EU TEN TERRE

pour a—/;; 2° le nombre p, en calculant la valeur numérique du même polynome pour 4=—p,, et ainsi de suite ; les nombres 4,, 4,,... 4, étant d’ailleurs des fractions qui ont l'unité pour somme; lorsqu'on défmit, disons-nous , le nombre y de cette manière, on en donne une définition très-déterminée, purement abstraite, qui ne peut convenir qu'à un nombre unique, et d'après laquelle, sans avoir jamais entendu parler de la théorie des équations algébriques, on peut calculer ce nombre avec tel degré d’approxima-

tion que l’on veut. 1] ne s'agit point ici « de ces énoncés imparfaits, qui mêlent aux conditions essentielles et déterminantes, des conditions inutiles et souvent contradictoires. » Il ne s’agit pas « de ces rapports vagues qui ne peuvent servir à aucune détermination, » qu'une langue parfaite comme l’algebre n'est pas tenue d'exprimer et qu'elle ne doit même pas pouvoir exprimer. Tout est précis, déterminant, dans la définition purement arithmétique, et néanmoins tout ne peut pas se traduire en algèbre : car la | définition algébrique du nombre 7 consistera à écrire l'équation

ki 7" ERA PT. — (+ k+ … + Kn) += 0;

et cette définition ambiguë convient, non-seulement au nombre y de la première définition, mais à d’autres nombres. Si l'on sépare, par la résolution algébrique, les différentes expressions algébriques de y

résultant de cette équation, et qu'on les désigne par

DATI REA Lr]

la séparation ne dépendra pas des valeurs numériques attribuées aux coefficients

Kns Umss ce ko;

et pourtant, suivant qu'on attribuera à ces coefficients

telles ou telles valeurs numériques, la définition arith-

métique de y, toujours invariable, cadrera, tantôt | re

avec l’une de ces expressions [|], maintenant algébriquement distinctes, tantôt avec l’autre.

= Concluons donc que l'algèbre, par la nécessité de sa constitution propre, en tant que théorie, ramène à tel degré déterminé de généralité, quand on y applique l'algèbre, des questions ou des définitions qui ont intrinsèquement un degré de généralité différent, le seul que devraient admettre un raisonnement parfait et une langue parfaite; que ceci constitue une imperfection de l'algèbre en tant que langue et instrument logique, ou, comme l'a dit d'Alembert *, un inconvénient de l'algèbre plutôt qu'une richesse : si toutefois il est permis de qualifier d'émperfection et d'énconvénient ce qui est une suite nécessaire de la nature des choses, des lois qui régissent le monde immuable des idées, et non le résultat d'institutions

arbitraires.

42. Toutes les fois que l'inconnue d’une équation algébrique est une grandeur de la catégorie de celles qui peuvent s étendre indéfiniment de part et d’autre d'une origine arbitraire, s'il n'y a pas d’ailleurs de conditions particulières qui assujettissent la grandeur inconnue à rester comprise entre de certaines limites, toutes les racines réelles de l'équation, tant positives que négatives, fournissent évidemment autant de so-

lutions de la question posée. Si le problème n’admet

* Encyclopédie, au mot Equarion.

que des solutions correspondant à des racines positives, il arrive souvent que le changement de signe de différents termes de l'équation , par le changement de x en —x, suggère immédiatement les modifications que doit subir l'énoncé du problème, pour que les solutions négatives dans l'énoncé primitif deviennent les solutions positives dans le nouvel énoncé, et inversement. Dans des cas moins fréquents, le mécanisme des signes algébriques suggère immédiatement aussi les modifications que l'énoncé doit subir, pour que des racines imaginaires deviennent réelles. Cela se comprend sans peine et se trouve d'ailleurs assez bien expliqué dans les auteurs pour que nous n'ayons pas besoin d'y revenir.

