Tout système de coordonnées est-il également
propre à fournir une représentation graphique du lien abstrait qu’une équation algébrique établit entre des grandeurs variables? Non, évidemment; car, si l’on prenait, par exemple, pour coordonnées les distances +, y à deux points fixes (5/4), d’une part il arriverait que ces distances ne seraient pas susceptibles de valeurs négatives, et que par conséquent le lieu , V4 Gi EP 4 Q e e géométrique de l'équation ne conviendrait pas aux systèmes de valeurs négatives que les grandeurs x, y , , 3 peuvent comporter et comportent en général, quand elles rentrent dans la catégorie des grandeurs à origine arbitraire; d'autre part, si l’on désigne par 4 la valeur numérique de la distance des deux points fixes, tous les systèmes de valeurs de x, y, pour lesquelles
serait vérifiée l’une des inégalités
sn ON a mé Ce ES
n'auraient pas de points correspondants sur le plan de la figure, bien que de tels systèmes de valeurs ne fussent point incompatibles avec le lien algébrique que l'équation établit entre les grandeurs x, y. Le signe graphique de ce lien, dans le système de coordonnées dont nous parlons, outre qu'il exigerait le choix préalable et absolument arbitraire de la distance #, ne serait donc pas adéquate à l’idée signifiée, en ce sens qu'il y aurait des impossibilités de construction et de représentation graphique, pour des systèmes de va-
leurs dont l'existence du lien abstrait n'exclut pas la
possibilité; et que tels ou tels systèmes également possibles pourraient ou ne pourraient pas se construire graphiquement, selon le choix arbitraire de la distance des points fixes.
Mais, sans insister sur cette discussion de détail, qui changerait d’un système de coordonnées à un autre, il y a une observation générale à faire, qui se lie à ce que nous avons déjà remarqué (5/4), à savoir que le nombre des dimensions de l'étendue est essentiellement le même que celui des coordonnées qu'il faut émployer, à l'effet de déterminer la situation d’un point dans cette étendue. Pour l'exactitude de la représentation graphique que nous cherchons, pour que le mode de représentation n'introduise rien d'étranger à la chose représentée, il ne suffit pas qu'à tous les systèmes [x, y] possibles et déterminés corresponde un point en vertu d'une construction possible et déterminée , 1l faut encore que l'étendue de l'indétermination du système corresponde d’une manière exacte à l'étendue de l'indétermination du point. Supposons en conséquence que l'on ne sache autre chose de la grandeur x, sinon qu elle doit tomber entre a et ax; que l’on ne sache autre chose de la grandeur y, sinon qu'elle doit tomber entre à et b 6 : il faut, pour la justesse de la représentation, que la portion du plan dans laquelle ces conditions assujettissent le point [x, »] à se trouver, dépende pour le eu, des grandeurs aet b,
mais ne dépende, pour l'étendue, que des grandeurs
a, B. Or, cette condition n'est satisfaite qu’autant que l'on prend pour les coordonnées x, y du point » (fig. 14) deux droites 72q, mp respectivement parallèles aux axes OX, OY ; et même, à moins de supposer ces axes rectangulaires, comme nous l'avons fait aux n® 55 et suivants, on troublera plus ou moins, dans la représentation graphique , la symétrie qui doit exister en général entre les systèmes dans lesquels les valeurs des grandeurs x, y ne diffèrent que par le signe, lorsque les variables x et y sont de la catégorie des grandeurs à origine arbitraire, comme on doit le supposer pourlaconstruction delathéorie del’algèbre(28). Par ce motif, et aussi afin de mettre plus de brièveté dans nos énoncés , nous opposerons toujours le système des coordonnées rectangulaires aux systèmes dans lesquels les coordonnées ne sont plus des droites mesurées parallèlement à des axes fixes : bien qu'il doive être entendu, une fois pour toutes , que les propriétés les plus essentielles du système des coordonnées rectangulaires continuent de subsister, lorsqu'on
inchne les axes sous un angle quelconque pe
* On peut concevoir que, pour marquer la position du point » (/ig. 14), on mesure d’abord sur axe OX la longueur Op=mq=x; et qu'ensuite, après avoir mené par le point p une parallèle à l'axe OY, on mesure sur cette parallèle, à partir du point p, la longueur pm=—7. C’est à ce mode de construction que se rapportent la dénomination d’abscisse, donnée à la ligne Op, et celle d’appli-
quée, dont on se servait autrefois pour désigner la ligne pm. Main-
GA. À cause des restrictions mêmes qu ils portent avec eux, les systèmes de coordonnées, que nous opposons à celui des coordonnées rectangulaires, se trouveront naturellement appropriés au mode de description de certaines lignes géométriques; et dès lors conviendront lorsqu'on voudra appliquer l'algèbre à la géométrie, dans le but d'étudier les propriétés de ces courbes. Mais quand on veut à l'inverse appliquer à l'algèbre des conceptions géométriques, représenter graphiquement des liens algébriques entre les grandeurs, le système des coordonnées rectangulaires est le seul qui convienne en général, parce qu'il est le seul qui n’introduise dans la représentation graphique aucune particularisation étrangère à la notion abstraite des grandeurs, prise avec la généralité qu'elle doit conserver dans les théories d'algebre. Toutes les remarques que nous aurons lieu de faire par la suite confirmeront ce principe, et tendront à établir que le choix du système des coordonnées rectangulaires ne tient point à une convention arbitraire, pas plus que le choix du carré pour unité de surface ne résulte d’une convention arbitraire. Ce ne sont point là, à propre-
ment parler, des conventions, mais des institutions
tenant la dénomination d’ordonnée a remplacé celle d’appliquée, tombée en desuétude. L'usage est de désigner par x celle des coordonnées que l’on qualifie d’abscisse, et par y celle que l’on
qualifie d’ordonnée.
pour lesquelles les vues de l'esprit ne font que s’accom-
moder aux conditions que dicte la nature des choses.
62. Ce qui s’est dit d'une équation entre deux variables, et de la représentation graphique d’un tel lien algébrique par le tracé d’une courbe sur un plan, s'appliquera, par une extension forcée, à une équation entre trois variables, dont le lieu géométrique est une surface décrite dans l’espace. Les mêmes raisons feront voir qu'il faut recourir au système de trois axes, non situés dans le même plan, passant par une origine commune , et prendre pour les trois coordonnées qui fixent la position d’un point dans l’espace les droites menées par ce point parallèlement à chacun des trois axes, jusqu'à la rencontre du plan qui comprend les deux autres axes. Pour plus de simplicité et de symétrie, il convient de prendre les trois axes rectangulaires, et c'est ce que nous ferons toujours par la suite, en opposant un pareil système de coordonnées à ceux dans lesquels les coordonnées ne sont plus des droites mesurées parallèlement à des axes fixes : ceux-ci pouvant être préférables lorsqu'il s’agit, à l'inverse, de se servir du calcul algébrique pour résoudre des problèmes de géométrie pure ou appliquée, des problèmes d'astronomie par exemple. Nous n'avons pas besoin d'insister ici davantage sur ces ex-
tensions analogiques.
