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commune à ces deux branches, Cela cadre et doit

nécessairement cadrer avec le mode de groupement algébrique des quatre solutions du problème du n° A5. C'est le même fait algébrique envisagé d’un autre point de vue et d’un point de vue plus général, comme on peut le démontrer et comme nous le démontrerons plus loin. Ce qui doit nous occuper en ce moment, c'est la circonstance très-digne de remarque, que la définition algébrique de la courbe, par une équation entre des coordonnées rectangulaires, cadre avec la construction géométrique de la courbe, au moyen de l'intersection d’une surface conique et d’un plan : l'équation associant et séparant les mêmes branches que le mode de construction associe et sépare; tandis que, si l'on part de constructions différentes (49), ou si l’on emploie pour définir la courbe les équations [e], [e'] du n° 54, entre des coordonnées d'espèce différente, les mêmes associations ou dissociations n'ont plus lieu. Dans le système de coordonnées rectangulaires dont nous faisons usage 1ci, la courbe MN de la 2. 9,

qui porte le nom de parabole (51), a pour équation

Vr + vr= VE, [F1 et l'équation, conservée sous cette forme , n’appartient effectivement qu à la portion MN de la parabole : les portions My’, Nv"” ont pour équations respectives

— Va + y = VE, Ki Ve — Vyr = VE. Mad

Mais , lorsqu'on fait évanouir les radicaux, afin de rendre l'équation rationnelle et de pouvoir la ré- ’ . \ ; A

soudre algébriquement par rapport à l’une ou à l'autre des variables x, y, chacune des trois équa-

tions [f], [/"], [/"] conduit à la même équation rationnelle

YA GHN +0; [g tandis que les courbes MN’, M'N', M'N ont pour équa-

tions respectives

V—x + Vr = VE,

V—xr + V—r— vf,

Var + V—yr= VF; lesquelles conduisent à des équations rationnelles distinctes les unes des autres et distinctes de l’équa-

tion [g], savoir

(+) HA (x 7) +0, [E

(ay }+UA(x+r) +È—0, [g”1

(G+r}—UA(x—y) +0. [81

Chacune de ces équations rationnelles appartient au

système d'une ligne pleine et de deux lignes ponctuées, formant ensemble une parabole.

Au contraire, le système des quatre lignes plemes

de la fig. 8, pour le cas traité au n° 52, c’est-à-dire

lorsqu'on fait l'exposant z égal à 2, est donné par la

même équation algébrique

Ve + = VE; [F]

tandis que le double système de lignes ponctuées est

donné par les deux équations

— Ve + \r = Ve, [F'

Ve — = VE; [F"]

et il arrive que ces trois équations irrationnelles con-

duisent à trois équations rationnelles distinctes, tan-

dis que leurs analogues [ f], [f"], [f"] conduisaient à la même équation rationnelle.

En général, l'exposant 7 désignant un nombre positif quelconque, si ce nombre est pair, le système des quatre lignes pleines est donné par la même équation algébrique

VENU, et le double système des lignes ponctuées est donné par le système des deux équations NEUVE, der ie nur re “7 chacune de ces trois équations irrationnelles conduisant à des équations rationnelles distinctes. Au contraire, pour des valeurs impaires du nombre », ces équations irrationnelles appartiennent respectivement à la portion de ligne pleine MN, aux portions de lignes ponctuées Mu’, Nv”, à l'exclusion des autres lignes pleines ou ponctuées de la figure, et elles conduisent à la même équation rationnelle. Toutes ces courbes de

même famille, ayant entre elles une étroite analogie,

eu égard au mode de description qui leur est commun, sont donc alternativement associées et dissociées dans leurs équations algébriques entre coordonnées rectangulaires, par suite d’un fait algébrique, lié au caractère arithmétique de la parité ou de l'imparité du nombre z : et cependant on peut prendre le nombre x si grand, que les portions de lignes MN, Mu', etc., diffèrent d’aussi peu qu’on voudra, dans le passage de la valeur x à la valeur consécutive 71 ; en sorte qu'il n'y a évidemment aucune raison géométrique pour que, dans ce passage, le mode de groupement des branches ou portions de lignes soit brusquement interverti. Il y a donc, quand on embrasse d'ensemble la série de ces courbes, un défaut général de correspondance entre la géométrie et l'algèbre, qui contraste avec la correspondance que nous observons entre l'algèbre et un ordre particulier de faits géométriques, lorsque les courbes dont nous venons d'indiquer le mode général de construction, celui qui les groupe en une même famille, peuvent accidentellement être construites et définies géométriquement d'une autre manière en tant que sections d’un cône par un plan, ou en tant que développées des sections coniques.

