Non-seulement l’idée de Descartes était fe

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conde en conséquences importantes , soit qu'il s'agit de l’application de l'algèbre à la géométrie ou de celle de la géométrie à l'algèbre, mais elle contenait le germe d’une abstraction plus élevée, d'une théorie qui domine par sa généralité l'algèbre comme la géométrie.

En effet, nous concevons qu'une grandeur peut dépendre d'une autre, sans que la dépendance soit -de nature à s exprimer par une équation algébrique ou par une combinaison quelconque des signes de l’algébre. Si l'on fait rouler sur la droite OX ( fig. 15) le cercle OMNP, le point de la circonférence du cercle, qui était origmairement en contact avec la droite en O, se trouvera transporté en "2 lorsque le cercle, par suite de son mouvement de rotation , Sera venu toucher la droite en z; et la longueur de l’arc de cercle rt sera précisément égale à la longueur de la portion de droite Of sur laquelle tous les points de l'arc nt sont venus successivement s'appuyer. Quand le point de la circonférence de cercle, originairement en contact avec la droite en O, sera venu toucher de nouveau la droite au point R dont la distance au point O est égale à la circonférence du cercle, le point mobile que nous considérons aura décrit une courbe OQR à laquelle on donne le nom de cycloïde; et le tracé de cette courbe établira une dépendance entre l’abscisse Op—+, et l'ordonnée »7p— y : mais cette

dépendance ne pourra point s'exprimer par une équa-

tion algébrique entre les coordonnées x et y; ou, comme on dit, l'ordonnée y ne sera pas une fonction algébrique de labscisse x. Néanmoins y sera une fonction mathématique de x, en ce sens qu’on ne pourra assigner une valeur à + sans assigner implicitement une valeur à y, puisque y est liée à x en vertu de la loi du tracé de la courbe, loi dans Ia définition de laquelle n’entrent que des idées de géométrie abstraite et rigoureuse, sans aucun mélange de notions qui se rattacheraient aux propriétés physiques des corps et à des choses que l'expérience ne nous fait connaître qu'imparfaitement, à cause de l’imperfection de nos sens.

Imaginons un pendule qu'on écarte de la verticale et qu'on abandonne ensuite dans le vide à l’action continue et uniforme de la pesanteur : on conçoit une relation nécessaire entre le temps écoulé depuis l’origine du mouvement et l'angle que la tige du pendule fait à chaque instant avec la verticale, ce qu’on énonce en disant que l'angle est une fonction du temps; mais cette relation ne peut, ni s'exprimer par une équation algébrique, ni se définir simplement par une construction géométrique du genre de celle qui contient la définition de la cycloïde. Toutefois, ceux qui ont étudié la dynamique savent qu’on peut effectivement calculer, avec une approximation indéfinie, la valeur numérique de l'angle décrit pour chaque

instant, et pour chaque valeur de la longueur du pen-

1} NX

dule et de l'angle initial d'écart, en n'empruntant à l'expérience qu'une seule donnée, la mesure de l’espace que décrit pendant la première unité de temps un corps tombant librement dans le vide : de sorte que, si l’on se donne arbitrairement cet espace (comme on était censé, dans l'exemple tiré de la cycloide, se donner arbitrairement le rayon du cercle générateur), l'angle d'écart deviendra une fonction mathématique du temps, quoique ce lien mathématique ne puisse s'exprimer par une équation algébrique, ni se rattacher (autrement que d'une manière détournée et indirecte) à une construction dans laquelle n’entreraient que des éléments fournis par la géométrie pure.

On nomme en général fonctions #ranscendantes celles qui, sans pouvoir s'exprimer par une équation algébrique, sont susceptibles d’une définition mathématique quelconque; et nous donnerons par la suite beaucoup d'exemples de pareilles fonctions , dont les définitions n ont besoin de rien emprunter d’étranger à la théorie purement arithmétique des grandeurs.

Mais l'étude des phénomènes naturels, et surtout celle des phénomènes de la vie sociale nous montrent une foule de cas où deux grandeurs variables dépendent certainement l'une de l’autre, sont fonctions l’une de l'autre, sans qu'on puisse calculer l’une a priort au moyen de l’autre : soit parce qu en effet le lien qui les unit n'est pas susceptible d’une définition

