Discutons du même point de vue les trois pro

blèmes des n° 46, 47 et 48; et d’abord, pour saisir à la fois ce que ces trois problèmes ont de commun, concevons que l'on mêne (fig. 8) les hypoténuses de tous les triangles rectangles ayant leur angle droit en O, les côtés de l'angle droit dirigés suivant les droites OA, OB, et la somme des #7” puissances de ces'côtés égale à #"* En donnant successivement à l'exposant » les valeurs 4, 2, 3, on se placera dans les hypothèses qui correspondent à chacun des problèmes précités. Quel que soit d’ailleurs le nombre entier et positif qu'on prend pour l'exposant x, ces hypoténuses, en nombre infini, touchent une certaine courbe MN, convexe du côté des droites OA, OB, comme la courbe MN dont il s'agissait au numéro précédent, mais qui, au lieu d’avoir pour asymptotes les droites OA, OB, vient toucher ces droites en deux points M, N, tels que OM—ON—, et se termine là; puisque, dans les termes de l'énoncé, ni OA ni OB ne peuvent surpasser À. En répétant la même construction dans chacun des trois angles droits adjacents à AOB, on construit trois autres courbes MN', NM’, MN, parfaitement symétriques avec MN. Comme dans l'exemple du numéro précédent, et par la même raïson, d’un point "7 quelconque situé dans l'angle AOB, on peut toujours mener une tangente et une seule à MN’, une tangente et une seule à MN; on ne peut jamais mener de tangente à M'N'; enfin, l'on peut

mener deux tangentes à MN ou l’on n'en peut point

mener, suivant que 72 tombe dans l'espace MON ou hors de cet espace. On retrouve ainsi le système des quatre solutions indiquées sur la /ig. 4.

iemes

Si 4" devait égaler, non plus la somme des 2°" puissances des côtés OA, OB, mais leur différence, la courbe MN se trouverait remplacée par deux courbes My, Nv, qui viennent toucher aux points M, N, les droites OB, OA, pour se prolonger indéfiniment, l’une dans le sens Mu, l’autre dans le sens Nv, et qui se rapportent , la première au cas où OA surpasse OB, la seconde au cas inverse où OB surpasse OA. Apres qu'on a effectué symétriquement la même construction par rapport aux trois angles droits adjacents à AOB, on a le système des lignes ponctuées de la figure, qui viennent se raccorder au système des lignes pleines précédemment tracées : le rôle que jouent les lignes pleines relativement aux problèmes des n° 46 et suivants , étant celui que jouent les lignes ponctuées relativement à des problèmes analogues, dans lesquels il

s'agirait de différences au lieu de sommes.

51. Lorsqu on fait l'exposant z égal à l'unité, ou lorsque c'est la somme des côtés mêmes OA, OB, que l’on assujettit à rester constante, la courbe MN ( fig. 9) n’a pas seulement la propriété géométrique au moyen de laquelle on vient de la définir ou de la construire. Menons la droite OF bissectrice de l’angle MON, la droite DD’ perpendiculaire à OF, et la droite MFN

parallèle à DD, en sorte qu'on ait DUO — du :

2/2 la courbe MSN jouit de la propriété d'avoir tous ses points à égales distances de la droite DD' et du point F.

Ceite propriété géométrique, ou une foule d’autres qui s’y lient, peuvent, aussi bien que la propriété d’où nous sommes partis, servir à définir ou à construire la courbe MN. Or, il faut remarquer que la propriété citée en dernier lieu n'appartient pas seulement à la ligne pleine MN, mais aux lignes ponctuées My’, Ny”' : de telle façon que ces lignes ponctuées et cette ligne pleine, qui n'étaient qu'indirectement liées à la faveur d’une certaine analogie , dans le premier mode de définition et de construction, sont intimement unies, ne forment manifestement qu'une seule et même ligne, lorsqu'on part de l’autre propriété pour les définir et pour les construire.

En partant de cette propriété, on ne voit pas bien pourquoi les lignes 4/MNy/”, W''M'N'y ne devraient pas être réputées former deux branches d’une même ligne, avec autant de fondement que les lignes MN, MN” de la fig. 7. Mais, tandis que la section d’une surface conique par un plan donnait à la fois les deux lignes MN, M'N” de la fig. 7, la section de la même surface par un autre plan convenablement mené donnera la ligne MN” de la fig. 9 (ligne dans la-

quelle le lecteur a déjà dû reconnaitre une parabole), sans y associer la ligne wM'N y, ni aucune autre. C’est avec ce dernier mode de génération géométrique des courbes considérées jusqu'ici que l’algebre s'accorde généralement; et voilà pourquoi le système des quatre solutions du problème du n° 46 ne peut être embrassé qu’au moyen du système de trois équations algébriques correspondant aux trois paraboles WMNy”, uMN//', WM'Ny, et se complique dans ces équations de solutions étrangères, appartenant à d’autres problèmes qui n’ont avec le problème pro-

posé qu'une liaison indirecte.