DE LA TRADUCTION EN ALGÈBRE DES PROBLÈMES DE GÉO- MÉTRIE. — COMPARAISON ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET L'ALGÈBRE, QUANT A LA MULTIPLICITÉ DES SOLUTIONS , A L'ASSOCIATION OU A LA DISSOCIATION DES SOLUTIONS MULTIPLES. — DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES ET DE L APPLI- CATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE PAR LA MÉTHODE DES COORDONNÉES.

A3. On a déjà dû saisir, d’après les explications et les exemples rapportés dans le précédent chapitre, ce qu'il faut entendre par la correspondance entre l'algèbre et un ordre de questions auxquelles l'algèbre s applique, et comprendre la nécessité de distinguer

ce qu'il peut y avoir d'accidentel ou d'essentiel dans une telle correspondance, quand elle existe. Nous allons donner suite à ces remarques en les dirigeant maintenant vers l'objet principal que nous avons en vue, la correspondance de l'algèbre et de la géométrie ; et pour cela nous tächerons de saisir les exemples les plus simples et les plus nets.

En premier lieu proposons-nous ce problème : Un rectangle ABCD (fig. 2) étant donné, on demande de l'encadrer dans un autre rectangle A'B'CD' ayant le

même centre O, ses côtés A!B!, B'C', etc., à égales

distances des côtés AB, BC, etc., auxquels ils sont respectivement parallèles, et tel enfin que son aire soit à celle du rectangle donné, dans le rapport du nombre x à l'unité. Posons NC 2 AN NN Pl — 9 A:

l'équation du problème est

(x +a)(x +0) —nab, [al et la résolution donne

T=—— Sens V(b— a) /4nab.

Afin de mieux fixer les idées, supposons a <b: ñn étant plus grand que l’unité, l'équation [a] aura deux racines réelles, l’une positive, l’autre négative et numériquement supérieure à 0. La racine positive répond directement à la question telle qu'on l’a posée ; et 1l arrive que la racine négative peut encore s'interpréter : car, si l’on porte la valeur négative de x à partir du point 72, non plus dans la direction #7, mais dans la direction opposée mm" (conformément À ce qui a été expliqué dans le courant du chapitre 11, et notamment au n° 22, sur l'opposition de sens ou de direction des valeurs positives et négatives), et si l’on opère de même aux trois autres points 2, P, q; on construira un autre rectangle A"B"C'D", dont les côtés satisferont aux mêmes conditions de parallélisme et d'équidistance , et dont l’aire sera égale à celle

du rectangle A'B'CD'. Seulement le périmètre rectan-

gulaire A’B'C’D" ne formera plus autour du rectangle donné un cadre de largeur uniforme, et même il pourra se faire qu'il n'encadre plus le rectangle donné : ce qui arrivera toutes les fois que la valeur numérique de la racine négative ne surpassera pas 20. Lorque a—b, ou lorsque le rectangle donné devient un carré, les deux rectangles A'B'CD', A’B'C/!D/ deviennent aussi des carrés et se superposent, de manière que les deux solutions se confondent.

Quand on prend pour l’inconnue x l’une des distances

nn PES, VE 4 mn=n= ppl= 094",

l'équation du problème, telle que la lecture de la figure la donne immédiatement, devient

(x—a)(x —b)=— nab, [a]

et elle se confond avec celle qu'on obtiendrait en changeant x en — x dans l'équation [4], de sorte que la racine négative de l'équation [a] est la racine positive de l'équation [4], et réciproquement.

Jusqu'ici la géométrie et l'algèbre semblent marcher d'accord : l'équation [a], ou, si l’on veut, l’équation [a] a deux racines qui correspondent à deux solutions géométriques que le problème comporte, lorsqu'on ne s'astreint pas trop servilement à la lettre d'un premier énoncé; ou du moins, si les deux solutions sont regardées comme appartenant à des pro-

blèmes géométriquement distincts, il y a entre ces

problèmes une connexion qui rend ou semble rendre raison de l'association des racines correspondantes dans la même équation algébrique. En outre, l'opposition de signe entre les racines ainsi associées correspond bien à un changement de direction, conformément aux principes généraux sur l'interprétation des valeurs négatives.

