EC I, KL

tracées dans le plan de la courbe, le produit des nombres qui mesurent les droites a, b,c,..., au nombre de 47, soit constamment proportionnel au produit des nombres qui mesurent les droites

4, 4,1,..., au nombre de 19, cette définition n’est pas plus géome-

Il en est de même pour les courbes transcendantes. Si je définis la courbe Ann (fig. 19) du genre des spirales, par la condition qu'en chaque point » sa tangente 72t fasse un angle constant avec le rayon vecteur Om, mené du point fixe O à ce point variable, j'en aurai donné une définition géométrique ; mais si je la définis par la condition que la valeur numérique du rayon vecteur O2 soit proportionnelle au logarithme du nombre qui mesure l'angle mOA formé par le rayon vecteur avec une droite fixe OA, j'en aurai donné une autre définition transcendante qui n'a rien de géométrique; car ce n’est point par la géométrie que nous vient l'idée de la liaison transcendante

entre un nombre et son logarithme.

72. Puisque Descartes a imaginé la méthode des coordonnées pour appliquer l'algèbre à la géométrie, il faut bien qu'il y ait des lignes à la fois géométriques

et algébriques, dans le sens qui vient d’être attaché

trique que celle qui consisterait à dire que la 47° puissance de Pabscisse est constamment proportionnelle à la 19° puissance de l’ordonnee : car, de même que la notion de puissance n’a plus de sens géométrique quand l’exposant de la puissance devient quelconque, bien qu'on puisse construire des lignes proportionnelles aux puissances des nombres qui mesurent une ligne droite donnée, ainsi la notion de produit n’a plus de sens géométrique quand le nombre des facteurs devient quelconque , bien qu’on puisse toujours construire une droite proportionnelle au produit des nombres qui mesurent tant de droites,

que l’on voudra.

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PAC EE DEUS CT pue i Vi

à ces deux épithètes. Et puisque l'algèbre ne consiste pas seulement dans un système de notations pour exprimer des relations arithmétiques entre des grandeurs, mais que c’est une science qui diffère de l'arithmétique par le degré d’abstraction, qui a son objet spécial et son organisation propre, il faut que, pour les lignes qui sont à la fois géométriques et algébriques, l'étendue de la définition algébrique corresponde, en vertu des lois propres à l’algébre, à l'étendue que la ligne comporte en vertu de sa nature géométrique, ou par la force de la définition géométrique. Sinon il n'y aurait pas, à proprement parler, de correspondance entre la géométrie et l’algebre, ou d'applications de l'algèbre à la géométrie, mais seulement des applications de l’arithmétique à la géométrie, Comme on en a connu et pratiqué de toute antiquité.

Pour montrer que des applications de l’arithmétique à la géométrie n'entrainent pas la correspondance de la géométrie avec l'algèbre, dans le sens que l'on vient d'expliquer, il n'y aurait qu à revenir aux courbes dont la discussion a fait l’objet des n° 56, 57

et 56; mais, afin de ne pas quitter l'exemple pris en dernier lieu, désignons par la fraction irréductible =

le rapport (supposé commensurable) entre les carrés des demi-grands axes et les carrés des demi-petits

axes, pour les ellipses concentriques et semblables,

tracées en lignes ponctuées sur la fig. 18 : la courbe On qui en est la trajectoire orthogonale, c'est-à-dire qui coupe toutes ces ellipses à angle droit, aura pour équation FIGE [a]

de sorte que, par la variation du coefficient €, on passera de la trajectoire orthogonale O2 à une autre trajectoire Ou. Supposons qu on ait assigné la valeur du coefficient numérique c, aussi bien que celle des nombres 72 et n, et traçcons en conséquence la trajectoire O7», puis les lignes symétriques O7, Om", Om" dans les trois angles droits adjacents à XOY. Suivant qu on a |

m pair, AZimpair;

m impair, 2 impair;

7 impair, n pair; l'équation [a] représente, en vertu du jeu des signes

algébriques , les systèmes de lignes Om et On, Om et Om", Om et Or”.

