Si la droite représentée par les équations [e] se

meut parallèlement à elle-même, de manière à passer

1”. Li % F.

constamment par un point de la ligne

Dr) 0; [F] tracée dans le plan xy, et à laquelle on donne en conséquence le nom de directrice, elle décrira une surface de la famille de celles qu'on appelle cylindriques. Pour trouver l'équation de cette surface, il suffit de considérer que x, B désignent dans les équations [e] les coordonnées en x, y du point où la droite géné-

æ” ratrice perce le plan xy, point qui doit constamment se trouver sur la directrice [F]. Donc on doit avoir

NCAA

Si maintenant on remplace dans cette équation «, 6 , LA .

par leurs valeurs tirées des équations [e], ce qui re-

vient à remplacer dans l'équation [F], x par + — az

et y par 7 — 62, l'équation résultante F(x — az, y —0z)—0

est celle de la surface engendrée, qui se trouve algébrique et du même degré que la directrice, si la directrice est algébrique. Quand la directrice est à la fois géométrique et algébrique, comme la ligne droite et le cercle, la surface cylindrique se trouve définie, tant algébriquement que géométriquement, et les deux définitions ont précisément la même étendue. Assujettissons la droite génératrice à passer constamment, tant par la directrice [F], que par un point

fixe dans l’espace : elle décrira une surface de la fa-

mille de celles qu'on appelle coniques ; et à cause de l'extension indéfinie que la ligne droite comporte dans les deux sens, la surface devra être considérée comme formée de deux nappes divergeant toutes deux à partir du point fixe, que l’on nomme pour cette raison le centre de la surface. Prenons ce centre sur l'axe des z, à une hauteur & au-dessus du plan des xy : les équations de la génératrice seront

a — 2) MPICs)

* Taie

x, B désignant toujours les coordonnées en x, y du point où la génératrice perce le plan xy. Donc, par

le même raisonnement que tout à l'heure, on aura

l'équation de la surface conique, en remplaçant dans l'équation [F|,

Cy C— 3

Cr ; LC par 4) 71 pa

On peut dire de cette surface tout ce que nous disions de la surface cylindrique.

Enfin, si l’on imagine que la ligne [F] tourne autour de l'axe des x, elle engendrera une surface de la famille de celles qu’on appelle de révolution, et dont il est évident qu'on aura l’équation en remplaçant dans l'équation [F], y par ÿ 7° + 2. Si la ligne [F], qui prend alors le nom de ligne méridienne, est algébrique, la surface de révolution est pareillement algébrique, et du même degré que la méridienne ou

d'un degré double, selon que la méridienne est ou

DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 193 nest pas symétrique par rapport à l'axe de révolution. Toutes les fois que l'algébre et la géométrie cadreront dans la définition de la ligne méridienne, elles cadreront nécessairement dans la définition de la surface de révolution.

Il résulte de tout ce qui précède que les surfaces des trois corps ronds dont on s occupe dans les éléments de géométrie, la sphère, le cylindre et le cône à base circulaire, ont leurs équations comprises parmi celles du second degré à trois variables; et qu'il y a, pour ces surfaces comme pour le plan, accord parfait entre les définitions algébriques et géométriques, quand on donne à la définition géométrique l'extension qu'elle doit avoir, par suite de l'extension indéfinie de la droite, génératrice.

Ce qui se dit des surfaces doit nécessairement se dire des lignes que les surfaces déterminent par leur intersection ; et ce qui se dit des lignes doit se dire des systèmes de points que les lignes déterminent en se coupant. Si les définitions géométriques et algébriques des surfaces s'accordent, les nappes de surfaces associées dans la même définition géométrique, le seront dans l'équation algébrique ; les branches de lignes données par l'intersection de deux surfaces ainsi définies, seront associées dans leur équation ou dans le système de leurs équations algébriques ; il y aura tout juste autant de points d’intersection de ces

lignes que de systèmes de valeurs réelles pour les

194 CHAPITRE VIH.

coordonnées, en vertu des équations finales auxquelles on parvient par l'élimination de toutes les va-

riables, moins une.

