PET

on aura tout simplement dans ce cas Ou—r, ce qui

donne pour l'équation de la courbe #7,

ou l'équation du quatrième degré (a—x} (a +y)= rx. [d]

La courbe dont il s’agit est celle que l’on connaît

ail

sous le nom de conchoide de Nicomède; elle a évidemment une grande affinité avec la cissoïde de Diocles; l’une et l’autre peuvent être considérées comme des espèces d'un genre géométriquement caractérisé par la condition

On—Om—O% : []

le rayon vecteur Où, pour toutes les courbes du genre, étant celui d'un cercle qui a son centre sur l'axe des x.

Si le centre du cercle ne tombait plus à l’origine,

la seconde équation [a se trouverait remplacée par Ga) +=?

« désignant l'abscisse du centre; d'ou, pour l'équation

de la courbe run,

CV ÉREt=e en LE

ce qui donnerait, après l’'évanouissement des radicaux et la suppression du facteur x°+>°, étranger à l'énoncé

géométrique [à], l'équation du quatrième degré (a— x} (Hp) —Qara—x) + (a—1r)x—0. [D]

L'équation de la cissoïde de Diocles et celle de la con-

choïde de Nicoméde en sont des cas particuliers é

* On peut généraliser d’une autre manière la construction de la cissoïde de Dioclès et celle de la conchoïde de Nicomède, de ma-

nière à faire de ces deux courbes les types de deux genres géomé-

87. Maintenant il faut remarquer que l'équation [d'] de la conchoïde appartient non-seulement aux points 2 de la ligne rm! (fig. 22), définis par la condition [à], mais aussi aux points 2, de la ligne rm,

pour lesquels cette condition se trouve remplacée

par Om, —On—Ov. [Lo]

En conséquence on regarde la conchoïde de Nicomède comme formée de deux branches 7m7!, mm!,, dont la premiere s'appelle la branche citérieure et la

seconde la branche ultérieure, à cause de leur posi-

triques différents. Et d’abord on peut imaginer que l’on substitue au cercle Ouu'P de la fig. 21, une ellipse dont OP serait l’un des axes, ou même une courbe quelconque , fermée et non sinueuse, symétrique par rapport à l’axe des æ, et venant toucher aux points O et P l’axe des y et sa parallèle : toutes les courbes ainsi engendrées ressembleraient à la cissoïde ordinaire , seraient formées de deux branches symétriques , ayant la ligne NN° pour asymptote , et présentant par leur réunion en O un rebroussement pareil à ceux de la cycloïde. Quant à la conchoïde de Nicomède, il est permis de la concevoir engendrée par l’intersection d’un cercle de rayon r, dont le centre glisse sur la ligne NN’(/g. 29), et d’une droite On qui tourne autour du point O , en passant constamment par le centre du cerele mobile. Or, si l’on substitue au cercle une elipse, une parabole, ou toute autre ligne mobile, on obtiendra, par une construction analogue , une série de lignes qui peuvent porter le nom générique de conchoïdes. Descartes , dans sa Géométrie, a considéré d’une manière toute particulière la conchoïde en-

gendrée par le mouvement d’une parabole.

Es 4 à

‘2 dd at. Ds

tion par rapport à la droite NN' et au point O. Or, en ceci l’analogie géométrique avec la cissoïde de Dioclès se trouve rompue. Il faudrait que cette dernière courbe eût aussi une branche ultérieure, ou que la conchoïde n'en eût pas. Pour sauver l’analogie géométrique il faudrait mettre en regard de l'équation [d/|, le système de l'équation [4] et d’une autre équation

du troisième degré L'— ya — x) + 2ax, [d,]

qui n'est pas incluse dans l'équation [D{, mais bien

dans la suivante :

(a— x} (2 +) HQar (a —x)+(o—r)x —0. [D,]

Le lieu des, équations [D], [D,|, pour «—r—{a,

se compose d'une part de la cissoïde [d] et de la ligne |d,], d'autre part de la droite conjuguée NN', étransère aux énoncés [à], [,|, et dont l'analogue ne se retrouve pas quand on passe des mêmes équations [D|, [D,] à celle de la conchoïde, par l'hypothèse 4 —0. La dissociation algébrique des lignes [D] et [D,|, [4] et|d,}, l'association algébrique des deux branches citérieure et ultérieure de la conchoïde sont des faits de pure algébre, qui non-seulement n'ont pas leur raison dans la géométrie, mais dont le contraste est une violation de l’analogie géométrique.

