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l'équation [C”] n’admettra qu’une racine réelle négative, numériquement égale à la racine positive de l'équation [C'|, et le problème du n° 59 n'admettra pas de solution; ou bien il en admettra deux, l'équation [C”] acquérant deux racines réelles positives et une racine réelle négative, respectivement égales, quant à la valeur numérique , aux racines négatives et

à la racine positive que l'équation [C1] acquiert alors.

Il résulte de cette discussion que, dans la nouvelle hypothèse sur la forme particulière de la loi d'accélération du mouvement, il n’y a rien de changé quant au nombre de solutions que chacun des trois problèmes comporte, parce que, en effet, cela ne dépend ni du degré des radicaux auxquels conduit l'expression algébrique de la loi, ni même de la circonstance que la loi d'accélération est susceptible de s'exprimer algébriquement , circonstance qui peut ne pas se présenter, et qui notamment ne se présenterait plus, si l’on tenait un compte exact des effets de la résistance

de l'air. Mais on voit en même temps que, suivant le

degré du radical auquel conduit l'expression algé-

brique de la loi d'accélération, des problèmes foncièrement identiques se trouvent associés algébriquement de diverses manières. Dans notre nouvelle hypothese, ce sont les problèmes des n° 58 et 59 qui se trouvent algébriquement associés, et qui, en effet, ont plus d'affinité entre eux qu'ils n'en ont avec le problème du n° 57, maintenant algébriquement disjoint de l’un et de l’autre; tandis que, dans la première hypothèse, qui est celle que la nature réalise pour les corps pesants tombant dans le vide, le problème du n° 37 est au contraire algébriquement groupé avec celui du n° 936, et celui-ci se trouve algébriquement disjoint de son analogue, ou du problème du n° 39. Cet exemple suffit pour faire comprendre ce qu'il y a

d'accidentel dans le groupement algébrique des solu-

tions appartenant à divers problèmes, et la nécessité de s'enquérir des raisons d’une correspondance soutenue entre les liens algébriques des solutions et les analogies réelles des problèmes auxquels les solutions appartiennent, quand une telle correspondance s’ob-

serve.

A4. Nous ne pouvons donc adopter en ceci l’opinion du savant auteur dont nous avons eu déjà, dont nous aurons par la suite plus d’une occasion de rappeler les pensées toujours ingénieuses et souvent profondes. Suivant lui * « l'algèbre ne nous donne exactement que ce qu un raisonnement parfait nous aurait donné lui-même... ; elle ne donne rien au delà de ce qu'on lui demande; elle n'est pas plus générale que la logique considérée dans sa perfection, et le degré où l'équation $élève est le degré même de la question, si elle est parfaitement posée. » Nous verrons dans la suite ce qu'il faut entendre au juste par cette expression le degré de la question, et à quel ordre de considérations il faut s'attacher pour en trouver une explication précise ; mais, dès à présent, sur l'exemple que nous avons choisi, on.voit clairement que le degré de la question n’a rien à faire avec le

degré de l'équation algébrique ; qu’il reste le même

* Réflexions sur les principes fondamentaux de la Théorie des’

nombres, par M. Poinsot, pages 8 et 9.

quand le degré algébrique change ; et qu'il ne changerait pas quand même la question cesserait de conduire à une équation algébrique. Sans connaître l'algèbre, et sans connaître la loi de la résistance du milieu, nous trouverions, en raisonnant bien sur la marche des grandeurs , que le problème résolu au n° 39 pour le cas du vide doit en général admettre deux solutions ou n’en admetire aucune ; que chacun des problèmes résolus aux n° 37 et 38 pour la même hypothèse du vide, doit toujours admettre une solution et n en admettre qu'une. Voilà bien ce qui doit constituer, dans un sens purement logique, le degré de la question, si par degré l’on entend le nombre des solutions multiples; et encore une fois ce degré logique et le degré de l'équation algébrique à laquelle on est conduit quand le problème peut se traduire en algèbre, ne sont nullement subordonnés l’un à l’autre.

Sans connaître la théorie des équations algébriques, on pourrait trouver par tàtonnement les valeurs de l'inconnue x dans les équations [c|, [], [ce], [C], [CT, [C’], comme on trouverait par tâtonnement les racines d'une équation non algébrique de forme analogue, pour le cas où la résistance du milieu ne comporterait pas d'expression algébrique. Ces équations sont proprement celles qui traduisent en algèbre les conditions de la question; quand on les a obtenues,

on peut dire avec M. Poinsot que le problème est bien

sn HN

exprimé. Lorsqu'on passe de ces équations à d’autres dans lesquelles l’inconnue ne se trouve plus en dénominateur ni affectée de radicaux (que ces équations appartiennent ou non à la catégorie de celles qu'on sait résoudre algébriquement), on le fait pour se conformer à la constitution spéciale des équations algébriques, pour pouvoir appliquer des méthodes qui exigent qu'on ait mis préalablement les équations sous cette forme; mais en faisant cela, on introduit une ambiguïté qui ne se trouvait pas dans le problème bien exprimé ; on opère des associations et des dissociations diverses, d'après des circonstances algébriques qui ne touchent en rien au fond des questions, contrairement aux conditions d'une langue parfaite qui devrait donner des résultats analogues pour tous les cas analogues. °

Sans doute, si l'on pose en principe que la logique pure, que le raisonnement parfait requièrent qu'on fasse abstraction de toutes les circonstances du problème non exprimées ni exprimables algébriquement, l'algèbre se trouvera nécessairement d'accord avec la logique pure, puisque, par définition , la logique pure ne sera pas autre chose que l’algèbre. Mais toute comparaison suppose deux termes : il s’agit de savoir si l'algèbre introduit des ambiguïtés, des associations de solutions, qui ne se trouveraient pas dans la question soumise à une analyse logique et exacte, sans l'inter-

vention de l'algèbre; et c’est ce que les exemples pré-

cédents , auxquels bien d’autres se joindront plus tard, mettent suivant nous hors de doute.

Si l’on déclinait l'autorité des exemples pris dans les problèmes des n° 37, 58 et 539, parce que ce sont des problèmes concrets, portant sur des phénomènes sensibles qu’une langue abstraite, comme l'algèbre, ne peut pas exprimer dans ce qu'ils ont de matériel, nous remonterions à l'exemple du n° 56, où il s'agit d'idées qui tiennent à l’arithmétique pure et qu'une définition abstraite peut saisir complétement. Lorsqu'on définit le nombre y comme étant la limite dont

s approchent sans cesse les nombres

Pis Par Par CiC.,

que l’on obtient successivement, savoir : 4° le nombre p, en calculant la valeur numérique du polynome