57. Enfin, pour prendre un dernier exemple, supposons que la condition

OA OBE= He

qui nous a servi (50) à construire les courbes dont la Jig. 8 offre le type générique, soit remplacée par

celle-ci

1 1 Î où Top #

Il n'est pas difficile de voir que cette construction nous donnera une courbe MN (fig. 12), tournant sa concavité vers le point O, rencontrant les droites OB, OA, en deux points M, N, situés à des distances de O égales à 4, et ayant aux points N, M ses tangentes respectivement perpendiculaires aux droites OA, OB. Si la condition qui précède était remplacée successivement par les deux suivantes

ARR OA" ONU 1 1 Î

OB Où 4?

celles-ci meneraient à la construction de deux courbes indéfinies Ny, Mu, tournant vers le point O leur convexité, et ayant aux points N, M, les mêmes tangentes que la courbe MN. Enfin, si l’on répète symétriquement les mêmes constructions pour chacun des trois angles droits adjacents à AOB, on aura le système de lignes pleines et de lignes ponctuées représentées sur la fig. 12.

Dans le système de coordonnées dont nous nous servons, pour des valeurs paires de l’exposant »,

l'équation

VENT =NF [A]

donne le système des quatre lignes pleines, tandis que les deux équations VRP VE, w VE PV, fa"] représentent le double système de lignes ponctuées ; et ces équations irrationnelles conduisent chacune à une équation rationnelle distincte. Au contraire, pour des valeurs impaires de z, elles conduisent à la même équation rationnelle, et elles appartiennent respectivement à la portion de ligne pleine MN, aux portions de lignes ponctuées Mu', Ny”, à l'exclusion des autres lignes pleines et ponctuées de la figure, lesquelles se groupent en trois autres systèmes symétriques, auxquels correspondent des équations rationnelles distinctes. De là des remarques tout à fait semblables aux remarques générales qui terminent le numéro précédent. |

98. Le cas de 2 —1 échappe aux formules que l’on vient de donner; et, en effet, il est très-aisé de voir que toutes les hypoténuses des triangles tels que AOB, pour lesquels on a

oui ot

RTS rt 2,

OA OB se coupent en un point dont les distances aux droites OA, OB, sont égales à 4. Le système de ces hypoténuses ne peut donc pas représenter le système des tangentes d’une courbe MN (fig. 12).

Quand on prend #2 —?2, les signes radicaux disparaissent immédiatement des équations [2], [4'], [4"

qui deviennent alors

LH y =, — + y —=#, L— y = Re.

La première représente le cercle tracé en plein sur la Jig. 13; chacune des deux autres appartient au système des deux branches d’une hyperbole équilatère, tracées en lignes ponctuées sur la même figure. Nous retrouvons donc encore ici les sections du cône par un plan : car le cercle est aussi une section conique, et même celle que l’on peut considérer comme engendrant toutes les autres, en ce sens qu'ellé dirige le tracé de la surface du cône. De même qu'à un certain point de vue (52) le cercle est une espèce du genre des ellipses, de même, eu égard au mode de définition ou de description dont il s'agit maintenant, le cercle est une espèce du genre de courbes dont la fig. 12 est censée représenter le type générique.

