A D PAU SO EE PE MAO NP ETES

176 CHAPITRE Viir:

cette raison On la nomme la fangente trigonométrique de l'angle &. On la désigne par l'abréviation tanga :

de sorte qu’on peut écrire, au lieu de l'équation [0], J = x tang «.

Cette notation a l'avantage d'introduire dans l’équation de la droite le signe de l'angle qui détermine la position de la droite sur le plan.

Au lieu de déterrniner la droite MN en assignant sa tangente trigonométrique, c'est-à-dire la valeur positive ou négative de l'ordonnée pour une abscisse positive égale à l'unité de longueur, on pourrait prendre sur la portion ON de cette droite, qui forme l'angle avec le demi-axe des abscisses positives, une longueur On égale à l'unité, et assigner l’abscisse ou l'ordonnée de ce point 72. C’est ainsi qu'on est dans l’usage de définir la pente d'une portion rectiligne de route ou de rail-way, c'est-à-dire l'angle que cette portion rectiligne forme avec sa projection horizontale, en assignant la différence des hauteurs ou des ordonnées verticales de deux points de la route ou du rail-way, dont la distance est égale à l'unité de longueur. L’ordonnée mp se nomme le sinus, et l’abscisse Op se nomme le cosinu. de l'angle «. On les désigne dans l'écriture par les abréviations sina, cosa; et les lignes sina, cosa, tanga, prises collectivement, s'appellent les zones trigonométriques de l'angle 4. Cette

dénomination provient de ce qu’on a primitivement

Ré 0 MERS er MIE, 5,2 RSS ES M: "tr dar s 2 or bite + * ,” } ; vs!

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défini et étudié les lignes dont il s’agit, en vue de la détermination numérique des parties inconnues d’un triangle , soit rectiligne, soit sphérique, par le moyen de certaines parties connues : ce qui est l'objet d’un problème très-particulier, mais très-important, à cause des applications à l'astronomie et à la géodésie, et ce qui constitue la #rzgonométrie proprement dite. Pour plus de justesse il faudrait donner à ces lignes l'épithète de goniométriques ; parce qu'elles servent en général à déterminer des angles, et que cette détermination est nécessaire dans une foule de cas où l’on n’a point pour but de résoudre des triangles, c'est-à-dire d’en calculer les éléments inconnus à l’aide des éléments connus.

La valeur de la tangente trigonométrique, prise avec son signe, est aussi la valeur du rapport entre le sinus et le cosinus, pris également avec leurs signes. Il est clair que le cosinus dépend du sinus, et nous allons immédiatement nous occuper de cette relation. On considère assez souvent des lignes trigonométriques autres que le sinus, le cosinus et la tangente, mais qui se ramènent à celles-ci ou qui en sont

des fonctions très-simples, et dont nous n'avons pas besoin de faire ici la nomenclature.

75. Si la droite MN, au lieu d’être rapportée aux axes rectangulaires OX, OY, l'était aux axes rectan-

gulaires OX’, OY', qui font respectivement un angle w

D: AU ns DOC PER PR OR TA TE TS ON TE

178 CHAPITRE Ville

avec les axes OX, OY, son équation ne pourrait être encore que de la forme = EN [4] x, y! désignant les coordonnées respectivement parallèles aux nouveaux axes, et a! étant la tangente de l'angle NOX'— x. Or, cette condition exige que les valeurs des coordonnées x, y soient liées aux valeurs des coordonnées x/, y! par des équations de la forme x—=mx + ny", | y=ma ny",

(m,n, m,, n, désignant des coefficients constants qui ne dépendent que de la valeur de l'angle w); sans quoi la substitution des valeurs de x, y en x’, y! dans l'équation [2] ne pourrait pas conduire à une équation en x, >" de la forme de [#/]. D'après la définition des sinus et cosinus on a, pour y'— 0, quel que soit d’ailleurs l'angle w , aigu ou obtus,

TE TICOS 0 Lin 10e et pour æ —0,

z—=—7J'sno, y—7y cos.