52. Lorsqu'on fait l'exposant n égal à 2, c'est-àdire lorsqu'on assujettit à rester constante la somme des carrés des côtés OA, OB (ou, ce qui revient au même , l'hypoténuse AB), la courbe MN (fig. 8) est encore susceptible de se définir géométriquement d’une autre manière. Pour nous faire une idée de ce mode de définition, considérons d’abord une courbe quelconque ab (fig. 10), et imaginons qu'en chaque

ll, etc., on mène une normale à la

point nm, m, m courbe, c'est-à-dire une perpendiculaire à la droite qui touche la courbe en ce point : le système de toutes ces normales, en nombre infini, représentera le système des tangentes d'une autre courbe «8, que l’on nomme la développée de la courbe «b. Par opposition,

ab est nommée developpante de la courbe af; et ces

APPLIQUÉE A LA GÉOMÉTRIE. 121 dénominations proviennent de ce que la courbe ab peut être censée décrite par l'extrémité a d’un fil primitivement enroulé sur la courbe af, et qui se déroulerait ou se développerait progressivement. La courbe plane ab n'a qu’une développée «8 comprise dans le même plan; mais à la courbe 48 correspondent une infinité de développantes, puisqu'on peut prendre pour point décrivant de la développante un point quelconque appartenant au prolongement rectiligne et in-

défini du fil enroulé sur la développée. | Ceci expliqué, supposons que la surface conique, dont la section, par des plans menés convenablement, nous a déja donné l’hyperbole et la parabole, soit coupée par un autre plan de manière à donner pour intersection une courbe ovale abcd (fig. 11), symétrique par rapport à deux axes rectangulaires ac, bd, dont la différence sera supposée égale à la ligne 4. Cette courbe, que l’on nomme e/lipse, a pour développée une autre courbe 4fByà, très-ressemblante au système des lignes pleines de la Jig. 8; et en effet, si l'on fait croître à la fois indéfiniment les deux axes de l'ellipse, de manière que leur différence reste constante et égale à Æ, la courbe représentée par le systéme des lignes pleines de la jig. 8, pour le cas de l'exposant x égal à 2, doit être considérée comme la limite dont les développées 48Y3, en se modifiant

graduellement, s’approchent sans cesse *.

* En ce sens , bien que le cercle, à proprement parler, n’ait pas

Quelque détournée que cette définition paraisse, elle n'en est pas moins rigoureuse et caractéristique ; elle établit entre les quatre lignes pleines de la fig. 8 une association géométrique, qui fait que ces quatre lignes doivent être considérées comme autant de portions d'une même courbe, tandis qu'elle les sépare du système des lignes ponctuées : celui-ci se décomposant à son tour en deux systèmes dont chacun représente la développée d’une hyperbole équilatère, savoir le système des lignes Mu, Mu’, Mu, Mu”, qui constituent la développée des deux branches d'une hyperbole équilatère ayant ses sommets sur les milieux des droites OM, OM’, et le système des lignes Nv, Nv”, NY, Ny', où l’on retrouve la développée d'une autre hyperbole équilatèere ayant ses sommets sur les milieux des droites ON, ON.

Nous sommes déjà habitués à voir l'algèbre et la géométrie se correspondre, dans cet ordre de faits géométriques qui se rattachent à la construction d'une courbe au moyen de l'intersection d’un cône et d'un plan : cette correspondance se soutient ici,

et le fait de l'association des quatre lignes planes

de développée, et fasse en cela exception aux autres courbes, puisque toutes ses normales se coupent en un même point qui est le centre du cercle, on peut dire qu'un cercle de rayon infini a pour développée la courbe représentée par le système des lignes pleines de la /ig. 8, ou qu’un cercle de rayon fini a une développée

infmiment petite, semblable à cette courbe.

APPLIQUÉE A LA GÉOMÉTRIE. Es

de ja /i3. 8, lorsqu'on en rattache la construction à celle des développées des sections coniques, coïncide avec l’association algébrique des quatre solutions du problème du n° #7, données par les racines d’une

seule équation du quatrième degré.

