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160 CHAPITRE VIll:

gnant un coefficient numérique positif ou négatif, m et n des nombres entiers et positifs. On peut considérer ce premier membre comme représentant, pour chaque valeur de y, une certaine fonction de x, pour chaque valeur de x une certaine fonction de y, ou comme étant une fonction des deux variables x et y : en sorte que nous désignerons l'équation de la courbe, mise sous cette forme, par F(x,y)}—0: [F] Les théories d’algèbre nous montrent que les équations algébriques à deux variables, mises sous cette forme, doivent être classées par degrés, et que le degré de l'équation a pour indice la somme des exposants des deux variables, dans le terme pour lequel cette somme a la plus grande valeur. En conséquence on classe aussi les courbes algébriques par degrés, et le degré de la courbe est le degré de l'équation algé-

brique correspondante.

69. Le nombre des points d’intersection de deux courbes algébriques, l’une du degré », l’autre du degré "7, ne peut pas surpasser le produit »#m!. C’est encore là un caractère remarquable qui dérive de la théorie des équations algébriques, et qui n'appartient pas en général aux courbes transcendantes : celles-ci pouvant avoir des points d’intersection en nombre illimité, soit avec d’autres courbes transcendantes, soit

avec des courbes algébriques. Ainsi, à moins de sup-

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poser que le mouvement de rotation du cercle OMNP (Jig. 15) sur la droite OX, mouvement générateur de la cycloïide, a commencé et fini brusquement, la cycloïde engendrée se compose ( fig. 16) d’une infinité

d'arceaux

… RQO, OQR, RQR!,...

parfaitement égaux et superposables ; et toute droite indéfinie, menée parallèlement à l'axe des x, de maniére à couper l'axe des y entre les points O et N, à

une infinité de points communs avec la cycloïde.

70. Une courbe algébrique ne s’interrompt jamais brusquement dans son cours. Cela résulte de ce qu'une équation algébrique, à une seule inconnue et à coefficients réels, ayant toujours un nombre pair de racines imaginaires, ne peut perdre à la fois qu'un nombre pair de racines réelles, lorsqu on fait passer par une suite de valeurs réelles l’une des grandeurs qui entrent dans la composition de ses coefficients. 11 suit de là, et de la forme connue des racines imaginaires, qu'au moment où l'ordonnée d'une courbe algébrique passe du réel à l'imaginaire, des valeurs réelles de l'ordonnée, en nombre pair, deviennent égales. Si ces valeurs sont seulement au nombre de deux, comme il arrive ordinairement, deux portions de la courbe viennent se rejoindre en un point qui peut d’ailleurs ne présenter, et qui en général ne présente aucune particularité, lorsqu'on vient à changer

la direction des axes. On conclut de là que, pour avoir l'expression complète d'une courbe algébrique, par une équation entre des coordonnées rectangulaires, il faut débarrasser l'équation des radicaux, ou conserver tous les doubles signes adhérents à chaque radical pair. Autrement on introduirait arbitrairement des solutions de continuité, tenant à la direction des lignes auxiliaires que l’on aurait prises arbitrairement pour axes des coordonnées; et qui ne sont point des affections essentielles de la courbe, qui ne doivent point résulter de sa définition, si elle en a une qui soit indépendante du choix des axes.

71. Descartes avait nommé et pendant longtemps on a nommé d’après lui courbes géométriques celles que nous qualifions d'a/gébriques, c'est-à-dire celles qui peuvent se définir par une équation algébrique entre des coordonnées rectangulaires. Il appelait, par opposition, courbes rnécaniques celles que, d’après Leibmtz, nous qualifions de {ranscendantes, telles que la cycloïide ou les développantes des sections coniques. En imaginant cette nomenclature, à une époque où l’on ne connaissait point la théorie des développées et des développantes, où l’on commençait à peine d’étudier la cycloïde, et où la curiosité des géomètres ne s était encore fixée que sur quelques courbes transcendantes de peu d'importance, Des-

cartes avait surtout pour but de combattre le préjugé

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des anciens qui consistait à n admettre comme des solutions géométriques que celles qui peuvent se construire physiquement avec la règle et le compas; et par une concession au préjugé, plutôt que par de bonnes raisons , il consentait à ce que l’on continuât d'appliquer l’épithète de mécaniques aux quelques courbes iranscendantes dont les géomètres s'étaient occupés avec lui. Mais, par les raisons mêmes que