Mais, pour reconnaitre que cette association n est point essentielle, qu'elle doit être au contraire réputée accidentelle, il suffit de remarquer que la questiongéométrique comporte ou peut comporter d'autres solutions, tout aussi admissibles que celle qui est fournie par la racine négative de [a] ou par la racine positive de [a’]. En effet, si l’on pose

(x — a)(b— x) — nab, [a] d'où

4 — HE LE V(b— a) —/inab,

les deux racines de cette équation, toutes deux positives si elles sont réelles, étant portées à partir du point #2 dans la direction mn, à partir du point p dans la direction pq, et ainsi de suite, détermineront la construction de deux rectangles qui auront chacun leurs côtés paralleles deux à deux à ceux du rectangle primitif, aussi bien que les rectangles A'B'CT)’, A'B'C'D", et dont l'aire égalera l'aire de l’un quelconque de ces deux rectangles. Ainsi les racines posi-

tives de [a”[, aussi bien que la racine positive de [«|,

satisfont au problème géométrique dont la première solution nous était fournie par la racine positive de [a] : si les solutions [a/] ne sont point, comme la solution [a/|, algébriquement associées à la solution [a|, cela tient à une circonstance algébrique facile à apercevoir, mais il n'y a rien, dans la nature géométrique

du problème, qui rende raison de ce contraste.

AA. Pour en être encore mieux convaincu, il n'ya qu'à se proposer, dans la géométrie des solides, un problème parfaitement analogue au problème de géométrie plane que l’on vient de résoudre. Imaginons donc un prisme rectangulaire droit, ayant pour arêtes les droites 2a, 20, 2c, que nous supposerons désignées ici dans leur ordre de grandeur croissante; et proposons-nous de l’'emboîter dans un autre prisme rectangulaire droit, ayant le même centre de figure et ses faces respectivement parallèles à celles du prisme donné : de manière que, si l’on considère l’une quelconque des faces du prisme emboité et la face parallèle du prisme emboîtant, située du même côté par rapport au centre de figure des deux prismes, il y ait toujours entre ces deux faces la même distance x, déterminée par la condition que le volume du prisme emboîtant soit au volume du prisme emboîté dans le rapport de z à l'unité. L'équation du problème ainsi

posé est

(x + a)(x +) (x He) — nabc; [A]

et si l'on considère que le premier membre de cette équation va toujours en croissant pour des valeurs positives de x de plus en plus grandes, on s’assurera qu'elle ne peut avoir qu'une racine positive.

Comme le nombre x est supposé positif et plus grand que l'unité, il est facile de conclure de considérations analogues, que les deux autres racines de l'équation [A] sont imaginaires, ou que, si elles sont réelles et partant négatives, les valeurs numériques de ces racines tombent entre b et c. Il faudrait cependant que l'équation [A] eût une racine négative, numériquement plus grande que c, pour que l’analogie avec le problème du numéro précédent füt conservée, et pour que la même correspondance entre la géométrie et l'algèbre continuât de subsister. En effet l’on peut de même, en écartant la condition accessoire que la différence des deux prismes forme une boîte ou une enveloppe solide d'épaisseur uniforme, pour ne tenir compte que du parallélisme des faces et du rapport des volumes, concevoir que la distance x soit celle de l'une quelconque des faces du prisme cherché à la face parallèle du prisme donné, située de l’autre côté du centre commun de figure; et l'équation du problème, don-

née par la traduction immédiate de ces conditions, est (x— a)(x—b)(x—c)— nabc; [A']

mais on ne peut plus passer de [A] à [A'], comme on

passait de [a] à [a], par le simple changement de x

en —x, malgré l’analogie des formes, et malgré l’analogie des conditions géométriques que ces formes traduisent.