Dans le premier cas la courbe complète ressemble à une parabole conique ayant son sommet en O; dans le second cas elle subit au point O ce qu'on nomme une inflexion où une inversion dans le sens de sa courbure ; au troisième cas enfin, elle éprouve en O ce qu'on nomme un 7ebroussement, comme ceux que nous offre la cycloïde indéfiniment prolongée. On peut

passer d'un cas à l’autre en faisant varier les nom-

et a 0/0 de ARR ee. 75 UE MOST RE NE RS OT ee CORTE TS LÉ du

Le: mn e e bres "2 et n, de manière que le rapport 7 varie infi-

niment peu : de manière par conséquent que le système des ellipses concentriques soit infiniment peu altéré, et que l'équation [a] ait pour lieu une courbe Ou infiniment peu différente de O7. La définition géométrique de la ligne On, tirée de sa propriété d'être la trajectoire orthogonale d'un certain système d’ellipses, ne renferme rien qui puisse rendre raison du changement brusque de forme qu'éprouverait la ligne x au point O, centre du système d’ellipses, en subissant, par exemple, une inflexion au lieu d’un rebroussement. La commensurabilité des carrés des demi-axes, la propriété des nombres 77 et n d'être pairs ou impairs ne modifient en rien les conditions géométriques du tracé de la trajectoire. Il faut donc reconnaître que le mode d'accouplement des trajectoires partant du centre O, dans le cas de la commensurabilité des carrés des demi-axes, et selon que les nombres » et 7 sont pairs ou impairs , est un fait de pure algèbre, une conséquence de la règle des signes, laquelle ne correspond ici à aucun fait

géométrique.

75. Ces préliminaires étaient indispensables pour faire saisir enfin le nœud de la question. La plus simple des équations algébriques à deux variables est l'équation

Dr 12

DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 473 et 1l se trouve qu'elle a pour lieu géométrique, dans le système des coordonnées rectangulaires , une ligne droite passant par l’origine des coordonnées, c’està-dire la plus simple des lignes que la géométrie considère, celle dont l'idée est le point de départ de toute spéculation géométrique. L'équation de la ligne droite n'est que l'expression algébrique du théorème de Thalès sur la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles, théorème dont l'invention ou l'énonciation formelle marque le commencement de la géométrie et celui de toute science exacte. Voilà pour la correspondance entre la géométrie et la théorie purement arithmétique des grandeurs abstraites. Mais de plus il se trouve que l'équation [0] appartient à la ligne droite indéfiniment prolongée de part et d'autre de l’origine : le changement de signe de l’abscisse entraînant le changement de signe de l’ordonnée. En outre, si l’on fait passer le coefficient a par toutes les valeurs réelles, positives et négatives, on rendra l'équation propre à représenter toutes les droites possibles, tracées sur le plan des coordonnées et passant par l'origine. Voilà pour la correspondance entre la géométrie et l’algèbre proprement dite. Ainsi, le choix du système des coordonnées parallèles à des axes fixes ne nous est pas seulement imposé par la condition d'obtenir une exacte représentation graphique des liens algébriques entre les grandeurs (60);

il nous l’est encore par la condition d'établir entre la

A APN Vent TE rh to

géométrie et l'algèbre une corrélation fondamentale dont les conséquences (faciles à pressentir pour quiconque a déjà saisi la généralité de l'analyse algébrique ) se représenteront sous des formes et dans des combinaisons variées à l'infini.

Il en résulte tout d'abord qu'une ligne droite, tracée d’une manière quelconque sur le plan des coordonnées, est représentée, dans toute l'étendue

de son cours indéfini, par une équation de la forme

y = ax +6; [8] et réciproquement, qu'une équation de cette forme a toujours pour lieu géométrique une ligne droite indéfiniment prolongée dans les deux sens. En effet, si, par un point quelconque pris sur la droite, on mène des axes de coordonnées x, y', respectivement paral-

lèles aux axes des x, y, on aura, pour tous les points

du plan, LT Ni Vale

x,, 7, désignant les coordonnées de la nouvelle ori-

gine, prises par rapport aux anciens axes et à l’ancienne origine ; et comme l'équation

Dur

est propre à représenter tous les points de la droite, pourvu que le coefficient «4 ait été déterminé conve-

nablement, l'équation qui s’en déduit

Cri AfX — Li} ;

| dtsiiésilséé Lo es à, dt rt and. à ji

subsiste aussi pour tous les points de la droite. Or, cette dernière équation se confond avec l'équation [B|,

si l'on pose, comme cela est toujours permis,

V— ax, =Ù.