rationnelle ou mathématique; soit parce que cette dé-

finition, quoique possible , nous est inconnue. Ainsi, la force élastique d’une vapeur, dans l'espace qu’elle sature, est une fonction de la température de l'espace; la température moyenne de chaque tranche d'une colonne atmosphérique est une fonction de la hauteur de la tranche au-dessus du niveau des mers; la consommation d’une denrée est une fonction du prix de revient; la durée de la vie moyenne, à partir de chaque âge , à une époque et dans une contrée déterminées, est une fonction de cet âge. De pareilles fonctions ne peuvent être données que par l’observation, et elles sont réputées connues lorsqu'on possède une table où se trouvent, d’une part des valeurs trèsvoisines et très-multipliées de l’une des grandeurs variables, d'autre part les valeurs correspondantes de la fonction qui en dépend, telles que les donnent des observations très-précises ou assez nombreuses pour que les erreurs qui les affectent isolément se compensent sensiblement dans les résultats moyens. On peut nommer les fonctions de cette catégorie fonctions emptriques , par opposition aux fonctions qui se définissent mathématiquement et dont il est possible d’assigner a priort les valeurs, par un calcul qui donne ces valeurs exactement ou avec une approximation illimitée. Il est clair que le mode de représentation graphique imaginé par Descartes s'applique aux fonctions empiriques comme à celles qui peuvent s'exprimer algé-

briquement ou qui sont mathématiquement définies

DA: is.

d'une manière quelconque, pourvu que les fonctions soient continues dans l’ensemble de leur cours : c’està-dire pourvu qu'on puisse en général, en assignant à l'une des variables des valeurs suffisamment rapprochées, faire tomber au-dessous de toute grandeur donnée la différence entre les valeurs correspondantes de la fonction qui en dépend; ce qui n’exclut pas l'apparition accidentelle de solutions de continuité, pour

certaines valeurs singulières de l’une des variables.

64. Or, par cela seul que des fonctions quelconques satisfont à la loi de continuité , elles jouissent de certaines propriétés générales qui sont d'une grande importance, tant pour la théorie abstraite du calcul que pour l'interprétation des phénomènes naturels *. Outre ces propriétés communes, il peut y en avoir d’autres qui appartiennent à certaines classes de fonctions, définies par des caractères généraux, indépendants de l'algèbre comme de la géométrie, tels que serait celui de croître sans cesse avec la variable dont elles dépendent, ou de reprendre périodiquement les mêmes valeurs pour des valeurs équidistantes de cette variable, ou d’être symétriques de part et d'autre d’une certaine origine. Dès lors on peut concevoir une théorie dont l’objet est la discussion des propriétés

générales des fonctions : et cette théorie constitue

* Voir notre Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du

calcul infinitésimal, tora. T1, n°5 et suivants.

une branche spéciale dés mathématiques, subsistant par elle-même, laquelle à la rigueur aurait pu former un corps de doctrine, quand même l'algèbre n’eût pas été précédemment trouvée; quand même on n'aurait pas pu se proposer d'en faire l'application à des fonctions algébriques. La théorie des fonctions, ainsi conçue, est évidemment redevable de ses développements à l'invention cartésienne qui a fourni un signe adéquate, par sa généralité et par ses autres propriétés caractéristiques, à l’idée-mère de cette théorie. Dés lors aussi nous devons considérer la théorie des grandeurs comme se ramifiant en deux autres : l'une, la théorie des fonctions, qui est absolument indépendante de l’arithmétique pure et des propriétés des nombres ; l’autre, la logistique(chap. ID), qui traite des propriétés des grandeurs en tant qu'elles procèdent des propriétés des nombres, ou qui étend aux grandeurs continues certaines notions d'arithmétique pure, certaines propriétés fondamentales des nombres, et qui donne ultérieurement naissance à

l'algèbre proprement dite.

65. C'est précisément dans la théorie des fonctions qu'on doit chercher la juste définition de ces liens de parenté entre divers problèmes dont la discussion à fait l'objet des deux précédents chapitres : liens qu'on ne peut plus confondre, d’après toutes les

explications que nous avons données, avec ceux qui

rassemblent algébriquement les diverses solutions d’un même problème ou de problèmes analogues. Ainsi, l'équation [c] du n° 37 devient

fa)+r=t, [a]

quand on désigne, d’une manière générale, par f(x) le temps que met à décrire l’espace rectiligne x, un corps dépourvu de vitesse initiale, sollicité par des forces et soumis à des résistances dont la loi est quelconque, dépendant de la constitution arbitraire du milieu dans lequel le corps se meut, susceptible ou non d'une expression algébrique ou de toute autre définition mathématique. De quelque manière que la fonction f(x) soit donnée, on la représentera par le tracé d'une courbe OMNP (fig. 17), ayant x pour abscisse et y —f{x) pour ordonnée, et n'étant assujettie en général qu'à trois conditions : 4° de passer par l’origine O; 2° d'avoir des ordonnées croissantes pour des valeurs croissantes de l’abscisse ; 3° de tourner sa concavité ou sa convexité vers l’axe OX, selon que le mouvement est accéléré ou retardé. Supposons-le accéléré, pour nous conformer à l’énoncé du n° 37, et menons la droite ON, de manière que le rapport des lignes Ov, Nv soit égal à 2 : puis, tracons une autre courbe Of, dont l’ordonnée en chaque point soit la somme des ordonnées de la courbe OMN et de la droite ON. Cette courbe Of sera telle que toute droite parallèle à OX et menée à une distance

de OX mesurée par la‘ligne OT—#, ne la coupera qu'en un point £. Si du point £ on abaisse l’ordonnée ts, l'abscisse Os sera la valeur unique de x déterminée par l'équation [a], que le tracé de la courbe OMN donne ainsi le moyen de résoudre graphiquement, quelle que soit la forme particulière et arbitraire de la fonction f.

