ — la probabilité qu’il vivra au commencement de la deuxième année, et — — l'escompte de cette somme pour un an.

Généralement s’il veut s’assurer pour n années, il aura à payer : Pour la 1" année, a X »u » 2' » a X m + 1 X X TZT-

» 3' » aX»+2X^X 1 ~-.

«•+ 1 » aXwi + «X

(1) On tiendrait compte de cet intérêt en multipliant le prix de l’assurance pour un an, par l’escompte de 1 fr. placé au taux donné pendant

six mois, soit a m X i- + - r -

l es Sociétés ne placent pas immédiatement l’argent qu’elles reçoivent; elles sont forcées, par les besoins de leur service, de garder toujours quelques fonds dans leur caisse; c’est en raison de cotte considération que nous avons cru devoir laisser tic cOté cet intérêt.

Appelons M la somme de ces n+1 termes, elle égalera:

-vT-X-n^Xi

Ytf

-Xai»+2 *

X^XaM+3 + ^ x -J xa M + »;

ce qui revient à :

X L Yo xa m 4- Y«+l X -^Xa m 4-1 -f Ya+2 X

X a»i+2+ Ya + iix^r Xa m+n .]

Au lieu d’acheter une assurance immédiate contre la maladie pour n - f- 1 années, on pourrait acheter une assurance contre la maladie , dont les traitements seraient différés jusqu’à l'expiration de t années , ou seulement une assurance temporaire qui ne serait valable que pendant t années. Il est clair que dans ce cas t étant inférieur à w-f-l, la somme du traitement temporaire et celle du traitement différé devraient égaler le traitement immédiat jusqu’à «4-1 années. M * -f- M = M.

M 1 égale la somme des t premiers de la série qui représenté la valeur du traitement immédiat pendant n -f- 1 années. M ’ 1 égale la somme des derniers qui suivent le < ltn “ terme , c’est-à-dire :

— x[Ya+<X « >»+/ 4Ya4(4l)Xa»!+(( + 1)

X (lt-r;«-H + l- '••••!

expression qui est égale à :

ÔTTTXl;X[Ya+f x a m+f-f- Ya + /+1 X-j^-X« »i+/+l +Y« -H+2x X n »» <+ 2.]

Multipliant cette dernière expression par la fraction qui n'altère en rien sa valeur, on obtient :

M< r= ÔTÔT x ^ x [riTTï ( Ya + l x m + ‘Xlir + Ya (t -f- 1) X a m 4- (4-1) X — £ ) ].

Or, dans celte dernière formule, tous les termes compris dans cette parenthèse [ ] expriment la valeur d’un traitement immédiat sur une tête ûjéo de A -J - 1 années : connaissant c:tlî va-

-- BigteeO-by Go ogle

leur, et la multipliant par le produit qu'on obtient au moyen do la multiplication de l’escompte d’un franc pour t années, par la probabilité qu’une tête âgée de A années vivra l années, on trouve en résultat final la valeur du traitement de maladie différé pendant t années.

Connaissant M et M , une simple soustraction fournira facilement la valeur du traitement temporaire en cas de maladie pendant t années , par suite de ce qui a été énoncé plus haut : M ‘ = M — M <i .

De ces démonstrations il résulte qu’en supposant l'âge A (»+l) l’extrême limite d’âgé dans la table de maladie employée, on pourrait déterminer la valeur de tous les âges qui le précèdent, au moyen d’opérations qui n’exigeraient pas l’évaluation d’un trop grand nombre de fermes. Par exemple, un individu âgé de A (»+ 1) années, pour s’assurer contre la maladie n’aurait à payer qu’une somme égale au traitement journalier donné multiplié par le nombre de journées de maladie mentionné dans la table de maladie, soit am'. Si, au lieu d’avoir A ft+1 années, il était seulement âgé d’un nombre d’années égal à A n, la valeur du traitement immédiat serait égale à cette époque à la somme représentant la valeur à cet fige d'un traitement en cas de maladie pour un an, telle qu’elle ressort directement de la table, soit am ", augmentée de la valeur du traitement différé d'un an , soit X X am'. On

obtiendrait le même résultat pour un individu âgé de A n — 1 années. En partant de la valeur d'un traitement immédiat pour l’individu de l’âge le plus élevé sur lequel les observations aient été faites, et en remontant d’àge en âge, on pourrait déterminer la valeur des traitements immédiats pour tous les âges inférieurs sur lesquels l’observation du nombre moyen de journées de maladie a été faite. C’est sur cette base que nous avons construit la table des primes uniques à payer à chaque âge, pour s’assurer immédiatement le droit â dei traitements journaliers en cas de U'.ala lie, jusqu’à 70 ans.

Exemple.

Quelle somme devrait payer un individu âgé de 65 ans pour avoir droit à un traitement quotidien en cas de maladie, jusqu’à 70 ans, de 3 francs par jour devant s'abaisser à 2 fr. 25 et 1 fr. 50, si la maladie dure plus de 3 et de 6 mois? (Chances de maladie comme dans le tableau E, intérêt à à 1/2 pour 100, mortalité comme dans le lableau /•'.)

D’après ce que nous avons vu plus haut :

Si cet individu entrait dans sa 70 e année, il n’aurait à payer que 17 fr. 084 X 3 = 51 fr. 252 ;

S’il entrait dans sa 69” année, il devrait payer 16,188 X 3 -j- (17,084 X 3) X 0,8942 (voir pour ce nombre, tableau /), = 9/j fr. 39 ;

S’il entrait dans sa 68 e année, il devrait payer 15,50 X 3 + 9/i fr. 39 X 0,9042 =13 fr. 185;

S’il entrait dans sa 67° année, il devrait payer 15,428 x 3 + 131,85 X 0,9105 = 166,33 ;

S’il entrait dans sa 66 e année, il devrait payer 15,164 X 3 4- 166,33 X 0,9157 = 197,80;

S'il entre dans sa 65 e année, il doitpayer 14,736 X 3 -f- 197,80 X 0,9203 = 226,25.

On serait arrivé de suite au même résultat, en multipliant par 3 le prix indiqué dans le tableau L comme représentant la valeur en prime unique d’un traitement d’un franc par jour en cas de maladie, jusqu’à 70 ans (touies les autres conditions étant réservées de part et d'autre) : 75 fr. 421 X 3 = 226 fr. 25.