En conséquence les coefficients constants », n, etc. se trouvent déterminés, et l’on a généralement

x—= xcosw—7y'sne,

Jy= sine +7y'coso. (el On trouverait de même

x'—= xCOSE + y sin, } !

J'=—* sin œ y cos. Le]

IL est d’ailleurs évident que, si l’on veut changer l'origine en même temps que la direction des axes, on pourra d’abord changer les axes par les formules précédentes, puis déplacer l'origine en retranchant des coordonnées variables, relatives à l’ancienne origine et aux nouveaux axes, les coordonnées de la nouvelle origine, prises par rapport à l’ancienne orioine et aux nouveaux axes.

Il suit de là qu une courbe algébrique ne cesse pas d’être algébrique et ne change pas de degré, quand sonméquation change par suite d'un déplacement

quelconque de l’origine et des axes.

76. Concevons qu'après avoir passé de l’axe OX à l'axe OX’, faisant avec le premier l'angle w , on continue de tourner dans le sens indiqué par les flèches de la figure, et qu'on passe de l’axe OX’ à l'axe OX", faisant avec OX’ un angle w', et avec OX l'angle ou):

les équations [c'] donneront, mutatis mutandis,

xl x'cosw + y'sinw/,

J"=— x sin w' + y'cos «);

d'où, par la substitution des valeursyde x’, y’, tirées des mêmes équations [c],

x'— æ(c0Sw COSw—sin w sinw) +y(sin w cos w + cosw sin w’),

y'—=—x(sin w COSw'—+ COS w sin w/) + y(Cosw COsw'— sin w sin w’).

Mais il est clair d'autre part, toujours à cause des

équations ||, qu'on doit avoir a" xcos(w—+w) + ysin (ww), pl=—2 sin (w +) yrc0s(0—u/); d'où ces deux formules fondamentales cos(o —w)—coswcosw"—sin wsinw', } c : JNSEETEES [ ! ! [ | sin(o -w') — sin wcosw'—+cosw sin w’.

Supposons au contraire qu'après avoir passé de OX à OX' en tournant dans le sens de la flèche, on passe par un mouvement rétrograde de OX" à OX", de manière que OX” tombe entre OX et OX', en faisant avec OX! un angle w' et avec OX un angle 6 —«) on aura entre les grandeurs ANR AU Nr les mêmes relations qu'entre les grandeurs à URSLE LT, Jr DO, EX, 7 ; / ° e e et les équations [c] donneront, mutatis mutandis , xx cosw'— y sin, J"=x'sin w'+ y! cos); d’où, par la substitution des valeurs de x!, y, tirée des équations |c|, x'— x(CoSw COS w'—+- sin w sin w’) +y(sin w Cosw/— cos w sin w’), x"=—x(sin w COSW’— COS wsINnw') + y(cosw cosw’ + sin w sin w’). Mais d’un autre côté l’on doit avoir, d’après l’hypothèse, et les équations [c], xl xcos(o—w'") + ysin(o—«w!),

J'"=—2 sin (© — 0") + y cos(0—w");

ce qui entraine ces deux autres formules fondamentales

cos(w— w')— cos w cos w'+ sin wsinw', [C sin (o—w!)— sin © COS W'— cos w sin w’.

Par la manière même dont nous avons obtenu les formules [C], [C,], nous sommes conduits à leur donner le degré d'extension et de généralité qu'elles doivent avoir. En effet, tant quil ne s'agissait que de fixer sur le plan des coordonnées la position de la droite [], au moyen de l'angle x, dont le coefficient «a désigne la tangente trigonométrique, nous n'avions à considérer que des valeurs de l'angle « comprises entre zéro et deux angles droits, ou des valeurs de l'arc correspondant (que nous désignerons aussi par «) comprises entre zéro et x : l'arc étant mesuré, comme à l'ordinaire, sur le cercle dont le rayon est l'unité , et r indiquant la longueur de la demi-circonférence de ce cercle. Mais, quand nous passons par un mouvement de rotation continu, de l’axe OX à un axe OX', de celui-ci à un axe OX’, et ainsi de suite jusqu à OX, il est clair que rien ne limite la valeur de l'arc