Dans les mêmes circonstances, les problèmes des n® 38 et 59 ont respectivement pour équations —fa)+5=e me f@)—2=E à (1 Pour trouver la racine de [«], on tracera une courbe Or!vt! dont l’ordonnée soit égale à l'excès de l'ordonnée de la droite ON sur celle de la courbe OMNP. Cette ligne passera d’abord au-dessous de l'axe OX, aura sa tangente parallèle à OX en un point »' dont l’abscisse est la même que celle du pont M où la tangente à la courbe OMNP devient parallele à la droite ON. Elle coupera l'axe OX au point v, et poursuivra ensuite son cours indéfini audessus de l’axe. Si l’on prend OT—7, et que du point £’ où la droite Té£!, parallèle à OX, coupe la ligne que l’on vient de tracer, on abaisse l’ordonnée £'s', l'abscisse Os’ sera la racine de [4] : en sorte que le problème du n° 38, comme celui du n° 37, admettra toujours une solution et n’en admettra qu'une.

Coristruisons ensuite la courbe O!w", symétrique

de la précédente par rapport à l’axe OX : celle-ci sera propre à nous donner, par une pareille construction, la racine de l'équation [«4”] ou la solution du problème du n° 39. Or, il ressort de la figure, que le problème n'aura pas de solution pour des valeurs de £ plus grandes que mu, tandis qu'il en aura toujours deux pour des valeurs de / comprises entre 0 et cette limite supérieure. Voilà des caractères généraux qui distinguent essentiellement les problèmes des n° 37, 38 et 59, quelle que soit la fonction /, susceptible ou non d'une définition mathématique, et qui déterminent ce qu'on peut nommer, dans un sens purement logique , le degré des questions (41 ).

Si maintenant on prend pour f (x), comme dans les numéros cités, la fonction algébrique / ee il arrive que les deux lignes Of, Orn'vt' sont deux portions d'une même parabole, tandis que la ligne O"v”' est une portion d'une autre parabole dont le surplus est étranger à la figure et aux solutions des problèmes proposés. En conséquence, les équations [a], [a'] se trouvent associées algébriquement, et algébriquement séparées

de |[«”]. Au contraire, quand on prend pour f(x) la

3 € fonction algébrique V# , comme au n° AO, les équa-

tions | 4/|, [a”] etles courbes Orlyt!, Ond'w/' se trouvent algébriquement associées ; l'équation [ «| et la ligne Oz s en trouvent algébriquement isolées; mais ce sont là

des circonstances accidentelles et accessoires.

66. Le problème du n° 43 peut être énoncé de cette manière : Étant donnée une plaque d'épaisseur et de densité uniformes , sur l’une des faces de laquelle est tracé le rectangle ABCD ( Jig. 2), tracer un autre rectangle A'B'CD' ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux du premier rectangle et équidistants deux à deux, avec cette condition que les poids des deux portions de la plaque limitées par les deux périmètres rectangulaires tracés sur l’une des faces, soient entre eux dans un rapport donné. Or, si l’on suppose que la densité de la plaque n’est plus uniforme, qu’elle varie au contraire d’un point à l’autre d’une manière quelconque, il n'y aura rien de changé quant aux conditions essentielles du probleme, quant au nombre et aux genres de solutions qu'il comporte; une même courbe pourra servir de type aux constructions qui le résolvent graphiquement , et auxquelles il faut recourir pour le résoudre quand la loi de variation de la densité n admet pas de définition mathématique. On continuera de trouver au problème, ainsi généralisé, quatre solutions , dont deux toujours possibles, et les deux autres possibles ou impossibles, selon les valeurs numériques des données. Pareille chose se dira au sujet du problème du n° 44, que l’on peut généraliser de la même manière, en faisant intervenir la densité et en substituant les poids aux volumes. On trouvera encore six solutions, dont deux toujours possibles, et les qua-

tre autres n existant qu'à la faveur de certaines condi-

tions numériques. Si la loi d’après laquelle la densité varie peut s'exprimer algébriquement, la résolution du problème pourra se ramener à celle d'équations algébriques, en vertu desquelles les diverses solutions se trouveront groupées de la même maniere qu'elles le sont pour le cas de la densité constante, ou d’une manière différente, mais sans que ce groupement tienne à quelque chose d’essentiel et d’immuable d'une fonction à l'autre.