L'équation [A'] admet toujours une racine positive plus grande que c, et n’en admet qu’une : ses deux autres racines sont imaginaires, ou bien elles sont positives et tombent toutes deux entre a et à. La racine plus grande que €, est celle qu'il faut joindre, avec un signe contraire, à la racine positive de l'équation [A] pour représenter le système de solutions, géométriquement analogue au système donné par les deux racines de l'équation [a]. Lorsque le prisme primitif est un cube, les équations [A], [A] deviennent respectivement

(z+a)ÿ=n®#, (x—a)—na;

et l’on passe de la première à la seconde en changeant x en x—72a : de facon que les deux solutions algébriques se confondent géométriquement en une seule, et donnent lieu à la construction d'un même cube, comme l'analogie l'exige, d’après ce qui a lieu pour le carré.

Les deux racines négatives de [A], numériquement comprises entre à et c, et les deux racines positives de [A'] comprises entre « et », quand les unes ou les autres existent, ou quand toutes existent, sont géométriquement les analogues des racines de l’équaton [a”]. Les unes sont algébriquement associées, les

autres algébriquement disjointes, sans qu'il y ait à

cela aucune raison prise dans la nature des constructions géométriques correspondantes, ou plutôt con-

trairement aux analogies géométriques.

45. Nous allons passer à des problèmes d’une autre famille; et d'abord nous supposerons que, par un point "2 (Jig. 3), pris dans l’espace angulaire droit AOB, on demande de mener une droite AmB, de facon que le triangle AOB ait une aire donnée À.

Désignons par x, y les côtés cherchés OA, OB, et par a, b les droites mg, mp respectivement parallèles à OA, OB : puisque le point » est donné, les longueurs a, d sont censées données, et l'on a, à cause de la similitude des triangles rectangles BOA, Bgm, la proportion

Fixi:y—0bia,.

ou l'équation équivalente

bx

——— ee

= La condition du probleme fournit d’ailleurs l’équation

UE; qui devient, par la substitution de la valeur de y, bx° nan à

et d’où l’on tire en résolvant IE VE Tab).

Ces racines sont toutes deux positives, quand elles.

sont réelles, où quand le triangle demandé est possible; et elles correspondent à deux solutions géométriques de la question, indiquées sur la figure par les lignes AmnB, AmB'.

Mais on pourrait supposer aussi que les droites rectangulaires OA, OB sont prolongées mdéfiniment de part et d'autre du point O (Jig. 4); et que le triangle rectangle dont on donne l’aire, ayant toujours pour hypoténuse une droite assujettie à passer par le point 7», a pour côtés de l'angle droit l’une des droites OA, OB et le prolongement de l’autre. Soit, par exemple, A'OB/ un triangle déterminé par ces conditions : en désignant par x, y les lignes inconnues OA", OB, la

similitude des triangles B’OA", B'gm donnera la pro-

portion Donne, ou l'équation ar | 4 a+x?

; 3 bx?

, , È LR — 2 d'ou l’on üre au !

k ÉTET EU = AVE ab)

L'une des racines est positive et correspond à la solution géométrique OA"; l’autre est négative et correspond à la solution géométrique OA". A cette valeur négative de x correspond une valeur négative de y, représentée sur la figure par la ligne OB". Ainsi le renversement des signes, pour chacune des grandeurs

æ, y, correspond bien à un renversement de direc-

üon (22). Cela posé, et puisque les valeurs positives de x avaient été primitivement comptées de O en A, il convient de changer le signe de x dans l'équation écrite en dernier lieu, de manière à donner à OA! le même signe qu à OA, OA’, et à OA" un signe con-

traire. Au moyen de cela, le système des deux équa-

tions bx*? À sh, Û bx° : f D, = #?, [an

sera propre à représenter le système des solutions que comporte le problème proposé, par suite de l'exten-

sion analogique qu'il a reçue.