81. Toutes les lignes algébriques du second degré ont un caractère géométrique commun, celui de pouvoir être tracées par l'intersection d’un plan et d'un cône à base circulaire, ou, ce qui revient au même, celui de pouvoir être considérées comme les projections en perspective d’un cercle sur un plan convenablement placé. En conséquence on les a, dès l'antiquité, et bien avant qu'on ne songeñt à les étudier dans des équations algébriques, groupées sous la dénomination commune de sections coniques, qui doit leur être conservée toutes les fois qu'on entend faire de la géométrie à l’aide de l’algébre, et non pas à l'inverse s'aider du tracé géométrique d’une ligne pour représenter la loi d'une fonction algébrique.

Non-seulement toutes les lignes algébriques du seconti degré ont un caractère géométrique commun, mais les genres dans lesquels elles se distribuent peuvent être simultanément définis par des caractères géométriques et par des caractères algébriques; et en général toutes les propriétés qui sont le fond de la géométrie de ces courbes, peuvent être commodément étudiées au moyen des relations algébriques

dans lesquelles elles se traduisent. L'esprit prend

plaisir à retrouver sous les formes les plus variées cette correspondance intime entre la géométrie et l'algèbre : il s’y habitue en quelque sorte en cultivant cette branche des mathématiques, susceptible de si féconds développements et objet d’un enseignement classique , au point de ne plus même sentir le besoin d'en chercher la raison particuliere ; et la conséquence de cette disposition de l'esprit, c'est de regarder tous les cas où le même accord ne s’observé plus, comme des irrégularités capricieuses, comme des anomalies qui se refusent à une interprétation

systématique, à une explication réguliere.

82. Les propriétés des lignes et des surfaces dont nous venons d'indiquer la génération, étudiées au moyen des équations algébriques qui les définissent dans le système des coordonnées rectangulaires, forment ce corps de doctrine auquel il convient de donner spécialement le nom de géométrie analytique : parce que, d'une part, il ne cesse point d’avoir pour objet des choses susceptibles d’être contues et définies par la pure géométrie, indépendamment de l’algebre; et que, d'autre part, on y fait ou l’on peut y faire exclusivement usage de considérations et de signes propres à la théorie abstraite des grandeurs, sans recourir à des constructions spéciales, à des synthèses particulières, autrement que pour établir le

théorème de Thales, d’où cette branche tout entière

de la géométrie sort ou peut sortir, par une suite d'analyses et de déductions logiques, pour lesquelles la langue de l'algèbre est l'instrument d'analyse, le

moyen de déduction.

83. Newton, et d'après lui Sterling et Maclaurin, ont entrepris la classification des lignes du troisième degré. Pour que cette classification ait une valeur géométrique, il faut qu'elle tienne directement à des conceptions géométriques, et qu'elle ne soit pas seulement tirée de caractères algébriques fournis par la discussion de l'équation générale. Par exemple, c’est une base de classification géométrique que le théorème de Newton, en vertu duquel toute ligne du troisième degré peut résulter de l'intersection d'un plan avec l'une des cinq surfaces coniques qui auraient respectivement pour directrices les cinq paraboles du troisième degré, dont l’une (la parabole de Neil) étant la développée de la parabole ordinaire, comporte par cela même une définition purement géométrique : en sorte que toutes les courbes du troisième degré, susceptibles d’être placées sur le cône qui a cette parabole de Neil pour directrice, sont par cela même géométriquement définissables. Au delà du troisième degré, nous ne connaissons pas de procédés pour énumérer méthodiquement, de manière à n’en point omettre, les courbes d'origine purement géométrique;

bien que les lignes algébriques de degrés quelconques

donnent lieu à des théorèmes généraux, résultant à la fois des propriétés des équations algébriques et de la forme des équations de la ligne droite et du plan, et du genre de ceux que nous avons indiqués au n° 69,

ou dans la note de la page 168 *.

* Voyez l Aperçu historique sur l’origine et le développement des

MnÉRIoUeS en Géométrie, par M: Chasles, pag. 146 et suiv.

DES CARACTÈRES GÉNÉRIQUES DES SURFACES ET DES LIGNES. — CAUSES DE DÉSACCORD ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET L'ALGÈBRE, QUANT A L'ÉTENDUE DES DÉFINITIONS.