La fig. 4 continue d'offrir le type des quatre solutions du problème du n° 45, lorsqu'on en généralise l’énoncé, en supposant que le plan de la figure est la face d'une plaque mince où la densité varie d'un point à l’autre d’une manière quelconque, et quand on se propose de mener par le point 72 la droite AB, de manière que la portion triangulaire de la plaque, découpée suivant les droites AB, OA, OB, ait un poids donné. La même figure continue d'offrir le type des quatre solutions que conserve le problème du n° 46, quand la modification de l'énoncé consiste à supposer que les droites OA , OB sont les axes de deux barres cylindriques, à sections très-petites, dont la densité varie d’une section à l’autre suivant une loi quelconque; et quand la condition du problème est de mener par le point »2 la droite AB, de manière que la somme des poids des barres OA, OB (ou que la somme de leurs moments statiques, celle de leurs moments d'inertie, etc., par

rapport au point O), ait une valeur donnée. Toutes

ces modifications d’énoncés ne changent pas ni ne peuvent changer ce qui, dans le problème, ne relève que des caractères généraux des fonctions, sans dépendre de leur expression algébrique, ni de ce qu'elles admettent ou n'admettent pas d'expression algébrique. Le nombre des solutions, les cas généraux de possibilité et d'impossibilité (absolues ou subordonnées aux valeurs numériques des données) restant les mêmes, la circonstance accessoire du groupement algébrique reste liée à la forme particulière et accidentelle de la fonction

/ LC] algébrique.

67. Lorsque l’on considere ainsi (ce qui est trèspermis ) certains problèmes de géométrie comme des cas particuliers de problèmes plus généraux sur les corps matériels, cas particuliers correspondant à l’hypothèse particulière d'une densité constante ou à toute autre supposition analogue qui rend constants de certains coefficients physiques susceptibles en général de varier d'une maniére quelconque d'un point à un autre , On ne peut plus ne pas saisir la question philosophique qui consiste à rechercher pourquoi le système des diverses solutions, en traversant cet état singulier, présente momentanément tel mode de conjugaison algébrique plutôt que tel autre. Déjà la même idée s'est reproduite sous tant de faces, que nous craignons de fatiguer le lecteur en la reproduisant

encore : mais on nous pardonnera cette insistance , si

l'on considère que tant d’esprits distingués, tout en sentant le besoin d'interpréter l’algèbre dans son application à la géométrie, ont laissé de côté cette idée fondamentale.

C’est qu'il fallait, suivant nous, saisir préalablement l'idée de la théorie des fonctions en tant que théorie indépendante, et même supérieure (dans l'ordre de l’abstraction et de la généralité) à l’algébre ainsi qu'à la géométrie : l'explication de l'accord entre les définitions des fonctions par la géométrie et par l'algèbre, si elle est possible, devant se rattacher à une théorie dominante, dont toutes deux relèvent par certains côtés.

Déjà les progrès de la physique mathématique font pressentir qu'après qu'on aura tiré de l'algèbre et de la géométrie, à peu près tout ce qu'elles peuvent donner pour l'interprétation des phénomènes naturels, les progrès ultérieurs de cette interprétation consisteront surtout à tirer des caractères généraux des fonctions les formes ou les lois générales des phénomènes, indépendamment de toute évaluation numérique subordonnée aux valeurs particulières de ces mêmes fonctions , évaluation qui devient pour l'ordinaire impraticable dès que les fonctions ne comportent pas

une expression algébrique tres-simple.

DES LIGNES ALGÉBRIQUES ET GÉOMÉTRIQUES. — DE LA CORRÉLATION FONDAMENTALE ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET L'ALGÈBRE, ET DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE PROPRE- MENT DITE.

68. La classification des fonctions entraine une semblable classification des courbes qui en donnent la représentation graphique. Ainsi nous qualifierons les courbes d’algébriques, de transcendantes où d’emnpiriques (63), selon que leur ordonnée, dans un système de coordonnées rectangulaires se trouvera être une fonction algébrique, transcendante ou empirique de l’abscisse. Les sections coniques et leurs développées sont des courbes algébriques : la cycloïde et les développantes des sections coniques sont des courbes transcendantes. |

Quelle que soit la forme sous laquelle se présente d'abord l'équation d'une courbe algébrique, soit qu'elle se trouve ou non résolue par rapport à l’une des variables , on peut en faire disparaître les dénominateurs et les radicaux, et transporter ensuite tous les termes dans le premier membre qui se composera d'une somme de termes de la forme Ax”y" : À dési-