= 6 +0 Hot... Lot, qui peut surpasser la circonférence entière ?2r, et même un nombre quelconque de circonférences. Or, les définitions que nous avons données du sinus et du

cosinus s'adaptent d’elles-mêmes, sans aucune modi-

fication, à cette conception d’un mouvement continu et indéfini. Il en résulte que, lorsque l’axe mobile, partant d'une position initiale, aura ajouté à l'arc qui mesurait primitivement son inclinaison sur l'axe fixe un nombre entier de circonférences , ou un nombre pair de demi-circonférences, les sinus et cosinus reprendront les mêmes valeurs numériques avec les mêmes signes ; qu'après la description d’une demi-circonférence, ou d'un nombre impair de demi-circonférences, les sinus et cosinus reprendront les mêmes valeurs numériques, mais affectées de signes contraires. D'un autre côté, les équations [c], [c’] ne sont pas davantage assujeities à la restriction que les angles w, w' tombent entre des limites déterminées. Donc les formules [C], [C] et toutes celles qu'on en peut déduire par des combinaisons de calcul algébrique, sont pareillement affranchies de cette restriction; et l’on reconnaîtrait qu'elles peuvent de même s'appliquer à des valeurs négatives des arcs, correspondant à une rotation en sens inverse de celui qui est indiqué par les flèches de la figure, et pour lequel les arcs décrits sont censés positifs. Ces circonstances se trouvent présentées avec détail dans tous les traités élémentaires : l’important pour nous est de bien remarquer que le jeu des signes dont on affecte les lignes trigonométriques, et l'extension que prennent les formules en s’adaptant a des valeurs réelles quelconques de ces sortes de

grandeurs, ne résultent pas de conventions arbi-

traires, mais sont nécessairement amenés par la force des conceptions géométriques, lorsqu'on rattache (comme nous l'avons fait et comme on doit le faire) la définition des lignes trigonométriques à la détermination de la direction d’une ligne droite sur le plan des coordonnées, dans le système des coordonnées

rectangulaires.

77. Le cosimus Op approche d'autant plus d’être égal au rayon OR ou à l'unité, que l'arc Ryn est plus petit; il se confond avec l'unité quand l'arc s’évanouit. Donc la première équation [C,] donne, quand on y HQE 0 4;

cos’a sin’ a =— 1.

C'est la relation entre le sinus et le cosinus d’un même angle ou d'un même arc, annoncée au n° 74. C'est donc la relation entre l’abscisse et l’ordonnée de chaque point du cercle décrit de l’origine comme centre, avec l'unité pour rayon, et dont l'équation

est par conséquent

LH y — A.

On en conclut tout de suite, par la considération des triangles semblables, ou en vertu du principe de l'homogénéité, que le cercle concentrique, de rayon r, a pour équation

Éty=r ; [d]

d’où l'on passe sans difficulté à l'équation d'un cercle {

situé d'une manière quelconque dans le plan des coordonnées. Ainsi, la plus simple des équations symétriques du second degré à deux variables appartient, dans le système des coordonnées rectangulaires, à la plus simple des lignes géométriques après la ligne droite, et la représente dans toute l'étendue de son cours, par cela même que l'équation du premier degré, c'est-à-dire la plus simple des équations à deux variables , appartient à la plus simple des lignes géométriques , savoir à la ligne droite, et la représente dans toute l'étendue de son cours indéfini. L'équation du cercle est virtuellement contenue dans celle de la ligne droite; l'accord de la géométrie et de l’algebre pour l'étendue de la définition de la ligne droite, leur accord pour l'étendue de la définition du cercle, ne sont pas deux faits indépendants, mais deux faits dont l'un est la conséquence logique de l’autre.