Descartes donne *, il est évident que la nomenclaturé

* « Les anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c’est-à-dire que les uns peuvent être construits en ne tra-

cant que des lignes droites et des cercles ; au lieu que les autres ne

le peuvent être, qu'on n’y emploie pour le moins quelque section

conique ; ni enfin les autres, qu’on n’y emploie quelque autre ligne plus composée; maïs je m'étonne de ce qu’ils n’ont pas outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurois comprendre pourquoi ils les ont nommées méchaniques plutôt que géométriques. Car de dire que c’ait été à cause qw’il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudroit rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu’on ne les décrit sur le papier qu'avec un compas et une règle , qu’on peut aussi nommer des machines. Ce n’est pas non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes ; car il faudroit pour cette raison les rejeter des méchaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c’est seulement la justesse du raisonnement qu’on recherche , et qui peut sans doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas aussi que ce soit à

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164 CHAPITRE VIli.

qu'il proposait, il y a deux siècles, ne peut se soutenir dans l’état actuel de la science. Il est clair que la définition de la cycloïde est tout aussi géométrique que celle de l’ellipse; qu'il n y a pas de raison pour qualifier de géométriques les développées des sections coniques et pour refuser ce titre à leurs développantes. La cycloïde est, comme l’ellipse, une courbe

dont la génération peut être conçue indépendamment

cause qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes , et qu’ils se sont contentés qu’on leur accordât qu’ils pussent joindre deux points donnés par une ligne droite , et décrire un cercle dun centre donne qui passât par un point donné ; car ils n’ont point fait de scrupule de supposer, outre cela, pour traiter des sections coniques, qu’on püt couper tout cône donné par un plan donné. Et il n’est besoin de rien supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire , sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l’une par l’autre, et que leurs intersections en marquent d’autres ; ce qui ne me paroît en rien plus difficile. Il est vrai qu’ils n’ont pas aussi entièrement recu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été approuvés par l’usage; mais il est, ce me semble, très-clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est précis et exact, et pour méchanique ce qui ne l’est pas, et considérant la géométrie comme une science qui enseigne généralement à connoître les mesures de tous les corps, on n’en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les plus simples, pourvu qu’on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu , ou par plusieurs qui s’entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les pré-

cèdent; car, par ce moyen, on peut toujours avoir une connois-

des procédés mécaniques de description, dont les propriétés nombreuses peuvent être étudiées à la faveur de raisonnements et de constructions purement géométriques, sans qu'il faille nécessairement recourir à l'analyse des modernes et à la méthode cartésienne. Il en est de même des développées et des développantes des courbes déjà définies géoméitriquement.

Au contraire, nous ne pensons pas que l’épithete

sance exacte de leur mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de recevoir celles qui étoient plus composées que les sections coniques, c’est que les premières qu’ils ont considérées, ayant par hasard été la spirale , la quadratrice et semblables, qui n’appartiennent véritablement qu'aux méchaniques, et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être re cues, à cause qu’on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n’ont entre eux aucun rapport qu’on puisse mesurer exactement ; bien qu’ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde , et quelque peu d’autres qui en sont , tontefois à cause qu’ils n’ont peut-être pas assez remarqué leurs propriétés, ils n’en ont pas fait plus d’état que des premières ; ou bien c’est que, voyant qu’ils ne connoissoient encore que peu de choses touchant les sections coniques , et qu’il leur en restoit même beaucoup touchant ce qui se peut faire avec la règle et le compas, qu’ils ignoroiïent, ils ont cru ne devoir point entamer de matière plus difficile... » Géométrie, lv. IT, £n principio.