53. Pour le cas où l'on prendrait l'exposant 7 égal à 3, et à plus forte raison pour les cas où l'on prendrait l’exposant x égal à tout autre nombre plus grand que 3, nous ne connaissons plus aux courbes MN, Mu., etc., dont la fig. 8 offre le type générique, de propriétés géométriques autres que celle qui leur sert de définition au n° 50, et qui puissent en donner d'autres définitions distinctes, indépendantes de l’algebre, et néanmoins capables de reproduire les associations et les dissociations alternatives que nous présente l'algèbre en ce qui concerne les quatre solutions des problèmes des n° 45 et suivants. A la vérité, de ce que nous ne connaissons pas de telles propriétés, il y aurait témérité à conclure qu'il n’en existe point. Mais, en trouvàt-on de propres à relier géométriquement les lignes ponctuées et les lignes pleines pour n=3, à les séparer pour #—4, à les relier de nouveau pour 2—5, et ainsi de suite, la raison se refuse à admettre qu'on en trouverait indéfiniment, et pour tous les degrés, comme on en a trouvé pour l'hyperbole équilatère, pour la parabole, pour les développées des sections coniques.

Remarquons d’ailleurs que, dans les trois problèmes qui nous ont fait tomber sur ces courbes, nous assujettissons à rester constantes, d'abord l'aire des triangles considérés, puis la somme de leurs côtés, enfin leurs hypoténuses, c’est-à-dire des grandeurs mesurables par des nombres, mais dont l'existence est définie géométriquement, indépendamment de toute application de l’arithmétique à la géométrie, tellement qu’on pourrait à la rigueur s’en faire l'idée sans avoir l’idée de nombre. I} est donc tout simple que ces propriétés purement géométriques, ou susceptibles d’être définies par la pure géométrie, conduisent à des courbes douées de propriétés de même nature. Au contraire l’idée de la somme des dixièmes ou des onzièmes puissances des côtés d’un triangle, est une idée d’origine arithmétique, qui ne représenterait rien si l’on ne concevait préalablement les lonaueurs exprimées en nombres , et bien que la somme des troisièmes puissances représente une somme de volumes et corresponde en conséquence à une idée que l'on peut définir par la seule géométrie, comme

les aires, cette idée est étrangère à la géométrie plane.

54. Pour mettre en équations les problèmes des n® 45 et suivants, nous avons défini la position du point 2 sur le plan AOB (/ig. 3), en assignant les lignes Mq—a, Mmp—Ù, qui sont les distances de ce

point 72 à chacune des droites OB, OA. En général, il

faut deux grandeurs pour déterminer la position d’un point sur une surface plane où courbe; tandis qu'il n'en faut qu'une pour déterminer la position d’un point sur une ligne, l'époque ou la position d’un événement dans le temps (chap. HT); et tandis qu'il en faut trois pour déterminer la position d'un point dans l'espace. On énonce le même fait ( considéré en vue de la grandeur absolue au lieu de l'être en vue de la situation et de l’ordre), quand on dit que le temps et les lignes n'ont qu'une dimension; que le plan et les surfaces quelconques ont deux dimensions; que l’espace a trois dimensions. Les deux grandeurs qui fixent la position d’un point sur une surface, les trois grandeurs qui fixent la position d'un point dans l’espace se nomment en général les coordonnées de ce point.

La définition d’une courbe (que nous supposerons plane, pour plus de simplicité ) implique nécessairement l'idée d’une propriété commune à tous ses points, et cette propriété doit pouvoir se traduire dans une certaine relation entre les coordonnées des points de la courbe : relation en vertu de laquelle, si l’une des coordonnées était assignée arbitrairement, l’autre coordonnée serait déterminée explicitement ou implicitement. Supposons cette relation susceptible de s'exprimer par une équation algébrique, et nous aurons l’idée de l'application de l’algebre à la géométrie

des courbes par la méthode des coordonnées : idée

126 CHAP. VIiib— DE L'ALGÈBRE

capitale, que l’on doit à Descartes, et qui a changé la face des mathématiques.

Par exemple, on peut prendre pour coordonnées des points situés dans le plan de la fig. 7, leurs distances aux deux pointsfixes F, F', dont l'intervalle FF— 24 V2; et si l’on désigne par x, y ces coordonnées susceptibles de varier d’un point à l’autre du plan, l'équation

x — y —=2k [el caractérise, à l'exclusion de tous les autres points du plan, tous les points qui appartiennent à la branche d’hyperbole équilatère MN; ce qu'on exprime encore en disant que c'est là l'équation de la branche d'hyperbole ou que Îa branche d'hyperbole est le /zeu géométrique de l'équation {e]. Pareiïllement l'équation

Y— x =? [e/| caractérise les points qui appartiennent à l’autre branche MN”, et cette branche est le lieu géométrique de l'équation {e/|.