C'est ainsi que la définition géométrique de lhy-

perbole MN ( Jig. T), consistant à dire que l'excès du

rayon vecteur F'z sur le rayon vecteur F£ est constamment égal à une droite donnée k, ne s'applique qu'à la branche MN et non à la branche M'N/; tout comme la définition de la droite KI perpendiculaire à FF, consistant à dire que l'excès du carré du rayon vecteur F'o sur le carré du rayon vecteur Fo est constamment égal à un carré donné #”, ne s'applique qu'à la droite IK indéfiniment prolongée, et non à la droite l'K! parallèle et symétrique à IK. A la vérité on étend la première définition aux deux branches de l'hyperbole en disant que la différence des deux rayons vecteurs est constante, sans spécifier le sens de la différence ; et pareillement on étend la seconde définition aux deux droites IK, l'K', en disant que la différence des carrés des deux rayons vecteurs est constante, sans spécifier le sens de la différence. Cependant, par leurs équations, les deux droites parallèles sont deux lignes distinctes, tandis que les deux branches hyperboliques appartiennent à une même ligne. On ne peut donner à l'une de ces définitions géométriques la juste extension qu'elle doit avoir pour cadrer avec l’algèbre, sans que la définition analogue pèche

contre l’algèbre par excès ou par défaut.

88. Pour passer à d'autres exemples, propres à faire ressortir d’autres causes de désaccord, concevons que du point O (fig. 23) on mène les sécantes

Omnn, Om'n', etc., au cercle dont le centre est en C,

el qui est représenté par l'équation @—a)+y er: el

les points u., u', etc., qui sont les milieux des cordes mn, mn, etc., auront pour lieu géométrique l'arc tuutt!, appartenant au cercle dont OC est le diamètre et qui a

pour équation L— ax + 7° = 0. [e]

L'équation s étend au cercle complet, tandis que la définition géométriqué n'embrasse ou semble n’embrasser qu'une portion du cercle brusquement interrompue aux points #, {'. Pour lever cette opposition, on a quelquefois recours à la remarque que voici. Le rayon vecteur Of est la demi-somme des rayons vecteurs On, On : en decà des points £, #', les valeurs des rayons vecteurs Om, On, tirées de l'équation du cercle [e|, deviennent imaginaires, mais leur demisomme, dans l'expression de laquelle deux radicaux imaginaires se détruisent, reste réelle. Or, cette remarque qui explique comment l'algèbre s'accorde avec elle-même, n’établirait pas l'accord de l'algèbre avec la géométrie, puisqu'on ne sait ce que signifierait géométriquement le point milieu d’une corde imagivaire. Pour trouver une interprétation géométrique du résultat donné par l'algèbre, il faut considérer que le point 1 est le milieu, non-seulement de la corde »77n, mais de toutes les cordes interceptées

sur la sécante Omn par les cercles en nombre infini, qui ont leurs centres au point C. On ne peut résoudre le problème qui consiste à prendre le milieu de la corde 77, sans résoudre effectivement un problème plus général, celui de prendre le milieu de toutes les cordes interceptées sur la même ligne droite par les cercles concentriques. La définition géométrique de l'arc tuult! a donc virtuellement plus de généralité qu'elle ne semble en avoir dans les termes; et à cause de cette généralité, elle s'étend virtuellement au cercle entier. Cette circonstance géométrique est traduite en algèbre par la circonstance que le paramètre r* de l'équation [e] n'entre pas dans l'équation [e] : d’où il semble naturel de conclure que le désaccord entre la géométrie et l’algébre n'est ici qu'apparent; puisqu'il suffit, pour le faire disparaitre, d'interpréter convenablement la définition géométrique. Mais cette conciliation même n'est qu accidentelle, et nous rencontrerons plus loin des exemples tout à fait analogues à celui-ci, où elle n'aurait plus lieu. En effet, st la signification géométrique du paramètre 7° qui a disparu de l'équation [e], était telle. qu'on ne püt attribuer à ce paramètre des valeurs indéfiniment croissantes; si, par exemple, r désignait un sinus, il deviendrait impossible que la généralité de l'équation résultante et du lieu algébrique, ne dépassät pas la généralité de la définition géométrique

qui y a conduit.

69. De même, si l'on cherche la projection sur le plan xy de la courbe fermée, tracée dans l'espace

par l'intersection de la sphère

LH y + RP avec le cylindre droit (x— aÿ+i=7r,

l'élimination donne, pour l'équation de la projection cherchée,

J'H2arz— À —R—7;

et celle-ci appartient à une parabole dont le cours est indéfini, de sorte qu'une portion seulement de cette parabole peut servir de projection à la courbe fermée dont jl s’agit. À la vérité, il suffit de faire croître indéfiniment le rayon de la sphère et celui du cylindre, de maniere que la différence R—7 reste constante, pour que la projection de l'intersection des deux surfaces embrasse une portion de la parabole , aussi étendue qu'on le veut. Mais ce mode de conciliation ne serait plus possible, si la signification géométrique des paramètres R, r était autre, et qu'elle ne leur permit plus de croître indéfiniment, tandis que la différence de leurs carrés reste invariable.

Des remarques analogues s’appliqueraient aux lignes connues sous le nom d’enveloppes, définies par la condition de toucher ou d’envelopper une série de

lignes congénères, que l’on obtient en faisant varier