A6. Supposons maintenant que le problème consiste à mener par le point "2 { fig. 3) la droite AB de manière que la somme des côtés OA, OB, qui comprennent l'angle droit du triangle rectangle AOB ait une grandeur donnée z. Il est visible que ce problème est parfaitement analogue à celui du numéro précédent, tellement que les mêmes figures peuvent servir pour l’un et pour l’autre. Ou le problème sera impossible, dans les termes mêmes de l’énoncé, ou il admettra deux solutions AmB, AmB!. Si l’on modifie l'énoncé, en admettant que le triangle rectangle puisse être formé, non-seulement par les droites OA, OB, mais par leurs prolongements, le problème admettra en

outre deux autres solutions toujours possibles »2B"A",

mAB" (fig. 4). Pour réunir algébriquement ces quatre solutions, il faut embrasser le système des trois équations du second degré

b += h, [e] bx TL — 0 rl à [e"]

Les deux racines de la première, quand elles sont réelles, sont aussi positives et fournissent les solutions AmB, AmB'; la seconde a une racine négative qui donne la solution 7#B/A!; enfin la troisième équation a une racine positive, plus petite que a et qui correspond à la solution #A"B".

En outre, l'équation [c] a une racine positive, et l'équation [c”] admet une seconde racine positive plus grande que a; mais ces deux racines sont étrangères à la solution du problème proposé. Elles répondent à un autre problème qui consiste à mener par le point », dans l'angle AOB , une droite AmB, de telle manière que la différence des côtés de l’angle droit OA, OB ait une longueur donnée #; et le problème ainsi posé a ses deux solutions algébriquement disjointes, compli-

quées chacune algébriquement avec l’une des solutions d’un problème distinct.

47. Au lieu d'assujettir la somme des côtés OA, OB du triangle rectangle à avoir une longueur donnée,

on peut assujettir l'hypoténuse AB à avoir la lon-

gueur # : ce qui reyiendra, en vertu du théorème de Pythagore, à assujettir la somme des carrés des côtés à égaler un carré donné #. Les mêmes figures serviront pour ce problème comme pour ceux des numéros précédents : le même type représentera un même système de solutions, de manière à rendre manifeste la parfaite analogie des conditions essentielles. Or, tandis que pour embrasser le système des quatre solutions , il fallait au n° 45 deux équations du second degré, au n° 46, trois équations du même degré compliquées de deux racines étrangères, maintenant

il suffira d’une seule équation du quatrième degré r?

CR tra a — #, laquelle est entièrement débarrassée de racines étran-

gères.

48. A peine est-il besoin d'indiquer que, si la condition du problème était d'assujettir la somme des cubes construits sur les côtés OA, OB comme arêtes, à égaler un cube donné #, le même type de solutions subsistant, il faudrait de nouveau, pour embrasser le système des quatre solutions que ce type comprend,

recourir à trois équations distinctes

F5 br in, 2 a 4 : Pr

et que les solutions du problème proposé se irouveraient derechef associées algébriquement aux solutions d’un autre problème, consistant à assujettir, non plus la somme, mais la différence des cubes construits sur les côtés OA, OB, à égaler le cube #. Généralement on voit que selon qu'une certaine puissance arithmétique des nombres qui mesurent les longueurs des côtés, a pour exposant un nombre pair ou impair, cette circonstance arithmétique qui ne change pas essentiellement la nature du problème, qui ne lui fait ni acquérir ni perdre des solutions, qui n'empêche pas le système des solutions d’avoir le même schème ou type figuratif, mais qui se lie très-directement à l'algebre par son influence sur le signe de l'expression algébrique de la puissance, est cause que des solutions sgéométriquement analogues sont tantôt algébriquement associées, tantôt algébriquement disjointes, tantôt compliquées et tantôt débarrassées des solutions d’un autre problème dont le type géométrique

est différent.

A9. Pour mieux éclaircir encore ce point capital, reprenons les mêmes questions d’un autre point de vue. Si l’on mène (fig. 5) les hypoténuses de tous les triangles rectangles ayant leur angle droit en O, les côtés qui comprennent l'angle droit dirigés suivant les droites OA, OB, et leur aire égale à Æ, toutes ces hy-