On remarquera que les épithètes de solides et de linéaires, appliquées à des problèmes ou à des lieux géométriques, ont depuis longtemps perdu le sens que Descartes y attache, au commence-

ment du passage cité.

de géométrique puisse être convenablement donnée à toute courbe algébrique. A la vérité, puisque les opérations fondamentales de l’arithmétique sont susceptibles d'être graphiquement exécutées avec la règle et le compas, dès lors qu'on donne l'équation

d'une courbe algébrique RU RREIUR

dans laquelle x, y désignent des coordonnées variables et a, b, c,.... des paramètres constants, il est permis de concevoir que le système d'opérations arithmétiques par lequel on calculerait chaque terme du premier membre de cette équation au moyen des nombres x, y, a, b, c,...., se trouve remplacé par un système de constructions graphiques exécutées sur les lignes que ces nombres mesurent. Mais, de ce qu'on peut appliquer ainsi la géométrie à l'arithmétique, il ne s ensuit pas qu'on puisse, sans abus de langage (cest-à-dire sans confondre par l'expression deux ordres d'idées foncièrement distincts), qualifier de géométrique toute définition des grandeurs au moyen des opérations fondamentales de l’arithmétique et par suite au moyen de l’algebre. Un traité d’arithmétique ou d'algèbre n'est point (même implicitement) un traité de géométrie, quoique l’arithmétique et l’algebre s appliquent à la géométrie, et quoique inversement la géométrie s'applique à l’arithmé-

tique et à l'algèbre. Une ligne algébrique est en même

LATE: hi à: CAT:

temps géométrique , lorsqu on peut mettre de côté ce que l'algèbre nous enseigne, se reporter par la pensée au temps où l'algèbre était encore une science à naître, et donner de la ligne une définition directement tirée de conceptions propres à la géométrie : comme lorsqu'on définit la cycloide au moyen du cercle et de la ligne droite, l'ellipse au moyen du cône et du plan, la développée de l’ellipse au moyen de l’ellipse, et ainsi de suite. Or, si l'on écrivait au hasard une équation algébrique à deux variables de degré quelconque, il n’arriverait que par hasard que le lieu d’une telle équation jouit de propriétés géometriques et comportàt une définition géométrique du genre de celles que nous indiquons. La courbe serait encore algébrique, comme les sections coniques et leurs développées, mais ne devrait pas être réputée géométrique.

Ce n'est pas qu'une définition arithmétique ou algébrique, eüt-elle une apparence bizarre ou compliquée, ne puisse accidentellement convenir à des courbes susceptibles d’être géométriquement définies. Si Je définis une courbe par cette condition que l'ordonnée pm (PL. I, fig. 18) soit proportionnelle à la racine 19° de la 47° puissance de l’abscisse Op, la définition ne saurait, sans abus de langage, être qualifiée de géométrique, bien qu'on puisse construire avec la règle et le compas deux lignes respec-

tivement proportionnelles à la 47° puissance du Ï

nombre qui mesure l’abscisse Op, et à la 19° puissance du nombre qui mesure l’ordonnée prn : mais imaginons une suite d’ellipses semblables, en nombre infini, ayant leur centre commun au point O, et telles que, pour chacune, le carré du demi-grand axe soit au carré du demi-petit axe dans le rapport de 47 à 49, la courbe O7» qui coupe à angle droit toutes ces ellipses, est précisément celle que l’on vient de définir arithmétiquement, et elle acquiert ainsi une défini-

tion géométrique *.

* À la suite du passage cité plus haut, Descartes s'attache à montrer qu’il n’y a pas de courbe algébrique qui ne corresponde à un cas particulier du problème de Pappus : comme s’il avait voulu établir par là qu’il n’y a pas de courbe algébrique qui ne comporte une définition géométrique. Mais, à cause de la forme de l’équation de la ligne droite, le mode de définition , par le problème de Pappus, nest qu’une généralisation du mode de définition par une équation algébrique entre l’abscisse et lordonnée , comme le système des coordonnées obliques est une généralisation du système des coordonnées rectangulaires ; et tout ce qui se dit d’un mode de définition s’applique à l’autre. Lorsqu'on définit une courbe par la

condition que , si lon mène de chacun de ses points des droites TON CC, ME ..

qui coupent sous des angles donnés les droites