La ligne droite et le cercle ont pour caractère commun l’uniformité de leur cours, en vertu de laquelle chaque portion peut se superposer à l’autre : elles semblent différer en ce que l’une se prolonge indéfiniment en deux sens, tandis que l’autre est une courbe fermée et limitée. Mais ce contraste même n’est qu’apparent, attendu que le mouvement de rotation du rayon décrivant est susceptible de se prolonger indéfiniment en deux sens opposés, comme le mouvement de translation du point qui décrit une ligne

droite. C'est avec cette extension tenant à la nature

essentielle de l’idée, que l’algébre (toujours dans le système des coordonnées rectangulaires) traduit la description géométrique de l’une et de l’autre ligne, en reproduisant ainsi, sous deux faces différentes, le même fait fondamental de concordance , et en maintenant par là une analogie ou, comme l'ont dit quelques auteurs, une dualité qui reparaît dans toutes les branches de la spéculation mathématique, qui donne lieu en géométrie pure à de curieuses théories, et qui finalement contient la raison de l’ordre et de la symé-

trie des principes généraux de la mécanique.

78. L'équation [d | est l'expression algébrique du théorème de Pythagore, comme l'équation [0] est l'expression algébrique du théorème de Thalès. Nous ne prétendons pas que ce tour de démonstration soit le plus simple, ni celui qu'il faille préférer dans les éléments. Il suffit, pour l’ordre logique, que toutes les propositions s’enchainent rigoureusement; et comme condition de la perfection de cet ordre, on pourrait se proposer de réduire au minimum le nombre des anneaux de la chaîne. Pour la perfection de l'ordre didactique, il convient certainement de s’élever par degrés , des conceptions moins abstraites aux conceptions plus abstraites. Mais, quand une fois les faits ont été conçus et logiquement assemblés, n'importe comment, il faut, pour la perfection de l’ordre

philosophique, ou pour celle de l’idée qu'on doit se

186 CHAPITRE VHI.

faire du système de la science et de la subordination de ses parties, aller tout d’abord aux faits les plus généraux, qui contiennent la raison des faits particuliers et de leurs connexions diverses.

Il n'est personne qui ne sente que les démonstrations des théorèmes de Pythagore et de Thalès par la comparaison des aires, comme celles qu'ont adoptées Euclide et Legendre dans leurs Éléments *, quoique logiquement irréprochables, faussent l’ordre philosophique : d'une part en faisant passer le théorème de Pythagore avant celui de Thalès, qui contient si évidemment la raison du premier; d’autre part, en subordonnant à la théorie de la mesure des aires, la preuve de relations arithmétiques entre des longueurs, relations qui ne doivent dépendre, ni de la considération des aires, ni de leur mesure.

Comme toutes les démonstrations du théorème de Pythagore, employées dans les éléments, n établissent qu une relation arithmétique entre les côtés du triangle rectangle, lorsqu'on en conclut l'équation du cercle en coordonnées rectangulaires, on ne voit pas la raison de l’accord entre l'algébre et la géométrie, en ce qui touche la description du cercle. Le cercle pourrait être dans le cas des trajectoires orthogonales

de l’ellipse, pour lesquelles nous avons vu (72) que

* Euclide, liv.I, prop. 47, et liv. VI, prop. 2; Legendre, hv. III, prop. 11 et 15.

DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 187 l'existence d’une définition aritlynétique n’entraine pas l'accord de la géométrie avec l'algèbre, quant aux suites algébriques de la règle des signes. Il pourrait être dans le cas des courbes que nous avons vues lui être congénères (57 et 58), dont l’algebre n’associe pas les branches de la même manière, malgré l’analogie des caractères géométriques et des définitions arithmétiques. Nous avons constaté l’accord entre l’algebre et la géométrie pour la ligne droite; il faudrait le constater à nouveau pour le cercle; il faudrait en agir de même pour chaque courbe qui comporterait à la fois une définition géométrique et une définition arithmétique traduisible en algèbre. Mais, suivant notre tour de démonstration, l'accord pour le cercle est une conséquence de l'accord pour la ligne droite : nous avons réduit autant que possible le nombre des faits primitifs et indépendants, dans l’ordre rationnel des principes et des conséquences; nous avons obéi à la loi qui gouverne toute investigation philoso-

phique. Poursuivons cette série de déductions.