Pour ce cercle que nous savons définir et décrire si simplement, indépendamment du mode de définition ou de description qui le lie à ses congénères, nous trouvons la correspondance déja si souvent signalée entre l'expression algébrique des courbes par des équations entre coordonnées rectangulaires, et leur con-

struction géométrique , en tant que cette construction

se rattache à celle du cône, et par là même à la description élémentaire du cercle. Nous pouvons même déjà pressentir (ce qui sera mis plus tard dans tout son jour) que cet accord pour le cercle est le fait fondamental qui rend raison d'un pareil accord pour les sections coniques et pour les courbes qui en dérivent,

telles que les développées dont il a été question au

DE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES LIAISONS ENTRE LES GRANDEURS CONTINUES.— NOTIONS SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS.

99. En imaginant de définir une courbe par une équation entre deux coordonnées variables (54), Descartes avait en vue l'avancement de la géométrie : il comprenait l'avantage de substituer une méthode uniforme de combinaison et de déduction, fondée sur le mécanisme de la langue algébrique, à ces constructions variées, ingénieuses, souvent plus directement appropriées à la démonstration de certaines vérités géométriques, mais qui, ne procédant point d'une régle fixe, ne semblaient pouvoir être trouvées que par une sorte de divination et retenues que par un effort de mémoire. En un mot, il voulait appliquer l’algebre à la géométrie; mais il est clair que par cela même il donnait aussi une méthode uniforme pour appliquer la géométrie à l’algébre, et, par exemple, pour construire par l'intersection de certaines lignes que l’on sait décrire d'un mouvement continu, les racines d'une équation, en évitant de les calculer nu-

mériquement par voie de tätonnements et d'approxi-

mations laborieuses. Aussi, à l'apparition du livre de Descartes, les géomètres s'occupèrent-ils beaucoup de ce genre de constructions, que le perfectionnement des méthodes de calcul a fait abandonner plus tard.

Ce n'est point là, en effet, que peut se trouver l'utilité de l'application de la géométrie à l’algébre. En principe , il n'y a jamais d’avantage à mettre une opération graphique, d’une exactitude limitée par l'imperfection de nos sens et de nos instruments, à la place d’une opération arithmétique qui donne avec une précision rigoureuse ou avec une approximation indéfinie les valeurs que l’on cherche. La véritable utilité de la géométrie, envisagée dans son application à la théorie abstraite des grandeurs continues, consiste à fournir une représentation sensible (et la seule possible) de la loi de continuité dans la variation des grandeurs. C’est une des raisons pour lesquelles les anciens, en traitant de la logistique, et notamment Euclide, dans les livres VIIT, IX et X de ses Éléments, représentent toujours les grandeurs par des portions de lignes droites. C’est aussi pour cela que , lorsque nous avons voulu , dans le chapitre IE, donner une idée générale des rapports de situation et des grandeurs à origine arbitraire, qui servent à fixer de tels rapports, nous avons été nécessairement amenés à employer le tracé d’une ligne comme signe gra-

phique, comme schème ou type figuratif sur lequel

140 CHAP. VII. — DE LA THÉORIE l'esprit pût s'appuyer, pour s'élever à la conception de ces rapports abstraits.

De même l’idée qu'avait eue Destartes, de définir algébriquement les courbes étudiées jusque-là par les géomètres, au moyen d’une équation entre les coordonnées de chaque point, mettait sur la voie d'appliquer réciproquement la géométrie à l’algeébre, en considérant les deux variables qu’une équation algébrique quelconque peut être censée renfermer, comme les coordonnées d’une ligne dont il est toujours possible de déterminer au moyen de l'équation même, par des procédés de calcul susceptibles d'une précision indéfinie, autant de points qu'on le juge convenable. La courbe n'est plus alors que le signe graphique et conventionnel de la loi algébrique qui lie les variables entre elles; mais ce signe conventionnel est merveilleusement adapté à la nature de la loi abstraite qu il représente, ainsi qu'aux besoins de notre esprit. Il permet de saisir immédiatement, dans une intuition sensible, des faits auxquels l'esprit n'’atteindrait qu'avec effort, s’il les envisageait, sans le secours du signe, dans toute leur généralité et leur abstraction ; et l'allure d'une courbe fait souvent voir d’un coup d'œil ce qu on ne mettrait que péniblement en évidence par la discussion algébrique de l'équation que la courbe

représente et dont elle est le lieu géométrique.