8/4. Parmi les propriétés diverses de l'étendue figurée, qui sont l'objet des spéculations du géomètre, il s’en trouve qui n’ont lieu que pour des figures terminées en tous sens par des lignes ou des surfaces géométriquement définies, et d’autres qui subsistent pour certains genres de lignes, de surfaces ou de solides, dont le caractère générique seulement est géométriquement déterminé : chaque genre pouvant comprendre une infinité de cas individuels; et ce qui différencie un individu des autres dans chaque genre étant la conséquence d'un tracé tout à fait arbitraire. Ainsi, l'on démontre dans les éléments de géométrie que le volume d'une pyramide à base polygonale est le tiers du volume d’un prisme de même base et de même hauteur; que le volume d’un cône à base circulaire est aussi le tiers du volume d’un cylindre qui a même base et même hauteur : mais ces théorèmes ne sont que des cas particuliers d’une propo-

sition plus générale, consistant à dire que le volume

circonscrit par une surface conique à base quelconque est le tiers du volume d’un cylindre de même base et de même hauteur. La base peut être une courbe dont le tracé n’ait rien de géométrique. Ce qu'il y a de géométrique, ce sont les conditions qui caractérisent le genre des surfaces coniques et celui des surfaces cylindriques (80) ; et la proposition dont il s'agit est l'énoncé d’une connexion géométrique entre ces deux genres de surfaces. Il y a même des propriétés géométriques dont jouissent des lignes ou des surfaces quelconques, sous la seule condition d’être assujetties

dans leur tracé à la loi de continuité. Telles sont les

relations curieuses découvertes par Euler et Meusnier,

entre les courbures de toutes les lignes que l'on obuent en faisant passer, par un point pris sur une surface, des plans qui la coupent dans toutes les directions possibles, pourvu seulement que la surface (qui peut d’ailleurs être modelée de la manière la plus arbitraire) n'éprouve pas en ce point de solutions de continuité, comme celles qui résulteraient, soit d'une rupture, soit de la présence d'une arête vive ou d'une pointe. Ce qui distingue particulièrement les travaux des modernes en géométrie, par opposition à ceux des anciens, c'est d’avoir porté de préférence sur cette partie de la géométrie que les anciens ne connaissaient pas, ou du moins qu'ils avaient négligée, bien qu'elle puisse être concue et cultivée indépen-

damment des nouveaux calculs : partie dont l'objet

est nettement défini par ce qui précède, et que les recherches d'Huygens, d'Euler et de Monge ont surtout contribué à étendre.

Telle est la pénurie de notre langue scientifique, que nous n’avons pas de termes pour distinguer ces deux parties de la géométrie, qui sont pourtant d'une distinction si nette et si facile; mais toujours est-il que cette distinction répond parfaitement à celle que nous avons trouvée entre l'algèbre et la théorie des fonctions (64) : l'algèbre ne traitant des liaisons entre les grandeurs continues, qu'autant qu’elles procèdent des propriétés fondamentales des nombres; et la théorie des fonctions portant sur les lois de la marche des grandeurs liées entre elles, lois qui n'exigent pas que la liaison comporte une définition mathématique, mais seulement qu'il n'y ait pas de solutions de con-

ünuité dans l'étendue des valeurs que l’on considere.

89. Nous avons déjà indiqué au n° 80 quelques traits de la classification des surfaces par familles ou par genres géométriquement définis. Ce mode de classification diffère des classifications ordinaires, non-seulement en ce que le nombre des espèces de - chaque genre est infini, mais encore en ce que, sans qu'on ait besoin de changer de système de classification, la même espèce se retrouve dans des genres différents, d’après les diverses analogies géométriques

que son mode de description manifeste. Ainsi, le

cône et le cylindre ordinaires, qui sont respectivement les types des genres de surfaces coniques et cylindriques, peuvent en même temps être considérés comme des espèces du genre des surfaces de révolution, espèces pour lesquelles la ligne méridienne devient une ligne droite , oblique ou parallele à l'axe de révolution.

Les mêmes remarques sont applicables à la classification géométrique des lignes. Et d’abord les lignes dont nous nous sommes occupés aux n° 56 et 57, ne sont que des espèces d'un genre que l’on définira par