79. Un point est déterminé dans l'espace par ses distances à trois plans rectangulaires, de même qu'un point est déterminé sur un plan par ses distances à deux droites rectangulaires (62); et dans le système des coordonnées rectangulaires, ainsi généralisé, une analogie soutenue nous mène, comme par la mam,

des théorèmes de géométrie plane à ceux qui leur

correspondent dans la géométrie de l'espace. Une ligne droite est définie dans l’espace par les équations de ses projections sur deux des plans coordonnés,

telles que

x—=azta, y—bz+$. [el Chacune de ces équations appartient à tous les points du plan projetant, dans son extension indéfinie; et le système des deux équations appartient à tous les points de la droite projetée, prolongée indéfiniment. Si l'on substitue aux trois axes rectangulaires des x, Y, z, trois autres axes rectangulaires des x, y’, 7, passant par la même origine, les équations d’une droite passant par cette origine , qui étaient dans l’ancien système, DEC D TE devront, dans le nouveau système, conserver la

même forme , et devenir NT de 4 20 d’où l’on conclut, comme au n° 75, que les nou-

velles et les anciennes coordonnées sont liées par des

équations de la forme x—= mx + ny" + pr, De mr+ny+pz, = M +) PL, dans lesquelles », x, p, m,, etc. désignent des coef-

ficients constants, qui ne peuvent dépendre que des

angles des nouveaux axes avec les anciens. D'ailleurs on changera l'origme des coordonnées sans changer la direction des axes, si l'on pose

Lis M5 À désignant les coordonnées de la nouvelle origine, prises par rapport à l'ancienne origine. On conclut de là qu'une surface algébrique, c'est-à-dire définie-par une équation algébrique entre trois coordonnées rectangulaires , ne cesse pas d'être algébrique et ne change pas de degré, quand son équation change par suite d’un déplacement quelconque de l'origine et des axes.

Il suit encore des formules précédentes qu'une équation du premier degré, entre trois coordonnées rectangulaires variables, représente un plan, oblique aux plans coordonnés, et le représente dans toute son extension indéfinie.

Pour les points situés sur l’axe des x', les coordonnées y’, z sont nulles, et le coefficient 72 est évidemment le cosinus de l’angle que forme l’axe des x’ avec celui des x, angle que nous désignerons par (xt): Une remarque analogue sert à déterminer chacun des

autres coefficients, et ainsi l’on a :

x —x'cos(xx) + y'cos(xy) + z'cos(x7),

y = 2'e0s (78) + y'cos( 79") +-<'c0s(72), z —ax'cos(zx") + y'cos(z7!) + z'cos(z7/).

On a par la même raison :

x'= x cos(xxl) + y cos(yx') + 3 cos(zx),

J'=2xcos(xy") +7 cos(yy")+ x cos(zr),

2 —x cos(xz) + y cos(yz') +2 cos(zz/); et la comparaison de ces deux systèmes d'équations donne, entre les neuf cosinus qui y figurent, six équations de condition, dont nous n'aurons besoin de

considérer que la suivante cos’ (xx!) + cos (7x) + cos’ (zx) —1. [f] Prenons sur l’axe des x/ un point dont la distance à l'origine soit égale à l'unité : on a, pour ce point, Dot) Tr COS TN cos ETES et par conséquent, en vertu de l'équation [ |,

2° + 7° + ae Je quelle que soit d’ailleurs la direction de l’axe des à’. Donc cette dernière équation est celle de la surface sphérique qui a l'origine pour centre et l'unité pour rayon; et par suite l'équation

LH pH 2 — r° appartient à tous les points de la surface de la sphère

dont le rayon est r : le centre se trouvant toujours à

l'origine des coordonnées.