poténuses, en nombre infini, toucheront une certaine

courbe MN, convexe vers les droites OA, OB, ou représenteront le système des tangentes, en nombre infini, que l’on peut mener à cette courbe. Deux tangentes quelconques, telles que AB, AB, se couperont en un point 72; et réciproquement, d’un point »2 quelconque, pourvu quil tombe entre la courbe MN et les droites OA, OB, indéfiniment prolongées à partir du pont O, on pourra mener à cette courbe tracée préalablement deux tangentes AB, AmB! : en sorte que le problème de mener par ce point une droite AB, de manière que le triangle AOB ait l'aire À, reviendra au problème de mener par le point une droite qui touche la courbe MN, si déjà cette courbe est tracée. Il faut remarquer que la courbe MN ne rencontrera jamais les droites OA, OB, prolongées indéfiniment, mais qu'elle aura ces droites pour asymptotes ; c'est-à-dire qu à mesure qu'elle se prolongera, sa tangente tendra de plus en plus à coïncider avec la ligne OA ou avec la ligne OB, sans que la coïncidence soit jamais possible.

Si l’on répète la même construction dans chacun des trois angles droits adjacents à l'angle AOB, on construira trois autres courbes M!N', MN", MN, parfaitement symétriques avec MN; et du point "», ou même de tout autre point compris dans l'espace angulaire AOB, on pourra toujours mener une tangente et une seule à la courbe M'N', une tangente et une seule à la courbe M''N/'; on n'en pourra mener

aucune à la courbe M'N”. Voilà pourquoi le problème du n° 45 peut avoir les quatre solutions dont le système est représenté sur la /ig. 4, ou ne conserver que les deux solutions indiquées en dernier lieu. Remarquons maintenant que ce n'est point là l’unique définition géométrique que l'on puisse donner de la courbe MN et de ses symétriques. Par exemple, elle jouit de cette propriété remarquable, que le point # où elle est touchée par l’une quelconque de ses tangentes AB, est précisément le milieu de la droite AB, et cette propriété même rentre dans une autre propriété plus générale qui consiste en ce que, si l'on mène à la tangente quelconque AB (fig. 6) des parallèles rs, uv, etc., on a rr—5s", un —yv, et ainsi de suite : ce qui donne un moyen facile d’avoir des points de la courbe en tel nombre qu’on veut, quand on en connait un seul. Or, l’un des points de la courbe, savoir le point S (/ig. 7) où elle coupe une droite OS également inclinée sur chacune des asymptotes, est facile à trouver; car, à cause de la symétrie de la figure, on voit que chacun des triangles OSI, OSK est rectangle en S et isoscèle ; de plus, l’aire de chacun de ces triangles est égale à 4; done OS —4. La propriété géométrique que l’on vient d'indiquer, aussi bien que celle qui nous a servi de point de départ et qui se rattache à l'énoncé du problème du n° 45, donne la définition ou la construction de chacune des courbes MN, M'N', M'N', MN", prise isolé-

Tankirg

4) Î, J UALE/ /}£ -/T} CID

UunR. gi

SATHEMATICS Liika:

ment et indépendamment des trois autres. Il n’en résulte pas une association de la courbe MN avec la courbe M'N' plutôt qu'avec MN” ou avec MN’; mais, dans l’infinie multitude des propriétés géométriques dont jouit la courbe que nous considérons, et qui peuvent servir à la définir ou à la construire, il en est qui détermineront une certaine association.

Par exemple, si, après avoir prolongé indéfiniment

de part et d'autre du point O la droite OS, on prend OF—OF— #12,

la courbe MN jouit de cette propriété qu'en chaque point # l’excès de la ligne 4° sur la ligne #F est constant et égal à 20S ou à 24. Pour chaque point de la

courbe MN", c'est l'excès de la distance au point F sur la distance au point F', qui a cette valeur con-

stante. Il existe donc une liaison géométrique entre les courbes MN, MN", qui fait qu'on peut passer de l'une à l’autre par une simple inversion d'ordre dans la soustraction, et quon peut les regarder comme deux branches de la même ligne, lorsqu'on définit la ligne par cette condition que la différence des distances aux points F, F'soit constante, sans rien spécifier sur le sens de la soustraction. Une semblable liaison existe entre M'N', M’/N/".

Enfin , tandis que le passage d’une courbe à l’autre par un renversement de l’ordre des soustractions