On peut prendre pour coordonnées des points situés dans le plan de la /g. 9 : 1° la distance x au point fixe F, 2° la distance y à la droite DD, distance mesurée parallèlement à FF", dans le sens OF ou dans le sens OF", suivant qui s agit de points situés par rapport à DD’, dans la région où se trouve F ou dans celle où se trouve F’. L'équation extrêmement simple

caractérise alors exclusivement les points qui appar-

tiennent à la parabole W'MNV”'; et cette parabole est le

lieu géométrique de léquation qui précède.

55. Lorsqu'on prend, pour les coordonnées qui déterminent ou qui concourent à déterminer les positions d’une série de points situés dans un plan, leurs distances à des droites qui peuvent être menées arbitrairement dans le plan, et quon nomme axes des coordonnées, rien n'empêche de concevoir que les axes se déplacent en conservant des directions parallèles, de manière à faire croître ou décroiître de la même quantité toutes les coordonnées, suivant qu'elles appartiennent à des points situés d'un côté ou de l'autre, par rapport aux axes qui se déplacent. De cette simple remarque il est aisé de conclure, en se reportant à ce qui a été dit au chapitre IIT, que les coordonnées dont il s’agit rentrent dans la catégorie des grandeurs à origine arbitraire, et qui doivent être distinguées par l'opposition des signes H et —, selon quelles sont comptées dans un sens ou dans l’autre par rapport à l'origine arbitraire. Ainsi, pour reprendre le dernier exemple du numéro précédent, l'axe DD’ est l’origine arbitraire des coordonnées y, ou le lieu des points pour lesquels la coordonnée y est nulle; et par suite, si ces coordonnées sont prises positivement pour les points du plan situés par rapport à DD’ du même côté que F, elles devront être

prises négativement pour les points situés du même

côté que F’. Si l’on convient, pour plus de symétrie, que l’autre coordonnée x , au lieu de désigner la distance au point F, désignera la distance à l'axe FF, perpendiculaire à DD), et que cette coordonnée x sera prise positivement pour les points du plan situés par rapport à l'axe FF du même côté que D, il s'ensuivra, par la même raison , que la coordonnée x doit être prise négativement pour les points situés du même côté que D’. L’axe FF’ sera l’origine des coordonnées æ, comme l'axe DD’ est l’origine des coordonnées y. Si l'on mesure les coordonnées de chaque point sur les axes mêmes, ce qui revient (fig. 3) à substituer Op à sa parallèle 777, Og à sa parallèle »#p, le point O (/ig. 9) où les deux axes se coupent sera la commune origine des deux coordonnées ; et les quatre

combinaisons de signes PR rt OU) lot NS D caractériseront respectivement les points situés dans chacun des quatre espaces angulaires

FOD, FOD, FOD!, FOD'!.

On détermine avec une symétrie analogue les positions d’une série de poinis dans l’espace, si l’on prend pour les trois coordonnées les distances à trois plans perpendiculaires entre eux, et d'ailleurs menés d’une manière quelconque. L'opposition de signes des coordonnées indique de même que le point est situé d’un

côté ou de l’autre du plan pris arbitrairement pour

origine de ces coordonnées; et chaque point de l’espace est déterminé sans ambiguïté quand on assigne à la fois la valeur numérique et le signe de chacune

de ses trois coordonnées.

56. Tout cela posé, et dans le but de définir d'une maniere uniforme, par des équations entre leurs coordonnées, toutes les courbes MN dont il a été question aux n° 49 et suivants, prenons pour coordonnées, que nous appellerons x et y, les distances aux droites OA, OB, qui devront être censées prolongées chacune indéfiniment de part et d'autre de l'origine O.

La courbe MN de la jig. 7, qui a pour asymptotes les droites OA, OB, et qu'on nomme, avons-nous dit, hyperbole équilatère, aura alors pour équation

LV — 9 ; et en vertu de cette équation, à des valeurs de x numériquement égales et opposées de signes correspondront des valeurs de y pareillement égales en valeur numérique et de signes contraires : en sorte que l'équation précédente associera les deux branches symétriques MN, MN’; tandis que les deux branches M'N', M''N/' seront associées en vertu d’une

équation analogue